Với $x\in P,x^*\in P^*$, và $y\in P$, theo các hệ thức (4), (8), (10), và (11), ta có

Tương tự, với $x\in P,\widetilde{y}\in \widetilde{P}$, và $y\in P$, ta có

Do các giả thiết, P là trung thành như một A-môđun và như một B-môđun. Từ các hệ thức (15) và (16), tương ứng, suy ra $\widetilde{\sigma}\circ \sigma = 1_{P^*}$ và $\sigma \circ \widetilde{\sigma}=$ $1_{\widetilde{P}}$. Khi đó các hệ thức (13) và (14) lần lượt suy ra từ (12) và (9).

(i) A-môđun P là xạ ảnh và sinh hữu hạn.

(ii) Ánh xạ Θ (VIII, p. 96) là một đẳng cấu của các $(B,B)_k$-song môđun từ $P^*\otimes_AP$ đến $_sB_d$.

(iii) Ảnh của Θ chứa phần tử đơn vị của B.

Hơn nữa, nếu ánh xạ $a\mapsto a_P$ từ A đến End$_B(P)$ là song ánh, thì các khẳng định trên là tương đương với mệnh đề sau:

(iv) Tồn tại một $(B,A)_k$-song môđun Q và một đồng cấu toàn ánh của các $(B,B)_k$-song môđun từ $Q\otimes_AP$ đến $_sB_d$.

Theo hệ quả của II, §4, No. 2, p. 271, mệnh đề (i) kéo theo (ii). Hơn nữa, (iii) suy ra từ (ii). Cho $t\in B^*\otimes_AB$ sao cho $\Theta (t) = 1$. Cho $n$ là một số nguyên, và cho $(x_1, . . . , x_n)\in P^n$ và $(x^*_1, . . . , x^*_n)\in P^{*n}$ sao cho $t=\sum^n_{i=1}x^*_i\otimes x_i$. Với mọi $x$ thuộc P, quan hệ $x\Theta (t) =x$ có thể viết thành

Suy ra A-môđun P là sinh hữu hạn bởi họ $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$, và ta kết luận chứng minh của kéo theo (iii) $\Rightarrow$ (i) bằng cách dùng Mệnh đề 12 của II, §2, No. 6, p. 238.

Hiển nhiên ta có (ii) $\Rightarrow$ (iv). Cho Q là một $(B,A)_k$-song môđun và $\theta$ là một đồng cấu toàn ánh của các $(B,B)_k$-song môđun từ $Q\otimes_AP$ đến $_sB_d$. Theo ký hiệu của tiểu mục trước, tồn tại một đồng cấu của các $(B,A)_k$-song môđun $\zeta : Q\rightarrow \widetilde{P}$ sao cho $\theta (y\otimes x) =\langle \zeta (y), x\rangle$ với $x\in P$ và $y\in Q$, và ta có $\theta =\widetilde{\Lambda}\circ (\zeta \otimes 1_P)$. Vì $\theta$ là toàn ánh, điều tương tự cũng đúng với $\widetilde{\Lambda}$. Nếu ánh xạ $a\mapsto a_P$ từ A đến End$_B(P)$ là song ánh, thì Θ là toàn ánh theo quan hệ (14) của Mệnh đề 1 ở VIII, p. 97; suy ra kéo theo (iv) $\Rightarrow$ (iii).

(i) A-môđun P là sinh.

(ii) Ảnh của ánh xạ Λ từ $P\otimes_BP^*$ đến $_sA_d$ (VIII, p. 95) chứa phần tử đơn vị.

(iii) Tồn tại một $(B,A)_k$-song môđun Q và một đồng cấu toàn ánh của các $(A,A)_k$-song môđun từ $P\otimes_BQ$ đến $_sA_d$.

Hơn nữa, nếu ánh xạ $b\mapsto b_P$ từ B đến End$_A(P)$ là song ánh, thì các khẳng định ấy tương đương với mệnh đề sau:

(iv) Ánh xạ Λ là một đẳng cấu từ $P\otimes_BP^*$ đến $_sA_d$.

