(2)

c) Nếu F có kiểu $\mathscr{C}$, thì đối hạt nhân của u cũng vậy, và ta có

(3)

Mệnh đề suy ra từ sự tồn tại của các dãy khớp

(4)

Ta chứng minh hệ quả bằng quy nạp theo $n$; các trường hợp $n= 0$ và $n= 1$ là tầm thường. Vậy cho $n\geqslant 1$, và xét

là một dãy khớp của các môđun có kiểu $\mathscr{C}$. Theo Mệnh đề 1, hạt nhân F của $u_n$ là một môđun có kiểu $\mathscr{C}$, và ta có

Hơn nữa, ta có một dãy khớp

và giả thiết quy nạp cho ta quan hệ

Từ (5) và (6), ta ngay lập tức suy ra rằng $\sum^{n+1}_{i=0}(-1)^i\varphi (E_i) = 0$, và hệ quả được chứng minh.

a) Nếu các môđun M và N có kiểu $\mathscr{C}$, thì các môđun $M\cap N$ và M + N cũng vậy, và ta có

b) Nếu các môđun $E/M$ và $E/N$ có kiểu $\mathscr{C}$, thì các môđun $E/(M\cap N)$ và $E/(M + N)$ cũng vậy, và ta có

Các mệnh đề a) và b) suy ra từ sự tồn tại của các dãy khớp

và

(II, §1, No. 7, p. 207, Mệnh đề 10).

Vì $\mathscr{C}$ là di truyền, các môđun $E_0/E_1$ và $E_1$ có kiểu $\mathscr{C}$, và ta có $\varphi (E) =\varphi (E_0/E_1) +\varphi (E_1)$. Vì dãy $(E_{i+1})_{0\leqslant i\leqslant n-1}$ là một chuỗi hợp thành của $E_1$, Mệnh đề 3 suy ra bằng quy nạp theo $n$.

b) Cho G là một nhóm Abel, và cho $\varphi :\mathscr{C}\rightarrow G$ là một hàm cộng tính trên các môđun. Tồn tại một đồng cấu duy nhất $u: K(\mathscr{C})\rightarrow G$ sao cho $\varphi (E) =u([E]_{\mathscr{C}})$ với mọi môđun E có kiểu $\mathscr{C}$.

Mệnh đề a) là hiển nhiên. Ta hãy chứng minh b). Có một đồng cấu $u':\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}\rightarrow G$ mở rộng $\varphi$. Vì $\varphi$ là cộng tính, ta có $u'(r_{\mathscr{E}}) = 0$ đối với mọi dãy khớp $(\mathscr{E})$ của các môđun kiểu $\mathscr{C}$; do đó, R được chứa trong hạt nhân của $u'$. Do đó, khi chuyển qua thương, $u'$ xác định một đồng cấu $u$ từ $K(\mathscr{C})$ đến G, và rõ ràng ta có $\varphi (E) =u([E]_{\mathscr{C}})$ đối với mọi A-môđun kiểu $\mathscr{C}$. Nhóm $K(\mathscr{C})$ được sinh bởi tập hợp các phần tử $[E]_{\mathscr{C}}$ với E chạy qua $\mathscr{C}$; tính duy nhất của $u$ được suy ra.

Cho $\mathscr{C}$ và $\mathscr{D}$ là các tập hợp cộng tính của các lớp A-môđun sao cho $\mathscr{C}\subset \mathscr{D}$. Vì ánh xạ $E\mapsto [E]_{\mathscr{D}}$ từn$\mathscr{C}$ đến nhóm GrothendiecknK($\mathscr{D}$) là cộng tính, tồn tại một đồng cấu $\gamma_{\mathscr{D},\mathscr{C}}: K(\mathscr{C})\rightarrow K(\mathscr{D})$, gọi là chính tắc, được đặc trưng bởi công thức $\gamma_{\mathscr{D},\mathscr{C}}([E]_{\mathscr{C}}) = [E]_{\mathscr{D}}$ đối với mọi môđun E kiểu $\mathscr{C}$. Nó không phải lúc nào cũng đơn ánh (VIII, p. 210, Bài tập 13).

Điều kiện đã nêu là đủ vì nó kéo theo các quan hệ

suy ra $[E]_{\mathscr{C}}= [F]_{\mathscr{C}}$.

Bây giờ giả sử rằng ta có $[E]_{\mathscr{C}}= [F]_{\mathscr{C}}$. Theo phép dựng nhóm $K(\mathscr{C})$, tồn tại hai họ hữu hạn các dãy khớp của các môđun có kiểu $\mathscr{C}$

với $i\in I$ và

với $j\in J$ sao cho trong $\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$, ta có

cl(E) $-$ cl(F) $=\sum_{j\in J}r_{\mathscr{H}_j}-\sum_{i\in I}r_{\mathscr{G}_i}$.

