Exercice 10, § 12

On garde les hypothèses de l’exerc. 9, et on suppose en outre que le B-module N est simple ; on note D son commutant.

a) Pour que l’application $\vartheta$ soit surjective, il faut et il suffit que M admette une base finie sur A, ou que D soit de dimension finie sur K (utiliser l’exerc. 9 c)).

b) Démontrer que pour que le $(A\otimes$ B)-module $M\otimes N$ soit semi-simple, il faut et il suffit que l’anneau $A\otimes D^o$ soit semi-simple (se ramener au cas $M = A_s$; remarquer que $M\otimes N$ est un $A\otimes D^o$ module libre et utiliser la prop. 5 de VIII, p. 80 ainsi que l’exerc. 9 a)).