Exercice 10, § 21

Soient $(M, \pi )$ une représentation irréductible de G et H un sous-groupe distingué de G.

a) On suppose que H est égal au centre de G ; prouver que le degré de $\pi$ divise l’indice de H dans G (pour $m\geqslant 1$, soit $H_m$ le sous-groupe de $H^m$ formé des éléments $(h_1, . . . , h_m)$ tels que $h_1. . . h_m= 1$; observer que la représentation $\pi^{\times m}: G^m\rightarrow$ End$_K(M^{\otimes m})$ définit une représentation irréductible de $G^m/H_m$, à laquelle on appliquera le cor. 2 de la prop. 10 (VIII, p. 410)).

b) On suppose que H est commutatif ; prouver que le degré de $\pi$ divise (G : H) (en utilisant l’exerc. 9 a) et en raisonnant par récurrence sur le cardinal de G, se ramener au cas où la restriction de $\pi$ à H est isotypique ; prouver que $\pi (H)$ est central dans $\pi$(G), et appliquer a)).