En effet, soit S un segment de E distinct de E. Comme E — S n’est pas vide, il a un plus petit élément $a$; en vertu de la déf. 2, la relation $x \geq a$ entraîne $x \notin S$, sinon l’on aurait $a \in S$, ce qui est absurde. Donc E — S est l’intervalle $[a, \rightarrow[$, et S l’intervalle $]\leftarrow, a[$.

Pour tout élément $x$ d’un ensemble totalement ordonné E, nous noterons $S_x$ le segment $]\leftarrow, x[$, et nous dirons que c’est le segment d’extrémité $x$.

On notera que, si E est bien ordonné et n’est pas vide, il a un plus petit élément $\alpha$, et que par suite $S_x$ est aussi l’intervalle semi-ouvert $[\alpha, x[$.

Soit E un ensemble totalement ordonné. La réunion A des $S_x$ lorsque $x$ parcourt E est E si E n’a pas de plus grand élément; si E possède un plus grand élément $b$, on a $A = E - \{b\}$.

Il est clair que, si $x \in E$ et $y \in E$, la relation $x \leq y$ entraîne $S_x \subset S_y$ et que $x < y$ entraîne $S_x \neq S_y$; l’application $x \mapsto S_x$ est donc un isomorphisme de E sur l’ensemble S(E) des segments de E distincts de E (III, p. 14, prop. 11), et par suite S(E) est bien ordonné. En outre, $E^*$ est isomorphe à l’ensemble bien ordonné déduit de S(E) par adjonction d’un plus grand élément.

La première assertion résulte du lemme général suivant:

En effet, soit $G_\alpha$ le graphe de l’ordre donné sur $X_\alpha$. Si $G$ est le graphe d’un ordre sur $E$ induisant sur chacun des $X_\alpha$ l’ordre de graphe $G_\alpha$, on a nécessairement $G_\alpha \subset G$ pour tout $\alpha \in A$, donc $G$ contient la réunion $\bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha$. D’autre part, pour tout couple $(x, y)$ d’éléments de $E$, il existe par hypothèse un indice $\alpha \in A$ tel que $x \in X_\alpha$ et $y \in X_\alpha$; si $(x, y) \in G$, on a nécessairement $(x, y) \in G_\alpha$, d’où $G \subset \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha$. Si l’ordre cherché existe sur $E$, son graphe est donc nécessairement $G = \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha$. Reste à montrer que cet ensemble répond à la question. Comme $G_\beta \cap (X_\alpha \times X_\alpha) = G_\alpha$ lorsque $X_\alpha \subset X_\beta$, on a $G \cap (X_\alpha \times X_\alpha) = G_\alpha$ pour tout $\alpha \in A$; d’autre part, il résulte de l’hypothèse que trois éléments quelconques $x, y, z$ de $E$ appartiennent à un même $X_\alpha$; on en conclut aussitôt que $(x, y) \in G$ est une relation d’ordre sur $E$, qui répond à la question.

Ce lemme étant établi, montrons que, sous les hypothèses de la prop. 3, chaque $X_t$ est un segment de $E$. En effet, si $x \in X_t, y \in E$ et $y \leq x$, il existe un indice $\kappa$ tel que $X_t \subset X_\kappa$ et $y \in X_\kappa$; comme par hypothèse $X_t$ est un segment de $X_\kappa$, on a $y \in X_t$, d’où notre assertion. Le même raisonnement prouve que, pour tout $x \in X_t$, le segment d’extrémité $x$ dans $X_t$ est identique à l’intervalle $]\leftarrow, x[$ dans $E$. Prouvons ensuite que $E$ est bien ordonné: en effet, si $H$ est une partie non vide de $E$, il y a un indice $t \in I$ tel que $H \cap X_t \neq \varnothing$; si $a$ est le plus petit élément de $H \cap X_t$ dans $X_t$, $a$ est aussi le plus petit élément de $H$ dans $E$; en effet, pour tout $x \in H$, il existe $\kappa \in I$ tel que $X_t \subset X_\kappa$ et $x \in X_\kappa$; on ne peut avoir $x < a$, puisque l’intervalle $]\leftarrow, a]$ est contenu dans $X_t$, et par suite on a $x \geq a$, $X_\kappa$ étant totalement ordonné.

