Soit $x_k$ le générateur de $A/\alpha_k$ image canonique de l’élément unité de A, de sorte que E est somme directe des $Ax_i$ ($1 \leq i \leq n$). On sait alors (III, p. 84, prop. 10) que l’algèbre extérieure $\Lambda E$, en tant que A-module, est isomorphe au produit tensoriel $\bigotimes_{i=1}^n (\Lambda (Ax_i))$. Or $\Lambda (Ax_i)$ se réduit à la somme directe $A \oplus Ax_i$, tout produit extérieur de deux éléments de $Ax_i$ étant nul, et $\Lambda^p E$ est donc somme directe des modules $M_H = (Ax_{k_1}) \otimes ... \otimes (Ax_{k_p})$, $H = \{k_1, ..., k_p\}$ parcourant l’ensemble des parties à p éléments de $\{1, n\}$ (avec $k_1 < k_2 < ... < k_p$) ; or, on sait que $M_H$ est isomorphe à $A/\alpha_H$ (II, p. 60, cor. 4), ce qui achève la démonstration.

Nous allons maintenant voir que, avec les notations de la prop. 1, si les idéaux $a_k$ forment une suite croissante, ils sont entièrement déterminés par la connaissance du module $E$; de façon plus précise :

En effet, avec les notations de la prop. 1, on a $a_H = a_{s(H)}$, $s(H)$ désignant le plus grand élément de la partie $H$. Comme $s(H) \geq p$ pour toute partie $H$ à $p$ éléments, et que $s(H) = p$ pour $H = \{1, 2, \ldots, p\}$, $a_p$ est l’intersection des $a_H$, $H$ parcourant l’ensemble des parties à $p$ éléments de $\{1, n\}$; l’idéal $a_p$ est donc bien, en vertu de la prop. 1, l’annulateur de $\bigwedge^p E$.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : cela résulte de la définition. (ii) $\Rightarrow$ (iii) : soit $f$ une forme linéaire sur $L$ telle que $f(x) = 1$; alors $x \neq 0$ et l’application $y \mapsto f(y) x$ est un projecteur de $L$, d’image $Ax$. (iii) $\Rightarrow$ (iv) : soit $L'$ un supplémentaire de $Ax$ dans $L$, et soit $B'$ une base de $L'$ (VII, p. 14, cor. 2) ; alors $B' \cup \{x\}$ est une base de $L$. (iv) $\Rightarrow$ (i) : c’est trivial.

a) L est somme directe de $A(x/c)$ et du noyau K de f. b) M est somme directe de Ax et de $K \cap M$. c) Pour toute forme linéaire g sur L, on a $g(M) \subset Ac$.

Posons $y = x/c$; il est clair que $Ay \cap K = \{0\}$, puisque $f(y) = 1$. Par ailleurs, pour tout $u \in L$, on a

avec $f(u)\ y \in Ay$ et $u - f(u)\ y \in K$; cela prouve a). Notons maintenant que pour $u \in M$, on a $f(u) \in Ac$ : en effet, soit $u \in M$, et soit d un pgcd de $f(u)$ et c ; il existe $\lambda, \mu \in A$ avec $d = \lambda f(u) + \mu c = f(\lambda u + \mu x)$; le contenu de l’élément $\lambda u + \mu x$ de M divise donc d ; d’après le caractère maximal de c, cela implique que d est associé à c, donc que $f(u) \in Ac$. Pour tout $u$ dans M, on peut donc écrire

d’où b). Soit enfin g une forme linéaire sur L ; d’après a), il existe un scalaire $\alpha \in A$ et une forme linéaire h sur K tels que l’on ait $g(u) = \alpha f(u) + h(u - f(u)\ y)$; d’après b), on a donc $g(M) \subset Ac + h(K \cap M)$. Pour prouver c), il suffit donc de démontrer que pour toute forme linéaire h sur K, ou, ce qui revient au même, pour toute forme linéaire h sur L telle que $h(x) = 0$, on a $h(K \cap M) \subset Ac$; or, si $u \in K \cap M$ et si d est un pgcd de $h(u)$ et c, il existe $\lambda, \mu \in A$ avec $d = \lambda h(u) + \mu c$; on a alors $(f + h)(\lambda u + \mu x) = d$, ce qui implique comme ci-dessus $h(u) \in Ac$, d’où c).

