« \xi et \eta sont des cardinaux et \xi est équipotent à une partie de \eta » est une relation de bon ordre (III, p. 15).

Comme R{\xi, \xi} est vraie pour tout cardinal \xi, tout revient à voir que, pour tout ensemble E de cardinaux, la relation « \xi \in E et \eta \in E et R{\xi, \eta} » est une relation de bon ordre dans E. Considérons l'ensemble A = \bigcup_{\xi \in E} \xi; tout cardinal \xi \in E est donc une partie de A. Il existe sur A une relation de bon ordre (III, p. 20, th. 1) que nous noterons x \leq y, et toute partie de A est équipotente à un segment de A (III, p. 22, cor. 3). Pour tout cardinal \xi \in E, considérons l'ensemble des segments de A équipotents à \xi; cet ensemble de segments n'est pas vide, et admet donc un plus petit élément (III, p. 16, prop. 2); soit \varphi(\xi) cet élément. La relation

« \xi \in E et \eta \in E et \xi est équipotent à une partie de \eta »

est équivalente à

« \xi \in E et \eta \in E et \varphi(\xi) \subset \varphi(\eta) ».

contredisant la définition de $\varphi(\varepsilon)$. Comme l’ensemble des segments de A est bien ordonné par inclusion (III, p. 16, prop. 2), le théorème est démontré.

Nous noterons $\varepsilon \leq \eta$ la relation $R \{ \varepsilon, \eta \}$. Pour qu’un ensemble X soit équivalent à une partie d’un ensemble Y, il faut et il suffit que Card (X) $\leq$ Card (Y).

Il est clair que l’on a $0 \leq \varepsilon$ pour tout cardinal $\varepsilon$, et $1 \leq \varepsilon$ pour tout cardinal $\varepsilon \neq 0$.

En effet, il existe un ensemble E contenant tous les ensembles $\alpha_i$ (par exemple la somme de ces ensembles (II, p. 30)), d’où $\alpha_i \leq \alpha = \mathrm{Card}(E)$ pour tout $i \in I$. L’ensemble F des cardinaux $\leq \alpha$ étant bien ordonné et tous les $\alpha_i$ appartenant à F, la famille $(\alpha_i)_{i \in I}$ admet une borne supérieure $b$ dans cet ensemble. En outre, soit $c$ un cardinal $\geq \alpha_i$ pour tout $i \in I$; si on avait $c < b \leq \alpha$, on aurait $c \in F$, et l’inégalité $\alpha_i \leq c$ contredirait alors la définition de la borne supérieure de la famille $(\alpha_i)$ dans l’ensemble ordonné F ; d’où la proposition.

Par abus de langage, on dit que le cardinal $b$ est la borne supérieure de la famille $(\alpha_i)_{i \in I}$ de cardinaux et on le note $\sup_{i \in I} \alpha_i$.

En effet, il existe une section s associée à f (II, p. 18, prop. 8) et s est une injection de Y dans X.

Il existe en effet une bijection de P (resp. S) sur l'ensemble produit des ensembles $a_i$ (resp. sur l'ensemble somme des $a_i$) (II, p. 30, prop. 10 et p. 38, cor. de la prop. 11).

En effet, il existe une application de la somme S des $E_i$ sur leur réunion (II, p. 30); le corollaire résulte donc des prop. 3 et 4.

Les relations de a) résultent des formules analogues pour la réunion et le produit d'ensembles, car le fait que $f$ est une bijection implique que, si $(X_i)_{i \in I}$ est une famille d'ensembles mutuellement disjoints, il en est de même de la famille $(X_{f(\kappa)})_{\kappa \in K}$ (cf. II, p. 23, prop. 1 et p. 33, prop. 4).

Les relations de b) sont conséquences immédiates des formules d'associativité de la réunion et du produit (II, 24, prop. 2 et p. 35, prop. 7) et de la distributivité de l'intersection par rapport à la réunion (II, p. 35, prop. 8) qui prouve que, si $(X_i)_{i \in I}$ est une famille d'ensembles mutuellement disjoints, il en est de même de la famille $(\bigcup_{i \in J_\lambda} X_i)_{\lambda \in L}$.

Enfin, c) est conséquence de la distributivité du produit par rapport à la réunion et à l’intersection (II, p. 36, prop. 9 et p. 37, cor. 1).