Reste enfin à montrer qu’un segment de $E$ distinct de $E$ est un segment de l’un des $X_t$; cela résulte aussitôt de ce qui précède, puisqu’un tel segment est de la forme $]\leftarrow, x[$ (III, p. 16, prop. 1) et que $x$ appartient à un $X_t$.

En effet, supposons qu’il y ait des segments de $E$ n’appartenant pas à $\mathfrak{S}$, et soit $S$ le plus petit d’entre eux (III, p. 16, prop. 2). Si $S$ n’a pas de plus grand élément, S est réunion de segments de S distincts de S, et ces segments appartiennent à $\mathfrak{S}$ d’après la définition de S, donc $S \in \mathfrak{S}$, ce qui est absurde. Si au contraire S a un plus grand élément a, on a $S = S_a \cup \{a\}$, et comme $S_a$ est un segment de S distinct de S, on a $S_a \in \mathfrak{S}$; mais on a alors aussi $S \in \mathfrak{S}$, ce qui est absurde.

Pour plus de commodité, nous nous placerons dans une théorie $\mathscr{T}$ où E est un ensemble bien ordonné par une relation notée $x \leq y$. On a alors les critères suivants:

C59 (Principe de récurrence transfinie). Soit $R^{x}$ une relation de $\mathscr{T}$ (x n’étant pas une constante de $\mathscr{T}$), telle que la relation

soit un théorème de $\mathscr{T}$. Dans ces conditions, la relation $(x \in E) \Rightarrow R^{x}$ est un théorème de $\mathscr{T}$.

En effet, soit $\mathfrak{S}$ l’ensemble des segments S de E tels que $(y \in S) \Rightarrow R^{y}$. Il est clair que toute réunion de segments appartenant à $\mathfrak{S}$ appartient à $\mathfrak{S}$. D’autre part, si $S_x \in \mathfrak{S}$, on a $R^{x}$ d’après l’hypothèse du critère, donc $(y \in S_x \cup \{x\}) \Rightarrow R^{y}$ d’après la méthode de disjonction des cas. Alors (lemme 2), $E \in \mathfrak{S}$, ce qui prouve le critère.

Dans les utilisations de C59, la relation

s’appelle généralement « l’hypothèse de récurrence ».

Pour toute application g d’un segment S de E dans un ensemble F, et pour tout $x \in S$, nous désignerons, dans ce qui suit, par $g^{(x)}$ l’application du segment $S_x = ]\leftarrow, x[$ de E sur $g(S_x)$ qui coïncide avec g dans $S_x$. Avec cette notation:

C60 (définition d’une application par récurrence transfinie). Soient u une lettre, T^{u} un terme de la théorie $\mathscr{T}$. Il existe un ensemble U et une application f de E sur U tels que, pour tout $x \in E$, on ait $f(x) = T^{f^{(x)}}$. En outre, l’ensemble U et l’application f sont déterminés de façon unique par ces conditions.

Prouvons d’abord la propriété d’unicité. Supposons que $f'$ et $U'$ satisfont aussi aux conditions du critère. Soit $\mathfrak{S}$ l’ensemble des segments S de E tels que $f$ et $f'$ coïncident dans S. Il est clair que toute réunion de segments appartenant à $\mathfrak{S}$ appartient à $\mathfrak{S}$. D’autre part, si $S_x \in \mathfrak{S}$, $f$ et $f'$ coïncident dans $S_x$, donc $f^{(x)} = f'^{(x)}$ et par suite $f(x) = T^{f^{(x)}} = T^{f'^{(x)}} = f'(x)$, ce qui montre que $S_x \cup \{x\} \in \mathfrak{S}$. Il en résulte que $E \in \mathfrak{S}$ (lemme 2) et par suite $f = f'$ et $U' = f'(E) = f(E) = U$.