1) Existence des $e_i$ et des $\alpha_i$.

Si $M = \{0\}$, le théorème est trivial. Si $M \neq \{0\}$, il résulte de la prop. 3 qu’il existe un élément $e_1$ de $L$, un élément $\alpha_1$ de $A$, non nuls, et un sous-module $L_1$ de $L$, tels que $L$ soit somme directe de $Ae_1$ et $L_1$, que $M$ soit somme directe de $A\alpha_1e_1$ et du sous-module $M_1 = M \cap L_1$ de $L_1$, et que pour toute forme linéaire $g$ sur $L$, on ait $g(M) \subset A\alpha_1$.

On peut alors procéder par récurrence sur le rang $n$ de $M$. Comme $L_1$ est un module libre (VII, p. 14, cor. 2), et comme $M_1$ est de rang $n - 1$, il existe une base $B_1$ de $L_1$, $n - 1$ éléments $e_2, ..., e_n$ de $B_1$, et des éléments non nuls $\alpha_2, ..., \alpha_n$ de $A$ tels que $(\alpha_2e_2, ..., \alpha_ne_n)$ soit une base de $M_1$, et que $\alpha_i$ divise $\alpha_{i+1}$ pour $2 \leq i \leq n-1$. Si $L'$ est le sous-module de $L_1$ engendré par les éléments de $B_1$ distincts de $e_2, ..., e_n$, $L$ est somme directe de $L'$ et du module $M'$ engendré par $e_1, ..., e_n$; $(e_1, ..., e_n)$ est une base de $M'$, et $(\alpha_1e_1, ..., \alpha_ne_n)$ une base de $M$. Il ne reste plus qu’à montrer que $\alpha_1$ divise $\alpha_2$; or, $A\alpha_2$ est de la forme $g(M_1)$, où $g$ est la forme linéaire sur $L$ définie par $g(e_2) = 1, g(e_i) = 0$ pour $i \neq 2$, et $g(L') = \{0\}$; et l’on a vu ci-dessus que $g(M_1) \subset A\alpha_1$.

2) Propriétés d’unicité.

Comme les $\alpha_i$ sont différents de 0, $M'$ est l’ensemble des $x \in L$ pour lesquels il existe $\beta \neq 0$ dans $A$ tel que $\beta x \in M$; autrement dit $M'/M$ est le sous-module de torsion de $L/M$. Ceci détermine $M'$ de façon unique.

Il est clair que $M'/M$ est isomorphe à la somme directe des $n$ modules monogènes $A/A\alpha_i$ (II, p. 14, formule (26)). Soit $r$ le nombre des idéaux $A\alpha_i$ qui sont distincts de $A$ : les $n - r$ premiers idéaux $A\alpha_i$ sont ainsi égaux à $A$, les $r$ derniers en étant distincts. Alors $M'/M$ est aussi isomorphe à la somme directe des modules $A/A\alpha_n, ..., A/A\alpha_{n-r+1}$, où $A\alpha_n \subset A\alpha_{n-1} \subset ... \subset A\alpha_{n-r+1} \neq A$.

Nous sommes donc dans les conditions d’application du cor. de la prop. 2 (VII, p. 16) : les idéaux $A\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) sont déterminés de façon unique par $M'/M$.

Comme $L$ est somme directe de $M'$ et de $L'$, $L/M$ est somme de $M'/M$ et de $(L' + M)/M$, somme qui est directe puisque $M' \cap (L' + M) = M$; d’autre part $(L' + M)/M$ est isomorphe à $L'/(M \cap L')$ (I, p. 39, th. 4, c)), c’est-à-dire à $L'$, ce qui montre que $(L' + M)/M$ est un module libre isomorphe à $L/M'$.