Soient $a$ et $b$ deux cardinaux. Si I est un ensemble à deux éléments distincts (par exemple le cardinal 2), il existe une application $f$ de I sur $\{a, b\}$, ce qui définit une famille de cardinaux; la somme et le produit de celle-ci ne dépendent que de $a$ et $b$ (en vertu de la prop. 5 a)); on appelle ces cardinaux la somme et le produit de $a$ et de $b$, et on les note $a + b$ et $ab$. On définit et note de même la somme et le produit de plusieurs cardinaux. La prop. 5 entraîne alors le corollaire suivant:

(1)

C’est immédiat pour la somme, car l’ensemble somme $S_I$ de la famille d’ensembles $(a_i)_{i \in I}$ est équipotent à la réunion de l’ensemble somme $S_J$ de la famille $(a_i)_{i \in J}$ et de l’ensemble vide, donc équipotent à $S_J$. Pour le produit, cela résulte de ce que la projection $\mathrm{pr}_K$ de l’ensemble produit $\prod_{i \in I} a_i$ sur le produit partiel $\prod_{i \in K} a_i$ est une bijection (II, p. 35, Remarque 1).

La seconde formule résulte de ce qu’un ensemble est réunion de l’ensemble de ses parties à un élément. La première s’en déduit par multiplication par $a$, en utilisant le cor. 1.

Cela ne fait que traduire la condition pour qu’un ensemble produit soit non vide (II, p. 34, cor. 2).

Soit $X = a + 1 = b + 1$. Il existe des parties $A, B$ de $X$, de cardinaux $a$ et $b$, telles que les complémentaires $X - A$ et $X - B$ soient chacun réduits à un seul élément; soient $u$ et $v$ ces éléments. L’intersection $C = A \cap B$ a pour complémentaire dans $X$ l’ensemble $\{u, v\}$. Si $u = v$, on a $A = B = C$, d’où $a = b$. Sinon $A = C \cup \{v\}$, $B = C \cup \{u\}$, et $a = 1 + \mathrm{Card}(C) = b$.

On se gardera de croire que $a + m = b + m$ entraîne $a = b$ pour tout cardinal $m$ (cf. III, p. 48); nous verrons cependant qu’il en est bien ainsi lorsque $m$ est fini (III, p. 37, cor. 4 et p. 49, cor. 4).

En effet, il existe une bijection de $X^Y$ sur l’ensemble des applications de $b$ dans $a$ (II, p. 31, corollaire).

Cela résulte de la définition du produit d’une famille d’ensembles comme ensemble de graphes fonctionnels (II, p. 32).

On notera en particulier que l’on a $0^0 = 1$.

Si $a \geq b$, il existe en général plusieurs cardinaux $c$ tels que $a = b + c$ (cf. III, p. 30); on ne peut donc en général définir une « différence » $a - b$ de deux tels cardinaux (cf. III, p. 37).

La seconde inégalité résulte des relations d'inclusion entre produits d'ensembles (II, p. 34, cor. 3). D'autre part, si un ensemble $E$ est réunion d'une famille $(A_i)_{i \in I}$ de parties mutuellement disjointes et si $B_i \subset A_i$ pour tout $i$, les $B_i$ sont mutuellement disjointes et $\bigcup_i B_i \subset \bigcup_i A_i$ (II, p. 24), d'où la première inégalité.

Posons $b_i = \alpha_i$ pour $i \in J$, et $b_i = 0$ (resp. $b_i = 1$) pour $i \in I - J$. Il suffit d'appliquer la prop. 14, en remarquant que la relation $\alpha \neq 0$ entraîne $\alpha \geq 1$.

On a en effet $a^b \leq a'^{b'}$ d'après les prop. 10 (III, p. 28) et 14, et $a'^b \leq a'^{b'}$ d'après la prop. 10 et le cor. 1 de la prop. 14.

Théorème 2 (Cantor). — Pour tout cardinal $a$, on a $2^a > a$.

En effet, on a $\mathrm{Card}(\mathfrak{P}(a)) = 2^a$ (III, p. 29, prop. 12). L'application $x \mapsto \{x\}$ ($x \in a$) est une injection de $a$ dans $\mathfrak{P}(a)$; d'où $a \leq 2^a$. Il suffit de montrer que $a \neq 2^a$, c'est-à-dire que, pour toute application $f$ de $a$ dans $\mathfrak{P}(a)$, l'image $f(a)$ est distincte de $\mathfrak{P}(a)$. Or, soit $X$ l'ensemble des $x \in a$ tels que $x \notin f(x)$; si $x \in X$, on a $x \notin f(x)$, d'où $f(x) \neq X$; si $x \in a - X$, on a $x \in f(x)$ et $x \notin X$, donc $f(x) \neq X$. Ceci démontre que $X \notin f(a)$, d'où le théorème.

Si $U$ était un tel ensemble, il existerait un ensemble $S$, somme de la famille d'ensembles $(X)_{X \in U}$, et tout cardinal serait équipotent à une partie de $S$. En particulier, soit $s = \mathrm{Card} (S)$; comme $2^s$ est un cardinal, on aurait $2^s \leq s$, ce qui est absurde.