Bài tập 24, § 3

Một vành (giao hoán hoặc không) $A$, không suy biến về 0, được gọi là một vành iđêan chính nếu nó không có các ước của không và mọi iđêan trái hoặc phải của $A$ đều đơn sinh. Một vành như vậy là Noether trái và phải.

\* Các bài tập 22 đến 25 được P. Gabriel thông báo cho chúng tôi.

(a) Chứng minh rằng, với mọi phần tử $c \neq 0$ của $A$, $A/Ac$ là một $A$-môđun có độ dài hữu hạn. (Nhận xét rằng, nếu một dãy giảm các iđêan $Aa_n$ của $A$ chứa $Ac$, thì $c = b_n a_n$ với mọi $n$ và xét các iđêan phải $b_n A$.)

(b) Chứng minh rằng mọi môđun con của một $A$-môđun tự do (trái hoặc phải) là tự do (cùng lập luận như trong Đại số, Chương VII, § 3, Định lý 1).

(c) Trong mọi $A$-môđun $M$, tập hợp các phần tử của $M$ không tự do là một môđun con $T$ của $M$ được gọi là môđun con xoắn của $M$ (sử dụng Chương II, §2, Bài tập 14 (a)); $M$ được gọi là một môđun xoắn nếu $T = M$; $M$ được gọi là không xoắn nếu $T = 0$.

(d) Chứng minh rằng mọi $A$-môđun không xoắn sinh hữu hạn là tự do (sử dụng Chương II, § 2, Bài tập 23 (b)).

(e) Chứng minh rằng mọi $A$-môđun sinh hữu hạn là tổng trực tiếp của một môđun tự do và một môđun xoắn.

(f) Cho $a$ là một iđêan hai phía $\neq 0$ của $A$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $a \in a$ và một tự đẳng cấu $\sigma$ của $A$ sao cho $a = Aa = aA$ và $ax = \sigma(x)a$ với mọi $x \in A$. (Nếu $b$ là một phần tử sinh của iđêan trái $a$, tồn tại một tự đồng cấu $\tau$ của $A$ sao cho $bx = \tau(x)b$ với mọi $x \in A$; chứng minh rằng, nếu $a = ub$ là một phần tử sinh của iđêan phải $a$, thì $u$ là khả nghịch, bằng cách sử dụng Đại số, Chương VIIT, § 2, Bài tập 8 (b).)