(i) $\Leftrightarrow$ (ii): Ảnh của Λ là iđêan vết $\tau (P)$ (VIII, p. 80). Do đó tính tương đương của (i) và (ii) suy ra từ Định lý 1 của VIII, p. 80.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Chỉ cần lấy $Q = P^*$.

(iii) $\Rightarrow$ (ii): Cho Q là một song môđun $(B,A)_k$ và $\psi$ là một đồng cấu các song môđun $(A,A)_k$ từ $P\otimes_BQ$ đến $_sA_d$. Tồn tại một đồng cấu các song môđun $(B,A)_k$ Ψ từ Q đến $P^*$ sao cho $\psi (x\otimes y) =\langle x,\Psi (y)\rangle$ với $x\in P$ và $y\in Q$, và ta có đẳng thức $\psi = \Lambda \circ (1_P\otimes \Psi )$. Nếu $\psi$ là toàn ánh, thì Λ cũng vậy.

Rõ ràng là (iv) suy ra (ii). Ngược lại, giả sử rằng tính chất (ii) được thỏa mãn và ánh xạ $b\mapsto b_P$ từ B đến End$_A(P)$ là song ánh. Gọi $e$ là một phần tử của $P\otimes_BP^*$ sao cho $\Lambda (e) = 1$. Theo quan hệ (7) của VIII, p. 96, ta có $u= \Lambda (u)e$ với mọi $u$ trong $P\otimes_BP^*$; do đó suy ra tính đơn ánh của Λ.

a) Nếu A-môđun P là sinh, thì B-môđun phải P là xạ ảnh và sinh hữu hạn.

b) Nếu A-môđun P là xạ ảnh và sinh hữu hạn, thì B-môđun phải P là sinh.

Giả sử rằng A-môđun P là sinh. Khi đó nó là trung thành và cân bằng (VIII, p. 82, Định lý 2), và do đó ánh xạ $a\mapsto a_P$ từ A tới End$_B(P)$ là song ánh (VIII, p. 97, Nhận xét 1). Hơn nữa, ánh xạ $\Lambda : P\otimes_BP^*\rightarrow_sA_d$ là song ánh (VIII, p. 98, Mệnh đề 3). Ta xem P như một $(B^o,A^o)_k$-song môđun. Ánh xạ Λ cảm sinh một ánh xạ song ánh $P^*\otimes_{B^o}P\rightarrow A^o$; theo Mệnh đề 2 của VIII, p. 98, (iv) $\Rightarrow$ (i), B-môđun phải P là xạ ảnh và sinh hữu hạn.

Bây giờ, giả sử rằng A-môđun P là xạ ảnh và sinh hữu hạn. Khi đó ánh xạ $\Theta : P^*\otimes_AP\rightarrow_sB_d$ là song ánh (loc. cit., (i) $\Rightarrow$ (ii)). Theo hàm ý (iii) $\Rightarrow$ (i) của Mệnh đề 3 ở trên áp dụng cho $(B^o,A^o)_k$-song môđun P, B-môđun phải P là sinh.

Cho A là một $k$-đại số, và cho M là một A-môđun. Ta ký hiệu đối $k$-đại số của đại số End$_A(M)$ bởi B. Hệ quả suy ra từ Mệnh đề 4 áp dụng cho $(A,B)_k$-song môđun M.

(i) A-môđun P là sinh, và ánh xạ $b\mapsto b_P$ từ B vào End$_A(P)$ là song ánh.

(ii) B-môđun phải P là xạ ảnh, sinh hữu hạn, trung thành, và cân bằng, và ánh xạ $a\mapsto a_P$ từ A vào End$_B(P)$ là song ánh.

Hệ quả (i) $\Rightarrow$ (ii) suy ra từ Mệnh đề 4, a) và Nhận xét 1 (VIII, p. 97). Giả sử rằng (ii) đúng; khi đó A-môđun P là sinh (Mệnh đề 4, b) áp dụng cho $(B^o,A^o)_k$-song môđun P). Vì B-môđun P là trung thành và cân bằng, mệnh đề thứ hai của (i) cũng được thỏa mãn (VIII, p. 97, Nhận xét 1).