Désignons maintenant par $\mathfrak{S}_1$ l’ensemble des segments S de E pour lesquels il existe un ensemble $U_S$ et une application $f_S$ de S sur $U_S$ tels que, pour tout $x \in S$, on ait $f_S(x) = T^{f_S^{(x)}}$. Pour tout $S \in \mathfrak{S}_1$, $f_S$ et $U_S$ sont déterminés de façon unique en vertu de la première partie du raisonnement; en particulier, si $S'$ et $S''$ sont deux segments appartenant à $\mathfrak{S}_1$ et tels que $S' \subset S''$, $f_{S'}$ est l’application de $S'$ sur $f_{S''}(S')$ qui coïncide avec $f_{S''}$ dans $S'$. Il suit de cette remarque que toute réunion de segments appartenant à $\mathfrak{S}_1$ appartient à $\mathfrak{S}_1$ (II, p. 28, prop. 7). D’autre part, si $S_x \in \mathfrak{S}_1$, on définit sur $S = S_x \cup \{x\}$ une fonction $f_S$ prolongeant $f_{S_x}$ en posant $f_S(x) = T\{f_{S_x}\}$ (II, p. 29, prop. 8), et comme $f_S^{(x)} = f_{S_x}$, il est immédiat que $S_x \cup \{x\} \in \mathfrak{S}_1$. Donc (lemme 2), on a $E \in \mathfrak{S}_1$, ce qui achève la démonstration.

Le plus souvent, on appliquera le critère précédent au cas où il existe un ensemble $F$ tel que, pour toute application h d’un segment de E sur une partie de F, on ait $T\{h\} \in F$. Alors l’ensemble $U$ obtenu par application de C60 est une partie de F. En effet, avec les notations précédentes, soit $\mathfrak{S}_2$ la partie de $\mathfrak{S}_1$ formée des segments $S$ de $E$ tels que $U_S \subset F$. On voit aussitôt que toute réunion de segments appartenant à $\mathfrak{S}_2$ appartient à $\mathfrak{S}_2$; d’autre part, l’hypothèse sur $F$ entraîne que, si $S_x \in \mathfrak{S}_2$, on a $S_x \cup \{x\} \in \mathfrak{S}_2$; on conclut encore à l’aide du lemme 2.

Soit $\mathfrak{S} = \mathfrak{P}(E) - \{E\}$ l’ensemble des parties de E distinctes de E; pour tout $X \in \mathfrak{S}$, posons $p(X) = \tau_x(x \in E - X)$; comme la relation $X \in \mathfrak{S}$ entraîne $(\exists x)(x \in E - X)$, elle entraîne par définition $p(X) \in E - X$ (I, p. 32), donc $p(X) \notin X$. On peut alors appliquer le lemme 3; il existe par suite un bon ordre sur une partie M de E telle que $M \notin \mathfrak{S}$; mais la seule partie de E n’appartenant pas à $\mathfrak{S}$ est E, d’où le théorème.

Ce théorème est un cas particulier du résultat suivant:

Disons qu’un élément $v \in E$ est un majorant strict d’une partie X de E si $v$ est un majorant de X et si $v \notin X$. Soit $\mathfrak{S}$ l’ensemble des parties de E admettant un majorant strict, et pour tout $S \in \mathfrak{S}$, posons $p(S) = \tau_v(v \text{ est un majorant strict de } S)$; alors $p(S)$ est un majorant strict de S. Appliquant à $\mathfrak{S}$ et à $p$ le lemme 3 (III, p. 19), on voit qu’il existe une partie M de E et un bon ordre $\Gamma$ sur $M$ satisfaisant aux conditions de ce lemme; en particulier, $M$ n’admet pas de majorant strict dans $E$. En outre, l’ordre $\Gamma$ est identique à l’ordre induit sur $M$ par celui de $E$. En effet, dans $M$, la relation « $y \in \Gamma\langle x \rangle$ et $x \neq y$ » équivaut à $x \in S_y$, et comme $p(S_y) = y$ est un majorant de $S_y$ (pour l’ordre de $E$), elle entraîne $x < y$ dans $E$. Mais cela signifie que l’injection de $M$ dans $E$ est une application strictement croissante (lorsque $M$ est muni de $\Gamma$) et comme $M$ est totalement ordonné, on en conclut que, dans $M$, les relations $y \in \Gamma\langle x \rangle$ et $x \leq y$ sont équivalentes (III, p. 14, prop. 11). Cela étant, il existe par hypothèse un majorant $m$ de $M$ dans $E$; mais comme $M$ n’admet pas de majorant strict, $m$ est nécessairement élément maximal dans $E$.

