Exercice 24, § 3

On dit qu’un anneau (commutatif ou non) A, non réduit à 0, est principal s’il ne possède pas de diviseur de zéro non nul et si tout idéal à gauche ou à droite de A est monogène. Un tel anneau est noethérien à gauche et à droite.

a) Montrer que pour tout élément $c \neq 0$ de A, $A/Ac$ est un A-module de longueur finie. (Observer que si une suite décroissante d’idéaux $Aa_n$ de A contient $Ac$, on a $c = b_n a_n$ pour tout $n$, et considérer les idéaux à droite $b_n A$.)

b) Montrer que tout sous-module d’un A-module libre (à gauche ou à droite) est libre (même raisonnement que dans Alg., chap. VII, § 3, th. 1).

c) Dans tout A-module M, l’ensemble des éléments non libres de M est un sous-module T de M, dit sous-module de torsion de M (utiliser le chap. II, § 2, exerc. 14 a)); on dit que M est un module de torsion si T = M ; on dit que M est sans torsion si T = 0.

d) Montrer que tout A-module de type fini et sans torsion est libre (utiliser le chap. II, § 2, exerc. 23 b)).

e) Montrer que tout A-module de type fini est somme directe d’un module libre et d’un module de torsion.

f) Soit a un idéal bilatère ≠ 0 de A. Montrer qu’il existe un élément a ∈ a et un automorphisme σ de A tels que a = Aa = aA et que ax = σ(x)a pour tout x ∈ A. (Si b est un générateur de l’idéal à gauche a, il existe un endomorphisme τ de A tel que bx = τ(x)b pour tout x ∈ A ; montrer que si a = ub est un générateur de l’idéal à droite a, u est inversible en utilisant Alg., chap. VIII, § 2, exerc. 8 b).)