Cho Q là một nghịch đảo song môđun của P và $\theta : Q \otimes_A P \to {}_s B_d$ là một đẳng cấu các song môđun $(B, B)_k$. Bổ đề suy ra từ tính giao hoán của biểu đồ

Định lý 1. — Cho A và B là các đại số trên K và P là một song môđun $(A, B)_k$. Ký hiệu song môđun $(B, A)_k$ $\operatorname{Hom}_A(P, A_s)$ bởi $P^*$. Các tính chất sau là tương đương:

(i) Song môđun $(A, B)_k$ P là khả nghịch.

(ii) A-môđun P là xạ ảnh, sinh hữu hạn, và sinh, và ánh xạ $b \mapsto b_P$ từ B vào $\operatorname{End}_A(P)^{\circ}$ là một đẳng cấu đại số.

(iii) B-môđun phải P là xạ ảnh, sinh hữu hạn, và sinh, và ánh xạ $a \mapsto a_P$ từ A vào $\operatorname{End}_B(P)$ là một đẳng cấu đại số.

Nếu các tính chất này đúng, thì các đồng cấu

là các đẳng cấu, do đó song môđun $(B, A)_k$ $P^*$ là một nghịch đảo của P.

Nếu tính chất (ii) đúng, thì P là một song môđun khả nghịch $(A, B)_k$ có nghịch đảo là $P^*$ (VIII, p. 98, Mệnh đề 2 and p. 98, Mệnh đề 3). Điều này chứng minh rằng (ii) suy ra (i) và khẳng định cuối cùng.

Giả sử song môđun $(A, B)_k$ P là khả nghịch. Khi đó A-môđun P là sinh (VIII, p. 98, Mệnh đề 3, (iii) $\Rightarrow$ (i)). Vậy nên nó trung thành và cân bằng (VIII, p. 82, Định lý 2) và, do đó, ánh xạ $a \mapsto a_p$ từ A vào $\operatorname{End}_B(P)$ là song ánh.

Bây giờ ta chứng minh rằng ánh xạ $b \mapsto b_P$ từ B đến $\operatorname{End}_A(P)$ là song ánh. Cho Q là một $(B, A)_k$-song môđun, nghịch đảo của P. Lấy $u \in \operatorname{End}_A(P)$; khi đó $1_Q \otimes u$ là một tự đồng cấu của B-môđun trái $Q \otimes_A P$. Vì $(B, B)_k$-song môđun $Q \otimes_A P$ đẳng cấu với $_s B_d$, tồn tại một phần tử duy nhất $b$ của B sao cho $1_Q\otimes u$ là phép vị tự với tỉ số $b$ của B-môđun phải $Q\otimes_AP$. Do đó, ta có $1_Q\otimes (u-b_P) = 0$. Suy ra $u=b_P$ theo Bổ đề 1; điều này chứng minh rằng ánh xạ $b\mapsto b_P$ từ B đến End$_A(P)$ là song ánh.

Theo Mệnh đề 2 của VIII, p. 98, A-môđun P khi đó là xạ ảnh và sinh hữu hạn. Vậy chúng ta đã chứng minh được tính tương đương của (i) và (ii).

Bằng cách đổi chỗ vai trò của A và B, ta thu được tính tương đương của (i) và (iii), điều này kết thúc chứng minh của mệnh đề.

Với Định lý 1, điều này suy ra từ Nhận xét 2 của VIII, p. 97.

Sự tồn tại và tính duy nhất của ánh xạ $\tau$ là hiển nhiên. Nó là một đồng cấu của các $(B,A)_k$-song môđun, và ta có $\lambda = \Lambda \circ (1_P\otimes \tau )$. Vì $\lambda$ và Λ là các đẳng cấu của các $(A,A)_k$-song môđun (VIII, p. 101, Định lý 1), nên $1_P\otimes \tau$ cũng vậy. Theo Bổ đề 1, ánh xạ $\tau$ là song ánh.

b) Mọi A-môđun trái M đều đẳng cấu với một môđun có dạng $P\otimes_BV$, trong đó V là một B-môđun trái.