Tường minh hơn, quan hệ này có thể được viết dưới dạng

(7) cl(E) $+\sum_{i\in I}$ cl(G$_i$) $+\sum_{j\in J}$ cl(H$'_j$) $+\sum_{j\in J}$ cl(H$''_j$)

= cl(F) $+\sum_{i\in I}$ cl(G$'_i$) $+\sum_{i\in I}$ cl(G$''_i$) $+\sum_{j\in J}$ cl(H$_j$).

Đặt $G =\bigoplus_{i\in I}G_i, G'=\bigoplus_{i\in I}G'_i$, v.v. Bằng cách chuyển qua các tổng trực tiếp, ta thu được các dãy khớp

$(\mathscr{G})$ 0 // ${G'}^p$ // G $^q$ // $G''$ // $0$,

$(\mathscr{H})$ 0 // ${H'}^r$ // H $^s$ // $H''$ // 0

gồm các môđun có kiểu $\mathscr{C}$.

Tiếp theo, cho $M_1, . . . ,M_m,N_1, . . . ,N_n$ là các A-môđun kiểu $\mathscr{C}$. Nếu ta có $\sum^m_{i=1}$ cl(M$_i$) $=\sum^n_{j=1}$ cl(N$_j$) trong nhóm $\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$, thì ta có $m=n$ và tồn tại một phép hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_m$ sao cho cl(M$_i$) $=$ cl(N$_{\sigma(i)}$) với mọi $1\leqslant i\leqslant m$ (I, §7, No. 9, p. 95, Mệnh đề 11). Do đó, các môđun $\bigoplus^m_{i=1}M_i$ và $\bigoplus^n_{j=1}N_j$ là đẳng cấu. Đặc biệt, từ (7), ta suy ra sự tồn tại của một đẳng cấu từ $E\oplus Q$ đến $F\oplus P$, trong đó ta đặt

Ta cũng đặt

Các môđun L, M, P, Q có kiểu $\mathscr{C}$, và dãy

$(\mathscr{E})$ 0 // L $^{\lambda}$ // P $^\mu$ // M // $0$,

trong đó ta định nghĩa $\lambda$ và $\mu$ bởi

là khớp. Ta xây dựng một dãy khớp

theo cùng cách đó; điều này kết thúc chứng minh.

Tập hợp $\mathscr{C}$ là một nửa nhóm giao hoán đối với luật hợp thành $(E,E')\mapsto$ cl(E$\oplus E'$). Đôi khi ta ký hiệu nhóm các hiệu của nửa nhóm giao hoán $\mathscr{C}$ (I, §2, No. 4, p. 20) bởi $K'(\mathscr{C})$ và gọi nó là nhóm Grothendieck của $\mathscr{C}$ đối với các tổng trực tiếp. Với mọi môđun E có kiểu $\mathscr{C}$, ta ký hiệu ảnh của cl(E) trong $K'(\mathscr{C})$ bởi $[E]'_{\mathscr{C}}$.

b) Cho G là một nhóm Abel, và cho $\varphi :\mathscr{C}\rightarrow G$ là một hàm cộng tính yếu của các môđun. Tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất $u: K'(\mathscr{C})\rightarrow$ G sao cho $\varphi (E) =u([E]'_{\mathscr{C}})$ với mọi môđun E có kiểu $\mathscr{C}$.

c) Cho E và F là các môđun có kiểu $\mathscr{C}$. Ta có $[E]'_{\mathscr{C}}= [F]'_{\mathscr{C}}$ khi và chỉ khi tồn tại một môđun M có kiểu $\mathscr{C}$ sao cho $E\oplus M$ đẳng cấu với $F\oplus M$.

Mệnh đề a) là hiển nhiên. Mệnh đề b) suy ra từ (I, §2, No. 4, p. 19, Định lý 1) và mệnh đề c) từ (I, §2, No. 4, p. 18, Mệnh đề 6).

Vì ánh xạ $E\mapsto [E]_{\mathscr{C}}$ từ $\mathscr{C}$ vào $K(\mathscr{C})$ là một hàm cộng tính yếu của các môđun, ta có thể suy ra một đồng cấu $u: K'(\mathscr{C})\rightarrow K(\mathscr{C})$ từ nó. Đồng cấu này là toàn ánh nhưng không phải luôn là một đẳng cấu (VIII, p. 191, Nhận xét 2).