En effet, il résulte de la déf. 3 que l’ensemble $F$ des éléments $x \geq a$ de $E$ est inductif, et un élément maximal de $F$ est aussi élément maximal de $E$.

Soit $\mathfrak{F}$ l’ensemble des applications de parties de $E$ dans $F$ dont chacune est définie dans un segment de $E$ et est un isomorphisme de ce segment sur un segment de $F$. L’ensemble $\mathfrak{F}$, ordonné par la relation « $v$ prolonge $u$ » entre $u$ et $v$, est inductif. En effet, soit $\mathfrak{G}$ une partie totalement ordonnée de $\mathfrak{F}$; la réunion $S$ des ensembles de définition des $u \in \mathfrak{G}$ est une réunion de segments de $E$, donc un segment de $E$; si $v$ est la borne supérieure de $\mathfrak{G}$ dans $\Phi(E, F)$ (III, p. 10, Exemple 2), $v(S)$ est réunion des ensembles de valeurs des $u \in \mathfrak{G}$, donc est un segment de $F$; enfin, pour tout couple d’éléments $x, y$ de $S$, tel que $x < y$, il existe un $u \in \mathfrak{G}$ dont l’ensemble de définition contient $x$ et $y$ (puisque $\mathfrak{G}$ est totalement ordonnée), et comme $v(x) = u(x) < u(y) = v(y)$, $v$ est un isomorphisme de $S$ sur $v(S)$, ce qui démontre notre assertion. Soit alors $u_0$ un élément maximal de $\mathfrak{F}$ (III, p. 20, th. 2), et soit $S_0$ le segment de $E$ qui est l’ensemble de définition de $u_0$. Si nous prouvons que l’on a, soit $S_0 = E$, soit $u_0(S_0) = F$, l’existence de l’un des isomorphismes considérés dans l’énoncé sera démontrée. Raisonnons par l’absurde, en supposant $S_0 \neq E$ et $u_0(S_0) \neq F$; il existerait alors un élément $a \in E$ et un élément $b \in F$ tels que $S_0 = ]\leftarrow, a[$ et $u_0(S_0) = ]\leftarrow, b[$ (III, p. 16, prop. 1); prolongeons $u_0$ en une application $u_1$ du segment }←, a{ dans F, en posant $u_1(a) = b$; comme $u_1$ est un isomorphisme de }←, a} sur le segment }←, b), cela contredit l’hypothèse que $u_0$ est maximal dans $\mathfrak{F}$.

Les assertions d’unicité du th. 3 sont conséquences du lemme suivant:

Raisonnons par l’absurde, en supposant que l’ensemble des $y \in E$ tels que $f(y) > g(y)$ ne soit pas vide; cet ensemble aurait alors un plus petit élément a. Pour $x < a$, on a, par définition de a, $f(x) \leqslant g(x) < g(a) < f(a)$, g étant strictement croissante. Comme $f(E)$ est un segment de F, il existe $z \in E$ tel que $g(a) = f(z)$; f étant croissante, la relation $f(z) < f(a)$ entraîne $z < a$, d’où

ce qui est absurde.

Il suffit en effet de faire $F = E$ dans le th. 3.

En effet, $g \circ f$ est un isomorphisme de E sur le segment $g(T) \subset S$ de E; en vertu du cor. 1, on a nécessairement $g(T) = S = E$ et $g \circ f$ est l’application identique de E; on voit de même que $f \circ g$ est l’application identique de F, d’où le corollaire.

En vertu du th. 3, il suffit de prouver qu’il n’existe pas d’isomorphisme g de E sur un segment de A de la forme $S_a$; mais g serait alors une application strictement croissante de E dans E, telle que $g(a) \in S_a$, autrement dit $g(a) < a$; or, cette inégalité contredit le lemme 4 (où on prend pour f l’application identique).