Cho V và W là các B-môđun trái. Theo Bổ đề 1 của VIII, p. 101, ánh xạ $\varphi :g\mapsto 1_P\otimes g$ từ Hom$_B(V,W)$ vào Hom$_A(P\otimes_BV,P\otimes_BW)$ là đơn ánh. Bằng cách đổi chỗ vai trò của P và Q (và của A và B), ta thấy rằng ánh xạ $\psi :h\mapsto 1_Q\otimes h$ từ Hom$_A(P\otimes_BV,P\otimes_BW)$ vào Hom$_A(Q\otimes_AP\otimes_BV,Q\otimes_AP\otimes_BW)$ cũng là đơn ánh. Bây giờ, hợp thành $\psi \circ \varphi$ là ánh xạ $g\mapsto \theta^{-1}_W\circ g\circ \theta_V$. Nó là song ánh, vì thế $\psi$ cũng vậy. Do đó, $\varphi$ là song ánh, và nghịch đảo của nó là ánh xạ $h\mapsto \theta_W\circ (1_Q\otimes h)\circ \theta^{-1}_V$.

Mệnh đề b) suy ra từ việc $\lambda_M$ là một đẳng cấu từ $P\otimes_B$ $\otimes_A\otimes M$ tới M.

Cho V là một B-môđun trái và W là một môđun con của V. Vì B-môđun P là xạ ảnh (VIII, p. 101, Định lý 1), ánh xạ chính tắc từ $P\otimes_BW$ đến $P\otimes_BV$ là đơn ánh. Ta đồng nhất $P\otimes_BW$ với ảnh của nó trong $P\otimes_BV$ qua ánh xạ này. Ta dùng các quy ước tương tự khi thay P và B lần lượt bằng Q và A.

Ký hiệu $D_B(V)$ là tập hợp các B-môđun con của V, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm, và định nghĩa các tập hợp $D_A(P\otimes_BV)$ và $D_B(Q\otimes_AP\otimes_BV)$ cũng tương tự như vậy. Cho $\varphi : D_B(V)\rightarrow$ $D_A(P\otimes_BV)$ là ánh xạ $W\mapsto P\otimes_BW$ và $\psi$ là ánh xạ từ $D_A(P\otimes_BV)$ đến $D_B(Q\otimes_AP\otimes_BV)$ cho bởi $N\mapsto Q\otimes_AN$. Đây là các ánh xạ tăng, và hợp thành $\psi \circ \varphi$ là ánh xạ $W\mapsto \theta^{-1}_V$(W), ánh xạ này là song ánh. Do đó, $\varphi$ là đơn ánh, và $\psi$ là toàn ánh. Khi thay thế B bằng A và V bằng $P\otimes_BV$, ta thấy rằng $\psi$ cũng là đơn ánh. Vậy, $\varphi$ và $\psi$ là song ánh, và ánh xạ nghịch đảo của $\varphi$ quả thực là ánh xạ đã được mô tả trong mệnh đề.

a) Tồn tại một đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự $f$ từ $\mathscr{B}_A$ đến $\mathscr{B}_B$ được xác định bởi tính chất sau: nếu $\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía của A và $\mathfrak{b}$ là một iđêan hai phía của B, thì quan hệ $f(\mathfrak{a}) =\mathfrak{b}$ tương đương với $\mathfrak{a}P = P\mathfrak{b}$.

b) Giả sử rằng vành A là giao hoán, do đó A có thể được đồng nhất với tâm của B (VIII, p. 102, Hệ quả 1). Đẳng cấu $f:\mathscr{B}_A\rightarrow$ $\mathscr{B}_B$ biến một iđêan $\mathfrak{a}$ của A thành iđêan hai phía $B\mathfrak{a}$ của B, và ta có $\mathfrak{a}= A\cap B\mathfrak{a}$.

Mệnh đề a) suy ra từ Ví dụ 2.

