On a $L^p \subset K \subset K'$ et $L' = K'(L)$, d’où ${L'}^p = {K'}^p(L^p) \subset K'$. Autrement dit, $L'$ est une extension radicielle de hauteur $\leq 1$ de $K'$. Les autres assertions du corollaire résultent aussitôt de la prop. 1 et de V, p. 13, prop. 5.

Supposons d’abord que S soit p-libre et soit T $\neq$ S une partie de S. Notons $\Lambda$ l’ensemble des familles à support fini $\alpha = (\alpha_s)_{s \in S}$ d’entiers compris entre 0 et $p - 1$; soit $\Lambda'$ la partie de $\Lambda$ formée des familles $\alpha = (\alpha_s)_{s \in S}$ telles que $\alpha_s = 0$ pour tout s dans T – S. Posons aussi $u_\alpha = \prod_{s \in S} s^{\alpha_s}$ pour $\alpha \in \Lambda$. Alors (V, p. 94, prop. 1), la famille $(u_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}$ est une base de K(S) sur K, et la sous-famille $(u_\alpha)_{\alpha \in \Lambda'}$ est une base de K(T) sur K. Comme on a $\Lambda' \neq \Lambda$, on a K(T) $\neq$ K(S).

Supposons maintenant que S né soit pas p-libre. Il existe alors un entier $n \geq 1$ et une suite d’éléments $x_1, ..., x_n$ de S telle que $(x_1, ..., x_{n-1})$ soit p-libre, mais non $(x_1, ..., x_n)$. On a $[K(x_1, ..., x_{n-1}):K] = p^{n-1}$ et $[K(x_1, ..., x_n):K] < p^n$. Comme $[K(x_1, ..., x_n):K]$ est un multiple de $[K(x_1, ..., x_{n-1}):K]$, on a donc

d’où $x_n \in K(x_1, ..., x_{n-1})$. Ceci entraîne $K(S - \{x_n\}) = K(S)$.

a) La partie S est p-libre sur K, et T est p-libre sur K(S). b) On a $S \cap T = \varnothing$ et $S \cup T$ est p-libre sur K.

Si T est p-libre sur K(S), on a $T \cap K(S) = \varnothing$ et a fortiori $S \cap T = \varnothing$. Nous pouvons donc supposer S et T disjointes. Soit $\Lambda$ la partie de $N^{(S \cup T)}$ formée des familles $\alpha = (\alpha_x)_{x \in S \cup T}$ avec $\alpha_x < p$ pour tout x dans S $\cup$ T. Définissons de manière analogue les parties $\Lambda'$ de $N^{(S)}$ et $\Lambda''$ de $N^{(T)}$. On peut identifier de manière naturelle $N^{(S \cup T)}$ à $N^{(S)} \times N^{(T)}$, et $\Lambda$ s’identifie à $\Lambda' \times \Lambda''$. Pour $\alpha \in \Lambda$, posons $u_\alpha = \prod_{x \in S \cup T} x^{\alpha_x}$; définissons de même $u'_\beta$ et $u''_\gamma$ pour $\beta \in \Lambda'$ et $\gamma \in \Lambda''$. On a $u_\alpha = u'_\beta u''_\gamma$ pour $\alpha = (\beta, \gamma)$ dans $\Lambda = \Lambda' \times \Lambda''$. De plus, $(u'_\beta)_{\beta \in \Lambda'}$ engendre le K-espace vectoriel K(S) (V, p. 94, prop. 1). Pour que S $\cup$ T soit p-libre sur K, il faut et il suffit que la famille $(u'_\beta u''_\gamma)_{\beta \in \Lambda', \gamma \in \Lambda''}$ soit libre sur K (V, p. 94, prop. 1); il revient au même (II, p. 31) de supposer que la famille $(u'_\beta)_{\beta \in \Lambda'}$ est libre sur K et la famille $(u''_\gamma)_{\gamma \in \Lambda''}$ libre sur K(S). L’équivalence de a) et b) résulte alors de la prop. 1 (V, p. 94).

Soit K un corps. On dit qu’une famille $(x_i)_{i \in I}$ est une p-base (absolue) de K si c’est une p-base de K sur $K^p$. Pour tout entier $n \geq 1$, notons $\Lambda(n)$ la partie de $N^{(I)}$ formée des $\alpha = (\alpha_i)_{i \in I}$ tels que $\alpha_i < p^n$ pour tout $i \in I$.