Avec les notations du th. 1, si $L/M$ est sans torsion, on a $M = M'$, et $M'$ admet un supplémentaire $L'$ dans $L$. Si réciproquement $M$ admet un supplémentaire $L'$ dans $L$, $L/M$ est isomorphe à $L'$, qui est libre (VII, p. 14, cor. 2), et a fortiori sans torsion.

Si E peut être engendré par q générateurs, il est isomorphe à un module quotient L/M où $L = A^q$ (II, p. 27). Comme M est de rang fini $n \leq q$ (VII, p. 14, prop. 1), nous sommes dans les conditions d’application du th. 1 (VII, p. 17). Avec les notations de ce dernier, L/M est isomorphe à la somme directe d’un supplémentaire L’ de M’ dans L, et du module de torsion M’/M. Le module L’ est libre et de rang fini $p = q - n$, donc isomorphe à $A^p$. Si r est le plus petit indice tel que $A\alpha_r \neq A$, M’/M est isomorphe à la somme directe des modules $A/A\alpha_i$ pour $r \leq i \leq n$. On satisfera alors aux conditions énoncées en prenant $m = p + (n - r + 1)$, $\alpha_k = (0)$ pour $1 \leq k \leq p$, et $\alpha_{p+j} = A\alpha_{n-j+1}$ pour $1 \leq j \leq n - r + 1$. Quant à l’unicité, elle résulte du cor. de VII, p. 16.

Le sous-module de torsion de E admet en général plusieurs supplémentaires distincts. Par exemple si $E = \mathbf{Z} \times (\mathbf{Z}/(2))$, le sous-module de torsion de E est $\{0\} \times (\mathbf{Z}/(2))$; il admet pour supplémentaire le sous-module $\mathbf{Z} \times \{0\}$, et aussi le sous-module formé des éléments $(n, \bar{n})$, où n parcourt $\mathbf{Z}$ et $\bar{n}$ est la classe de n mod. 2.

Ceci résulte aussitôt du cor. 1.

L’hypothèse que le module est de type fini est essentielle. Par exemple le groupe additif du corps des fractions K de A, considéré comme A-module, est sans torsion ; cependant ce n’est pas un module libre si $A \neq K$, car, d’une part, toute famille d’au moins 2 éléments de K est liée, et d’autre part K n’est pas un A-module monogène, sinon on aurait $K = ab^{-1}A$ ($a \in A, b \in A$), d’où $b^{-2} = acb^{-1}$ ($c \in A$), $b^{-1} = ac \in A$, et $K = A$.

D’après le th. 1, il est clair que l’on a $M \subset \alpha_1 L$; donc les coordonnées d’un élément quelconque de M sont toutes multiples de $\alpha_1$. D’autre part, il existe un élément $x$ de M dont $\alpha_1$ est un contenu dans L. En exprimant $x$ comme combinaison linéaire des $x_i$, on en déduit que $\alpha_1$ est élément de l’idéal engendré par les coordonnées des $x_i$. Comme celles-ci sont toutes multiples de $\alpha_1$, il en résulte que $\alpha_1$ est bien leur pgcd, et notre assertion est démontrée pour $m = 1$.

