Bài tập 8, § 14

Cho A là một vành giao hoán và S là một A-đại số; giả sử rằng S là một A-môđun xạ ảnh, trung thành và hữu hạn sinh. Ký hiệu đại số trên A $S\otimes_AS^o$ là E.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Môđun hai phía $(E$, A)-S là khả nghịch.

(ii) Đại số trên A S là trung tâm, và E-môđun S là xạ ảnh.

(iii) Đồng cấu chính tắc $E\longrightarrow$ End$_A(S)$ là song ánh.

(iv) Với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A, đại số trên $A/\mathfrak{m}$ $S/\mathfrak{m}S$ là đơn tâm. (Suy ra tính tương đương của (i), (ii) và (iii) từ Định lý 1 của VIII, p. 101 và Hệ quả 2 của VIII, p. 100 và của (iii) và (iv) từ Định lý 1 của VIII, p. 252 và Bài tập 7).

Khi các điều kiện này được thỏa mãn, ta nói rằng S là một đại số Azumaya trên A.

b) Nếu S và T là các đại số Azumaya trên A, thì đại số trên A $S\otimes_AT$ cũng là một đại số Azumaya.

c) Cho B là một A-đại số giao hoán; nếu S là một đại số Azumaya trên A, thì đại số trên B $S_{(B)}$ là một đại số Azumaya. Nếu đại số trên B $S_{(B)}$ là một đại số Azumaya và B là một A-đại số $(^*$hoặc phẳng trung thành$_*)$ xạ ảnh, thì S là một đại số Azumaya trên A (áp dụng Bài tập 7, d)).