Bài tập 10, § 12

Giữ các giả thiết của Bài tập 9 và, hơn nữa, giả sử B-môđun N là đơn; ký hiệu hoán tập của nó là D.

a) Ánh xạ $\vartheta$ là toàn ánh khi và chỉ khi M thừa nhận một cơ sở hữu hạn trên A hoặc D là hữu hạn chiều trên K (sử dụng Bài tập 9, c)).

b) Chứng minh rằng $(A\otimes$ B)-môđun $M\otimes N$ là nửa đơn khi và chỉ khi vành $A\otimes D^o$ là nửa đơn (quy về trường hợp $M = A_s$; nhận xét rằng $M\otimes N$ là một môđun tự do trên $A\otimes D^o$, và sử dụng Mệnh đề 5 của VIII, p. 85 cũng như Bài tập 9, a)).