Pour m quelconque, considérons le module $\bigwedge^m M$, puissance extérieure m-ième de M (III, p. 76). Avec les notations du th. 1, M admet pour base $(a_i)$ où $a_i = \alpha_i e_i$ ($1 \leq i \leq n$); donc $\bigwedge^m M$ admet une base formée des éléments $a_{i_1} \wedge \ldots \wedge a_{i_m}$, $(i_1, \ldots, i_m)$ parcourant l’ensemble des suites strictement croissantes de m indices de $[1, n]$. Or les éléments $e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_m}$ appartiennent à une base $B_m$ de $\bigwedge^m L$. Donc l’application canonique de $\bigwedge^m M$ dans $\bigwedge^m L$ est un isomorphisme de $\bigwedge^m M$ sur le sous-module de $\bigwedge^m L$ ayant pour base les éléments $(\alpha_{i_1} \ldots \alpha_{i_m}) e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_m}$, sous-module que l’on identifie à $\bigwedge^m M$. Comme $\alpha_j$ est multiple de $\alpha_k$ pour $j \geq k$, les éléments $\alpha_{i_1} \ldots \alpha_{i_m}$ sont tous multiples de $\delta_m = \alpha_1 \ldots \alpha_m$, et l’un d’eux lui est égal ; donc $\delta_m$ est un pgcd de l’ensemble des coordonnées, par rapport à la base $B_m$ de $\bigwedge^m L$, des éléments d’un système de générateurs de $\bigwedge^m M$. La première partie du raisonnement montre alors que $\delta_m$ est un pgcd de l’ensemble des coordonnées d’un système quelconque de générateurs de $\bigwedge^m M$, par rapport à une base quelconque de $\bigwedge^m L$. En prenant pour base de $\bigwedge^m L$ celle qui est canoniquement déduite de la base $(u_j)$ de L, et pour système de générateurs de $\bigwedge^m M$ celui formé par les produits extérieurs des $(x_i)$, l’expression des coordonnées de ces produits au moyen de déterminants (III, p. 96, prop. 9) donne le résultat annoncé.

Soit L_0 = \overline{f}(0) le noyau de f ; le quotient L/L_0 est isomorphe au module f(L), qui est libre en tant que sous-module de L’ (VII, p. 14, cor. 2) ; donc L_0 admet un supplémentaire L_1 dans L (II, p. 27, prop. 21), et la restriction de f à L_1 est un isomorphisme de L_1 sur f(L) = M’. Si les idéaux A\alpha_i (1 \leq i \leq r) sont les facteurs invariants de M’ dans L’, le th. 1 de VII, p. 17 montre qu’il existe une base (e_j’) (1 \leq j \leq n) de L’ telle que (\alpha_i e_i’) (1 \leq i \leq r) soit une base de M’. Comme la restriction de f à L_1 est un isomorphisme de L_1 sur M’, il existe une base (e_i) (1 \leq i \leq r) de L_1 telle que f(e_i) = \alpha_i e_i’. On complète cette base de L_1 en une base (e_k) (1 \leq k \leq m) de L au moyen d’une base (e_s) (r + 1 \leq s \leq m) du noyau L_0.

Étant données que deux matrices X et X’ sont équivalentes s’il existe des matrices carrées inversibles P et Q, d’ordres n et m, sur A, telles que X’ = PXQ, le corollaire 1 n’est que la traduction en termes de matrices de la prop. 5.

Avec les notations de la prop. 5 et du cor. 1, les idéaux (non nuls) A\alpha_i sont appelés les facteurs invariants de l’application linéaire f, ou de la matrice X. Il résulte alors aussitôt du cor. 1 que :

On remarquera que, lorsque $\mathbf{A}$ est un corps, on peut prendre les $\alpha_i$ égaux à 1, et l’on retrouve alors la prop. 13 de II, p. 160.

Si $X$ est la matrice de l’application linéaire $f$ par rapport à une base quelconque de $L$ et une base quelconque de $L'$, les colonnes de $X$ sont formées avec les coordonnées, par rapport à la base de $L'$, d’éléments de $L'$ qui constituent un système générateur de $f(L)$. On déduit donc aussitôt de la prop. 4 le résultat suivant :

Conservons les notations du th. 3. On a $p = 0$ car $G$ est fini et $q \leq 1$, car sinon l’ordre de $G$ serait divisible par $n_q^2$. Donc $G$ est cyclique.