Cho $R'$ là nhóm con của $\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$ sinh bởi các phần tử có dạng $r_{\mathscr{E}}$, trong đó $\mathscr{E}$ là một dãy khớp tách của các A-môđun kiểu $\mathscr{C}$, tức là bởi các phần tử có dạng cl(E$'\oplus E''$)$-$ cl(E$'$)$-$ cl(E$''$), trong đó $E'$ và $E''$ là các môđun kiểu $\mathscr{C}$. Ánh xạ chính tắc từ $\mathscr{C}$ vào nhóm thương $\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}/R'$ mở rộng thành một đồng cấu nhóm $v: K'(\mathscr{C})\rightarrow \mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}/R'$. Đây là một đẳng cấu. Thật vậy, ánh xạ chính tắc từ $\mathscr{C}$ vào $K'(\mathscr{C})$ mở rộng thành một đồng cấu nhóm từ $\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$ vào $K'(\mathscr{C})$ mà hạt nhân chứa $R'$, và do đó thành một đồng cấu $v':\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}/R'\rightarrow K'(\mathscr{C})$ bằng cách chuyển qua thương; rõ ràng $v$ và $v'$ là các song ánh nghịch đảo của nhau.

Một phần tử của $K'(\mathscr{C})$ được gọi là hiệu dụng nếu nó có dạng $[E]'_{\mathscr{C}}$ với một A-môđun E kiểu $\mathscr{C}$. Tập hợp các phần tử hiệu dụng của $K'(\mathscr{C})$ được ký hiệu là $K'(\mathscr{C})^+$.

0 // ${E'}^i$ // E $^p$ // $E''$ // 0

là một dãy khớp. Ta có $\ell_S(E) =\ell_S(E') +\ell_S(E'')$.

Cho $\Sigma '$ và $\Sigma ''$ lần lượt là các chuỗi Jordan–Hölder của $i(E')$ và $E/i(E')$. Tồn tại một chuỗi Jordan–Hölder Σ của E mà dãy các thương của nó có thể thu được bằng cách ghép dãy các thương của Σ và dãy các thương của $\Sigma '$ (I, §4, No. 8, p. 44).

Công thức (8) suy ra từ Mệnh đề 3 áp dụng cho một chuỗi Jordan–Hölder của E. Theo Bổ đề 1, với mọi phần tử S của $\mathscr{S}$, tồn tại một ánh xạ tuyến tính $\mathbf{Z}$-tuyến tính $\varphi_S$ từ $K(\mathscr{C})$ vào $\mathbf{Z}$ sao cho $\varphi_S([E]_{\mathscr{C}}) =\ell_S(E)$ với mọi môđun E thuộc kiểu $\mathscr{C}$. Đặc biệt, ta có $\varphi_S([S]_{\mathscr{C}}) = 1$ và $\varphi_S([S']_{\mathscr{C}}) = 0$ với mọi $S'\not= S$ trong $\mathscr{S}$. Suy ra rằng các phần tử có dạng $[S]_{\mathscr{C}}$ (với $S\in \mathscr{S}$) độc lập tuyến tính trên $\mathbf{Z}$; các phần tử này sinh $K(\mathscr{C})$ theo công thức (8).

Thật vậy, ta có $[E]_{\mathscr{C}}=\sum_{S\in\mathscr{S}}\ell_S(E)[S]_{\mathscr{C}}$ và một công thức tương tự cho F, và E đẳng cấu với F khi và chỉ khi ta có $\ell_S(E) =\ell_S(F)$ với mọi $S\in \mathscr{S}$ (VIII, p. 72).

Cho P là một hệ đại diện gồm các phần tử bất khả quy của A (VII, §1, No. 3, p. 3). Các iđêan cực đại của A là các iđêan $pA$ với $p\in P$; do đó mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với một môđun duy nhất $A/pA$. Hơn nữa (VII, §1, No. 3, p. 4, Định lý 2), nhóm Abel $L^*/A^*$ là tự do và có họ $(pA^*)_{p\in P}$ làm một cơ sở. Do đó tồn tại một đẳng cấu $\varphi$ từ R(A) đến $L^*/A^*$ được đặc trưng bởi $\varphi ([A/pA]) =pA^*$ đối với mọi $p\in P$.

Cho $a\not= 0$ trong A. Tồn tại một số nguyên $r\geqslant 0$, các phần tử $p_1, . . . , p_r$ của P, và một phần tử $u$ của $A^*$ sao cho ta có $a=up_1\cdots p_r$. Môđun $A/aA$ thừa nhận chuỗi hợp thành được cho bởi

và môđun $E_{i-1}/E_i= (p_1\cdots p_{i-1}A)/(p_1\cdots p_iA)$ đẳng cấu với $A/p_iA$. Do đó ta có (VIII, p. 185, Mệnh đề 3)

Giả sử tồn tại một $a\in A$ sao cho $a_M= 0_M$ và $a_{M'}= 1_{M'}$. Cho S là một A-môđun đơn. Nếu cl(S) thuộc giá đỡ $\mathscr{S}_M$ của M, thì A-môđun S đẳng cấu với một trong các thương của một dãy Jordan–Hölder của M và ta có $a_S= 0_S$. Tương tự, nếu cl(S) thuộc giá đỡ $\mathscr{S}_{M'}$ của M’, thì ta có $a_S= 1_S$. Suy ra rằng $\mathscr{S}_M$ và $\mathscr{S}_{M'}$ rời nhau.