Pour $n = 1$, l’assertion se réduit à la prop. 1 (V, p. 94). L’ensemble $\Lambda(n)$ se compose des éléments de $\mathbf{N}^{(I)}$ de la forme $\alpha = \beta + p^{n-1}\gamma$ avec $\beta \in \Lambda(n-1)$ et $\gamma \in \Lambda(1)$. Une telle décomposition est unique, et l’on a $x^\alpha = x^\beta (x^\gamma)^{p^{n-1}}$. De plus, la famille $(x_i^{p^{n-1}})_{i \in I}$ est évidemment une $p$-base de $K^{p^{n-1}}$ sur $K^{p^n}$, donc la famille $(x^\gamma)^{p^{n-1}}$ est une base de $K^{p^{n-1}}$ sur $K^{p^n}$. On conclut alors par récurrence, grâce à II, p. 31, prop. 25.

D’après V, p. 23, prop. 1, $\{1, x, \ldots, x^{p-1}\}$ est une base de $L$ sur $K$. Pour tout élément $u = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{p-1} x^{p-1}$ de $L$ (avec $a_0, \ldots, a_{p-1}$ dans $K$), on posera $D(u) = \Delta(a_0) + x \Delta(a_1) + \cdots + x^{p-1} \Delta(a_{p-1})$. Il est clair que $D$ prolonge $\Delta$, et satisfait à (1); il suffit donc d’établir la relation

Lorsque $i + j < p$, on a $uv = x^{i+j}.ab$, d’où $D(uv) = x^{i+j}\Delta(ab)$. Dans le cas contraire, on a $0 \leq i + j - p < p$ et donc $uv = x^{i+j-p}(abx^p)$ avec $abx^p \in K$, mais comme $\Delta(x^p) = 0$, on a $\Delta(abx^p) = x^p \Delta(ab)$, d’où encore $D(uv) = x^{i+j}\Delta(ab)$. On a donc dans tous les cas

D’après le th. de Zorn (E, III, p. 20), il existe un prolongement maximal de $\Delta$ en une dérivation $D_0 : L_0 \to V$, où $L_0$ est un sous-corps de $L$ contenant $K$. Soit $x \in L$; on a $x^p \in L_0$ et $\Delta(x^p) = 0$, d’où $D_0(x^p) = 0$. D’après la prop. 5, $D_0$ se prolonge en une dérivation définie dans $L_0(x)$; d’après le caractère maximal de $D_0$, on a donc $L_0(x) = L_0$, d’où $x \in L_0$. Vu l’arbitraire de $x$, on a $L_0 = L$.

Soit $x$ un élément de $L$ n’appartenant pas à $E$. Alors $\{ 1, x, ..., x^{p-1} \}$ est une base de $E(x)$ sur $E$. Soit $\Delta$ l’application $E$-linéaire de $E(x)$ dans $L$ telle que $\Delta(x^i) = ix^i$ pour $0 \leq i < p$. On vérifie aussitôt que $\Delta$ est une $E$-dérivation de $E(x)$ dans $L$, et en particulier une $K$-dérivation. D’après le corollaire 1 à la prop. 5, il existe une $K$-dérivation $D$ de $L$ dans $L$ prolongeant $\Delta$. D’après la propriété universelle de $\Omega_K(L)$, il existe une forme linéaire $u$ sur ce $L$-espace vectoriel telle que $D = u \circ d_{L/K}$. On a $D(x) = x$ et $D|E = 0$; par suite, on a $u(d_{L/K} x) \neq 0$ et $u|U = 0$, d’où $d_{L/K} x \notin U$.

La dernière assertion est le cas particulier $E = K$; on a alors $U = 0$.

a) *Pour que $(x_i)_{i \in I}$ soit $p$-libre sur $K$, il faut et il suffit que la famille $(dx_i)_{i \in I}$ soit libre dans le $L$-espace vectoriel $\Omega_K(L)$.

b) *Pour que $(x_i)_{i \in I}$ engendre $L$ sur $K$, il faut et il suffit que la famille $(dx_i)_{i \in I}$ engendre le $L$-espace vectoriel $\Omega_K(L)$.

c) *Pour que $(x_i)_{i \in I}$ soit une $p$-base de $L$ sur $K$, il faut et il suffit que la famille $(dx_i)_{i \in I}$ soit une base du $L$-espace vectoriel $\Omega_K(L)$.