En changeant au besoin de bases dans L et M on peut supposer que U est de la forme décrite dans VII, p. 21, cor. 1 de la prop. 5 (les $\alpha_i$ étant ici des entiers); le corollaire devient alors évident, l’ordre d’une somme directe de $\mathbf{Z}$-modules $\mathbf{Z}/\alpha_i\mathbf{Z}$ ($1 \leq i \leq n$) étant infini si l’un des $\alpha_i$ est nul et égal à $|\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n|$ sinon.

Soient b et c deux idéaux de A, tels que $A = b + c$ et $b \cap c = q$. On a $bc \subset b \cap c = q \subset p$; si $x \notin p$ et $x \in c$, alors $xb \subset p$, donc $b \subset p$ (I, p. 111, prop. 4); on a donc, soit $b \subset p$, soit $c \subset p$. Supposons par exemple $c \subset p$, donc $b + p = A$; il existe $x \in b$ et $y \in p$ tels que $1 = x + y$; soit $n \in \mathbf{N}$ tel que $y^n \in q$; on a $1 = (x + y)^n$, donc $1 \in xA + y^nA \subset b + q \subset b$, donc $b = A$. Appliquant le lemme 2, on en déduit que $A/q$ est indécomposable.

Supposons maintenant A principal ; d’après VII, p. 2, prop. 2, les idéaux premiers de A sont les idéaux ($p$), où $p$ est un élément extrémal de A, et l’idéal 0 ; d’après la proposition précédente, les modules A et $A/(p^n)$, $p$ extrémal, $n > 0$, sont indécomposables. Comme tout module monogène est somme directe de modules du type précédent (VII, p. 3, prop. 4) et que tout A-module de type fini est somme directe de modules monogènes (VII, p. 19, th. 2), on en conclut :

a) Pour que M soit indécomposable, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à A où à un module de la forme $A/(p^n)$, où $p$ est un élément extrémal de A et n un entier $> 0$.

b) M est somme directe d’une famille finie de sous-modules indécomposables.

On peut préciser la partie b) de la proposition précédente comme suit :

L’existence des entiers $m(0)$ et $m(p^n)$, $p \in \mathbf{P}$, $n > 0$ résulte de la prop. 8. L’entier $m(0)$ est uniquement déterminé : c’est le rang du module libre quotient de $\mathbf{M}$ par son sous-module de torsion. Enfin, le composant $p$-primaire de $\mathbf{M}$ est isomorphe à la somme directe des $(\mathbf{A}/(p^n))^{m(p^n)}$ ; comme la famille des idéaux $(p^n)$ ($n \geqslant 1$) est totalement ordonnée par inclusion, l’unicité des $m(p^n)$ résulte du cor. de la prop. 2 de VII, p. 16.

Utilisant VII, p. 19, th. 2 et II, p. 13, cor. 1, on se ramène au cas où M est monogène. On peut donc supposer $M = A/tA$, avec $t \neq 0$. Notons que tout homomorphisme $u : A/tA \to K/A$ est entièrement déterminé par l’image $\xi \in K/A$ par $u$ de la classe $\varepsilon$ de 1 mod. $tA$, cet élément devant satisfaire à la relation $t\xi = 0$; inversement, pour tout $\xi \in K/A$ tel que $t\xi = 0$, il existe un homomorphisme $u : A/tA \to K/A$ tel que $u(\varepsilon) = \xi$. On en conclut que D(M) est isomorphe à $t^{-1}A/A$, et comme l’homothétie de rapport $t$ est bijective dans K, D(M) est aussi isomorphe à $A/tA$, ce qui démontre la première assertion. Cela montre que M et D(D(M)) sont isomorphes, donc ont même longueur ; d’autre part, $c_M$ est injective, car si $y \in A$ est tel que la relation $tz \in A$ (pour $z \in K$) entraîne $yz \in A$, on a, en prenant $z = t^{-1}$, $y \in tA$. On en conclut que l’image $c_M(M)$ est nécessairement égale à $D(D(M))$.