Bây giờ, giả sử rằng A là giao hoán, và đồng nhất A với tâm của B. Cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan của A. Khi đó $B\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía của B; ta có PB$\mathfrak{a}=\mathfrak{a}P$ và do đó $f(\mathfrak{a}) = B\mathfrak{a}$. Gọi $\mathfrak{a}'$ là iđêan $A\cap B\mathfrak{a}$ của A; nó được chứa trong $B\mathfrak{a}$ và chứa $\mathfrak{a}$, nên $B\mathfrak{a}'$ bằng $B\mathfrak{a}$. Vì $f$ là song ánh, suy ra $\mathfrak{a}'=\mathfrak{a}$.

b) Cho $(V_i)_{i\in I}$ là một họ các môđun con của V. Ta có

Các môđun con của M Tập hợp có thứ tự D(M)

Môđun con không Phần tử nhỏ nhất của D(M)

Môđun con M Phần tử lớn nhất của D(M)

$\bigcap_{i\in I}M_i$ Cận dưới lớn nhất inf$_{i\in I}M_i$

$\sum_{i\in I}M_i$ Cận trên bé nhất sup$_{i\in I}M_i$

Các môđun con bù nhau inf(M$',M''$) $= 0$, sup(M$',M''$) $= M$

Môđun con đơn của M Phần tử cực tiểu của D(M) $-\{0\}$

Môđun con cực đại của M Phần tử cực đại của D(M) $-\{M\}$

Đế $\mathscr{S}(M)$ của M Cận trên bé nhất trong D(M) của tập hợp các

phần tử cực tiểu của D(M)$-\{0\}$

$*$Căn $\mathfrak{R}(M)$ của M Cận dưới lớn nhất trong D(M) của tập hợp

(VIII, p. 151) các phần tử cực đại của D(M)$-\{M\}$

Bảng I.

Các tính chất của môđun M Các tính chất của D(M)

M là Noether. Tập hợp có thứ tự D(M) là Noether (Lý thuyết

Tập hợp, III, §6, No. 5, p. 190).

M là Artin. Tập hợp D(M), được sắp thứ tự bởi $\supset$, là

Noether.

M không phân tích được. Ta có M $\not= 0$, và không có

hai phần tử khác không $M'$ và $M''$ của

D(M) thỏa mãn inf(M$',M''$) $= 0$,

sup(M$',M''$) $= M$.

M sinh hữu hạn. Với mọi họ $(M_i)_{i\in I}$ trong D(M) có

cận trên M, tồn tại một tập con hữu hạn

J của I sao cho M = sup$_{j\in I}M_j$. M đơn. Card(D(M)) = 2.

M nửa đơn. M là cận trên bé nhất, trong D(M),

của tập hợp các phần tử cực tiểu của

D(M)$-\{0\}$.

Bảng II.

c) B-môđun V là tổng trực tiếp của họ $(V_i)_{i\in I}$ các môđun con nếu và chỉ nếu M là tổng trực tiếp của họ $(\varphi (V_i))_{i\in I}$.

Cho $V'$ và $V''$ là các môđun con của V sao cho $V'$ được chứa trong $V''$; đặt $M'=\varphi (V')$ và $M''=\varphi (V'')$, để $M''$ chứa $M'$. Ký hiệu bởi $[V',V'']$ khoảng trong D(V) gồm các môđun con W của V sao cho ta có $V'\subset W\subset V''$, và định nghĩa khoảng $[M',M'']$ trong D(M) cũng tương tự. Ánh xạ $W\mapsto W/V'$ là một đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự từ $[V',V'']$ đến $D(V''/V')$; ta định nghĩa một đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự từ $[M',M'']$ đến $D(M''/M')$ cũng tương tự. Vì $\varphi$ biến khoảng $[V',V'']$ thành $[M',M'']$, nó xác định một đẳng cấu $\varphi$ của các tập hợp có thứ tự từ $D(V''/V')$ đến $D(M''/M')$. Từ điều này và các Bảng I và II, ta suy ra mệnh đề sau.