Remarquons d’abord que la différentielle $dx$ d’un élément du corps $K((x_i)_{i \in I})$ est une combinaison linéaire à coefficients dans $L$ des différentielles $dx_i, i \in I$. Pour que la famille $(x_i)_{i \in I}$ soit $p$-libre, il faut et il suffit que l’on ait $x_i \notin K(x_j)_{j \in I - \{i\}}$ pour tout $i \in I$ (V, p. 95, prop. 2). D’après le cor. 2 de la prop. 5, ceci signifie que $dx_i$ n’est pas combinaison linéaire des $dx_j$ pour $j \neq i$ dans $I$. L’assertion a) résulte de là. L’assertion b) résulte aussitôt du cor. 2 de la prop. 5, et c) résulte de a) et b).

Le corollaire suivant précise le cor. 1 de la prop. 5 :

D’après le cor. 1 de la prop. 5, il existe une dérivation $D_0$ de $L$ dans $V$ prolongeant $\Delta$. Les dérivations de $L$ dans $V$ prolongeant $\Delta$ sont exactement les applications de la forme $D = D_0 + u \circ d_{L/K}$, où $u$ est une application $L$-linéaire de $\Omega_K(L)$ dans $V$. On a $D(x_i) = u_i$ si et seulement si l’application linéaire $u$ satisfait aux conditions $u(dx_i) = u_i - D_0(x_i)$. Puisque la famille $(dx_i)$ est une base de $\Omega_K(L)$, cela détermine $u$ de manière unique, d’où le corollaire.

Soient $L$ une extension radicielle de hauteur $\leq 1$ de $K$ et $(x_i)_{i \in I}$ une $p$-base de $L$ sur $K$. D’après le cor. du th. 1, il existe pour tout $i \in I$ une $K$-dérivation $D_i$ de $L$ dans $L$ caractérisée par $D_i(x_j) = \delta_{ij}$ (symbole de Kronecker); on dira parfois que $D_i$ est la dérivation partielle par rapport à $x_i$. Lorsque $I$ est fini, la famille $(D_i)_{i \in I}$ est une base de l’espace vectoriel sur $L$ formé des $K$-dérivations de $L$ dans $L$.

Le th. 1 permet de ramener l’étude des $p$-bases à celle des bases d’un espace vectoriel. On a par exemple les résultats suivants :

(5)

Les assertions a) et b) sont immédiates (II, p. 95 et 96). Si $[L : K]$ est fini, il existe d’après a) une $p$-base finie $(x_1, ..., x_n)$ de $L$ sur $K$; alors les monômes $x_1^{\alpha_1} ... x_n^{\alpha_n}$ avec $0 \leq \alpha_i < p$ pour $1 \leq i \leq n$ forment une base de $L$ sur $K$ et les différentielles $dx_1, ..., dx_n$ forment une base de $\Omega_K(L)$ sur $L$. On a donc $[L : K] = p^n$ et $[\Omega_K(L) : L] = n$. Réciproquement, si $\Omega_K(L)$ est de dimension finie sur $L$, il existe une $p$-base finie de $L$ sur $K$ (V, p. 97, th. 1) et $[L : K]$ est fini.

Soient $K$ un corps et $L$ une extension de $K$. Si $D$ est une $K$-dérivation de $L$ à valeurs dans un $L$-espace vectoriel, on a $D(x^p) = 0$ pour tout $x \in L$, et par suite $D$ est une $K(L^p)$-dérivation. On en déduit $\Omega_K(L) = \Omega_{K(L^p)}(L)$. Comme $L$ est une extension radicielle de hauteur $\leq 1$ de $K(L^p)$, on peut appliquer les résultats précédents. Par exemple, du th. 1, c) on déduit ceci : soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $L$; pour que $(dx_i)_{i \in I}$ soit une base du $L$-espace vectoriel $\Omega_K(L)$, il faut et il suffit que $(x_i)_{i \in I}$ soit une $p$-base de $L$ sur $K(L^p)$. De manière analogue, le cor. 2 de la prop. 5 entraîne :

La démonstration utilise plusieurs lemmes préliminaires.