Soient $\Omega$ une clôture algébrique de $K$, et $b$ l’élément $a^{p^{-e}}$ de $\Omega$; on note $g$ le polynôme minimal de $b$ sur $K$. On a $f(X) = (X - b)^{p^e}$ et par suite tout polynôme irréductible dans $K[X]$ qui divise $f$ admet $b$ pour racine, donc est égal à $g$. Il existe donc (IV, p. 13, prop. 13) un entier $q \geqslant 1$ tel que $f = g^q$; comme $q$ divise le degré $p^e$ de $f$, il existe un entier $e'$ tel que $0 \leqslant e' \leqslant e$ et $q = p^{e'}$. Si $c$ est le terme constant de $g$, on a $-a = c^q$; comme on a supposé que $a$ n’appartient pas à $K^p$, on a donc $q = 1$, c’est-à-dire $f = g$. D’où le lemme.

Pour tout entier $n \geqslant 0$, l’ensemble $E_n$ se compose des éléments $x$ de $E$ tels que $x^{p^n} \in K$ ; comme l’application $x \mapsto x^{p^n}$ est un endomorphisme du corps $E$, on en conclut que $E_n$ est une sous-extension de $E$. La suite $(E_n)_{n \geqslant 0}$ est croissante, de réunion $E_\infty$, et par suite $E_\infty$ est une sous-extension de $E$ (V, p. 11, prop. 3). Il est clair que $E_\infty$ est une extension radicielle de $K$, et que $E_\infty$ contient toute sous-extension de $E$ qui est radicielle sur $K$.

En effet, $E_\infty$ est une sous-extension de $E$, et l’on a par hypothèse $E = K(E_\infty)$ d’où $E = E_\infty$; par suite, $E$ est une extension radicielle de $K$.

Sous les conditions de la proposition 2, on dit que $E_\infty$ est la fermeture radicielle de $K$ dans $E$.

Nous appliquerons surtout la prop. 2 au cas où E est une extension algébriquement close de K ; alors E est parfait et l’on a $E_n = K^{p^{-n}}$ pour tout $n \geq 0$. On note dans ce cas $K^{p^{-\infty}}$ l’ensemble des éléments de E radiciels sur K ; c’est le sous-corps de E réunion de la suite croissante $(K^{p^{-n}})_{n \geq 0}$ de sous-corps de E. D’après la prop. 2, $K^{p^{-\infty}}$ est la plus grande des sous-extensions de E qui sont radicielles sur K ; d’après la prop. 3 de V, p. 6, $K^{p^{-\infty}}$ est une clôture parfaite de K, et c’est aussi le plus petit sous-corps parfait de E contenant K. Lorsque K est parfait, on a évidemment $K = K^{p^{-n}} = K^{p^{-\infty}}$ pour tout $n$. Si K est imparfait, on a $K \neq K^p$, d’où

pour $n \geq 1$ : les sous-corps $K^{p^{-n}}$ de E sont donc deux à deux distincts, et $K^{p^{-\infty}}$ est une extension algébrique de degré infini de K.

Soit $E_n$ l’ensemble des éléments de E qui sont radiciels de hauteur $\leq n$ sur K. D’après la prop. 2, le corps E est réunion de la suite croissante $(E_n)_{n \geq 0}$ de sous-corps. Soit $v$ un homomorphisme de E dans F prolongeant $u$ ; pour tout $x \in E_n$, on a $x^{p^n} \in K$, d’où $v(x)^{p^n} = v(x^{p^n}) = u(x^{p^n})$ ; on a donc $v(x) = u(x^{p^n})^{p^{-n}}$ pour tout $n \geq 0$ et tout $x \in E_n$, d’où l’unicité d’un prolongement de $u$ à E.

Soit $n$ un entier positif ; pour tout $x \in E_n$, on a $x^{p^n} \in K$, et comme F est parfait, on définit un élément $v_n(x)$ de F par $v_n(x) = u(x^{p^n})^{p^{-n}}$. Il est immédiat que $v_n$ est un homomorphisme de $E_n$ dans F, qu’on a $v_0 = u$ et que $v_{n+1}$ induit $v_n$ sur $E_n$. Il existe donc un homomorphisme $v$ de E dans F induisant $v_n$ sur $E_n$ pour tout $n \geq 0$ et en particulier, coïncidant avec $v_0 = u$ sur $E_0 = K$.

Le corollaire est trivial lorsque $p = 1$ ; supposons donc $p \neq 1$. Les conditions énoncées sont nécessaires d’après V, p. 5, th. 3 ; elles sont suffisantes d’après la prop. 3.

Comme E est une extension radicielle de degré fini de K, il existe des éléments $a_1, \ldots, a_m$ de E, radiciels sur K et tels que $E = K(a_1, \ldots, a_m)$. Soit $i$ compris entre 1 et $m$ ; comme $a_i$ est a fortiori radiciel sur $K(a_1, \ldots, a_{i-1})$, le degré

est une puissance de $p$ (V, p. 23, prop. 1). On a $[E : K] = n_1 \ldots n_m$ d’après V, p. 17, th. 2, d’où la proposition.