Bài tập 10, § 21

Cho $(M, \pi )$ là một biểu diễn bất khả quy của G và H là một nhóm con chuẩn tắc của G. a) Giả sử rằng H bằng tâm của G. Chứng minh rằng bậc của $\pi$ chia hết chỉ số của H trong G. (Với $m\geqslant 1$, gọi $H_m$ là nhóm con của $H^m$ gồm các phần tử $(h_1, . . . , h_m)$ sao cho $h_1. . . h_m= 1$. Nhận thấy rằng biểu diễn $\pi^{\times m}: G^m\rightarrow$ End$_K(M^{\otimes m})$ xác định một biểu diễn bất khả quy của $G^m/H_m$, và áp dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 10 (VIII, p. 420) cho nó.)

b) Giả sử rằng H giao hoán. Chứng minh rằng bậc của $\pi$ chia hết (G : H). (Sử dụng Bài tập 9, a), và lập luận bằng quy nạp theo lực lượng của G, hãy rút gọn về trường hợp hạn chế của $\pi$ trên H là đẳng kiểu. Chứng minh rằng $\pi (H)$ là trung tâm trong $\pi$(G), rồi áp dụng a).)