Chỉ cần chứng minh rằng đa thức $X^{p^e} - a$ là bất khả quy trong $K[X]$. Theo định nghĩa chiều cao của x, ta có $a \notin K^p$, do đó mệnh đề suy ra từ bổ đề:

Bổ đề 1. — Cho K là một trường và a là một phần tử của K sao cho $a \notin K^p$. Khi đó, với mọi số nguyên $e \geq 0$, đa thức $f(X) = X^{p^e} - a$ là bất khả quy trong $K[X]$.

Cho $\Omega$ là một bao đóng đại số của $K$ và cho b là phần tử $a^{p^{-e}}$ của $\Omega$; ta ký hiệu g là đa thức tối tiểu của b trên $K$. Ta có $f(X) = (X - b)^{p^e}$ và do đó mọi đa thức bất khả quy trong $K[X]$ chia hết f đều nhận b làm nghiệm, và vì thế bằng g. Do đó tồn tại (IV, p. 13, Mệnh đề 13) một số nguyên $q \geq 1$ sao cho $f = g^q$; vì q chia bậc $p^e$ của f, nên tồn tại một số nguyên $e'$ sao cho $0 \leq e' \leq e$ và $q = p^{e'}$. Nếu c là số hạng hằng của g, ta có $-a = c^q$; vì ta giả sử a không thuộc $K^p$, nên phải có $q = 1$, tức là $f = g$, và bổ đề được chứng minh.

Với mỗi số nguyên $n \geq 0$, tập hợp $E_n$ gồm tất cả các phần tử $x$ của E sao cho $x^{p^n} \in K$; vì ánh xạ $x \mapsto x^{p^n}$ là một tự đồng cấu của trường E, ta suy ra rằng $E_n$ là một mở rộng con của E. Dãy $(E_n)_{n \geq 0}$ tăng, có hợp là $E_r$ và do đó $E_r$ là một mở rộng con của E (V, p. 11, Mệnh đề 3). Rõ ràng $E_r$ là một mở rộng p-căn của K và $E_r$ chứa mọi mở rộng con của E là p-căn trên K.

Vì $E_r$ là một mở rộng con của E và theo giả thiết $E = K(E_\infty)$ do đó $E = E_r$; vậy E là một mở rộng p-căn của K.

Dưới các điều kiện của Mệnh đề 2, $E_r$ được gọi là bao đóng $p\text{-căn}$ tương đối của K trong E.

Ta sẽ áp dụng Mệnh đề 2 đặc biệt cho trường hợp E là một mở rộng đóng đại số của K; khi đó E là hoàn hảo và ta có $E_n = K^{p^{-n}}$ với mọi $n \geq 0$. Trong trường hợp này, ta ký hiệu $K^{p^{-\infty}}$ là tập hợp các phần tử của E là p-căn trên K; đó là trường con của E là hợp của dãy tăng $(K^{p^{-n}})_{n > 0}$ các trường con của E. Theo Mệnh đề 2, $K^{p^{-\infty}}$ là mở rộng con lớn nhất của E là p-căn trên K; theo Mệnh đề 3 của V, p. 6, $K^{p^{-\infty}}$ là một bao đóng hoàn hảo của K và nó cũng là trường con hoàn hảo nhỏ nhất của E chứa K. Khi K hoàn hảo, rõ ràng ta có $K = K^{p^{-n}} = K^{p^{-\infty}}$ với mọi n. Nếu K không hoàn hảo, ta có $K \neq K^P$, do đó

$^1$ Một mở rộng p-căn còn được gọi là một mở rộng thuần túy không tách được, hoặc một mở rộng căn.

với $n \geq 1$; khi đó các trường con $K^{p^{-n}}$ của E từng đôi một phân biệt và $K^{p^{-\infty}}$ là một mở rộng đại số có bậc vô hạn của K.

Gọi $E_n$ là tập hợp các phần tử của E là p-căn có chiều cao $\leq n$ trên K. Theo Mệnh đề 2, trường E là hợp của dãy tăng $(E_n)_{n \geq 0}$ các trường con. Gọi $v$ là một đồng cấu từ E vào F mở rộng u; với mọi $x \in E_n$ ta có $x^{p^n} \in K$, do đó $v(x)^{p^n} = v(x^{p^n}) = u(x^{p^n})$; do đó ta có $v(x) = u(x^{p^n})^{p^{-n}}$ với mọi $n \geq 0$ và mọi $x \in E_n$, do đó tính duy nhất của mở rộng của u lên E.

Cho $n$ là một số nguyên dương; với mọi $x \in E_n$ ta có $x^{p^n} \in K$ và vì F hoàn hảo, ta có thể định nghĩa một phần tử $v_n(x)$ của F bởi $v_n(x) = u(x^{p^n})^{p^{-n}}$. Rõ ràng $v_n$ là một đồng cấu từ $E_n$ vào F, $v_0 = u$ và $v_{n+1}$ cảm sinh $v_n$ trên $E_n$. Do đó tồn tại một đồng cấu $v$ từ E vào F cảm sinh $v_n$ trên $E_n$ với mọi $n \geq 0$ và, đặc biệt, trùng với $v_0 = u$ trên $E_0 = K$.

Hệ quả là tầm thường khi $p = 1$; giả sử khi đó $p \neq 1$. Các điều kiện đã nêu là cần thiết theo V, p. 5, Định lý 3; chúng là đủ theo Mệnh đề 3.

Vì E là một mở rộng p-căn có bậc hữu hạn của K, tồn tại các phần tử $a_1, \ldots, a_m$ của E, p-căn trên K, sao cho $E = K(a_1, \ldots, a_m)$. Cho i nhận các giá trị từ 1 đến m; vì $a_i$ a fortiori là p-căn trên $K(a_1, \ldots, a_{i-1})$, bậc

là một lũy thừa của p (V, p. 24, Mệnh đề 1). Ta có $[E : K] = n_1 \ldots n_m$ theo V, p. 18, Định lý 2, do đó có kết quả.