Exercice 8, § 14

Soient A un anneau commutatif, S une A-algèbre ; on suppose que S est un A-module projectif, fidèle et de type fini. On désigne par E la A-algèbre $S\otimes_AS^o$.

a) Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Le $(E$, A)-bimodule S est inversible ;

(ii) La A-algèbre S est centrale et le E-module S est projectif ;

(iii) L’homomorphisme canonique $E\longrightarrow$ End$_A(S)$ est bijectif ;

(iv) Pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A, la $A/\mathfrak{m}$-algèbre $S/\mathfrak{m}S$ est centrale et simple. (Déduire l’équivalence de (i), (ii) et (iii) du th. 1 de VIII, p. 97 et du cor. 2 de VIII, p. 96 et celle de (iii) et (iv) du th. 1 de VIII, p. 248 et de l’exerc. 7). Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que S est une algèbre d’Azumaya sur A.

b) Si S et T sont des algèbres d’Azumaya sur A, il en est de même de la A-algèbre $S\otimes_AT$.

c) Soit B une A-algèbre commutative ; si S est une algèbre d’Azumaya sur A, la B-algèbre $S_{(B)}$ est une algèbre d’Azumaya. Si la B-algèbre $S_{(B)}$ est une algèbre d’Azumaya et que B est un A-module fidèle et projectif $(^*$ou fidèlement plat$_*), S$ est une A-algèbre d’Azumaya (appliquer l’exerc. 7 d)).