Ngược lại, giả sử rằng các tập hợp $\mathscr{S}_M$ và $\mathscr{S}_{M'}$ rời nhau. Chúng hữu hạn vì M và $M'$ là hữu hạn chiều trên K. Mọi A-môđun đơn S mà lớp thuộc về $\mathscr{S}_M\cup \mathscr{S}_{M'}$ đều hữu hạn chiều trên K và a fortiori trên trường End$_A(S)$. Theo Hệ quả 1 của Mệnh đề 4 (VIII, p. 83), tồn tại một phần tử $b\in A$ sao cho ta có $b_S= 0_S$ (tương ứng $b_S= 1_S$) đối với mọi A-môđun đơn S mà lớp thuộc về $\mathscr{S}_M$ (tương ứng $\mathscr{S}_{M'}$). Cho $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ là một chuỗi Jordan–Hölder của M. Theo điều trên, ta có $bM_i\subset M_{i+1}$ với $0\leqslant i < n$ và do đó $(b^n)_M= 0_M$. Sự tồn tại của một số tự nhiên $m$ sao cho $((1-b)^m)_{M'}= 0_{M'}$ được chứng minh theo cùng cách. Đặt $P(X) = 1-(1-X^n)^m$ và $a= P(b)$. Đa thức P(X) là một bội của $X^n$, nên ta có $a_M= 0_M$, trong khi đa thức $1-P(X)$ là một bội của $(1-X)^m$, nên ta có $a_{M'}= 1_{M'}$. Điều này kết thúc chứng minh.

Cho L là một mở rộng của K. Nếu M là một A-môđun hữu hạn chiều trên K, thì $M_{(L)}$ là một $A_{(L)}$-môđun hữu hạn chiều trên L. Hơn nữa, đối với mọi dãy khớp

của các A-môđun, dãy các $A_{(L)}$-môđun

suy ra từ nó bởi mở rộng vô hướng là khớp (II, §7, No. 7, p. 308, Mệnh đề 14). Do đó tồn tại một đồng cấu vành duy nhất $u: R_K(A)\rightarrow$ $R_L(A_{(L)})$ sao cho $u([M]) = [M_{(L)}]$ đối với mọi A-môđun M hữu hạn chiều trên K (No. 5).

Theo Bổ đề 2, tồn tại một phần tử $a\in A$ sao cho $a_S= 0$ và $a_T= 1$. Phần tử $1\otimes a$ của $A_{(L)}$ tác động như 0 trên $S_{(L)}$ và như 1 trên $T_{(L)}$. Theo Bổ đề 2, các giá của các $A_{(L)}$-môđun $S_{(L)}$ và $T_{(L)}$ là rời nhau.

Chúng ta hãy chứng minh Định lý 1. Cho $\mathscr{S}$ là tập hợp các lớp của các A-môđun đơn hữu hạn chiều trên K. Họ $([S])_{S\in\mathscr{S}}$ là một cơ sở của $\mathbf{Z}$-môđun $R_K(A)$. Cho $S\in \mathscr{S}$. A-môđun $A_{(L)}$- $S_{(L)}$ không bằng không, do đó giá của nó không rỗng. Cho $S'$ là một phần tử của giá này. Theo Bổ đề 1 của VIII, p. 190, tồn tại một đồng cấu $f_{S'}: R_L(A_{(L)})\rightarrow \mathbf{Z}$ sao cho $f_{S'}([E]) =\ell_{S'}(E)$ với mọi A-môđun $A_{(L)}$- E hữu hạn chiều trên L. Theo phép dựng, ta có $f_{S'}([S_{(L)}])\not= 0$ và theo Bổ đề 3, $f([T_{(L)}]) = 0$ với mọi $T\in \mathscr{S}-\{S\}$. Do đó chúng ta đã chứng minh rằng các phần tử của $R_L(A_{(L)})$ có dạng $[S_{(L)}]$ với $S\in \mathscr{S}$ là độc lập tuyến tính trên $\mathbf{Z}$. Suy ra đồng cấu $u$ là đơn ánh.

Cho $S\in \mathscr{S}$, và cho $S'$ là một phần tử của giá của $S_{(L)}$. Với mọi $\xi \in R_K$(A), tọa độ của $\xi$ có chỉ số [S] trong cơ sở $([S])_{S\in\mathscr{S}}$ là $f_{S'}(u(\xi ))/[S_{(L)}: S']$. Suy ra rằng nếu $u(\xi )$ là hiệu dụng thì $\xi$ cũng vậy.