Bài tập 10, § 9

Cho A là một vành.

a) Cho Z là tâm của A. Chứng minh rằng ta có $Z\cap \mathfrak{R}(A)\subset \mathfrak{R}(Z)$ (xem Bài tập 15, b) dưới đây về một ví dụ trong đó bao hàm thức là ngặt).

b) Chứng minh rằng $\mathfrak{R}(A)$ không chứa lũy đẳng khác không nào.

c) Chứng minh rằng giao của $\mathfrak{R}(A)$ và đế trái $\mathfrak{s}$ của A (VIII, p. 130, Bài tập 8) là một iđêan hai phía có bình phương bằng không và rằng nó là giao của $\mathfrak{s}$ và linh hóa tử trái của nó (dùng các Bài tập 7 và 8, a) của VIII, p. 130).

d) Cho $e$ là một lũy đẳng trong A. Chứng minh rằng căn của vành $eAe$ là $e\mathfrak{R}(A)e$ (nhận xét rằng với $a\in eAe$, ta có $(1-a)(1-e) = (1-e)(1-a) = 1-e$).

e) Chứng minh rằng căn của vành $\mathbf{M}_n(A)$ là iđêan $\mathbf{M}_n(\mathfrak{R}(A))$ (VIII, p. 114, Ví dụ 2).