Exercice 10, § 9

Soit A un anneau.

a) Soit Z le centre de A. Démontrer qu’on a $Z\cap \mathfrak{R}(A)\subset \mathfrak{R}(Z) ($cf. exerc. 15, b) ci-dessous pour un exemple où l’inclusion est stricte).

b) Démontrer que $\mathfrak{R}(A)$ ne contient aucun élément idempotent non nul.

c) Prouver que l’intersection de $\mathfrak{R}(A)$ et du socle gauche $\mathfrak{s}$ de A (VIII, p. 126, exerc. 8) est un idéal bilatère de carré nul, intersection de $\mathfrak{s}$ et de son annulateur à gauche (utiliser les exercices 7 et 8, a) de VIII, p. 126).

d) Soit $e$ un élément idempotent de A. Démontrer que le radical de l’anneau $eAe$ est $e\mathfrak{R}(A)e$ (remarquer que pour $a\in eAe$, on a $(1-a)(1-e) = (1-e)(1-a) = 1-e$).

e) Démontrer que le radical de l’anneau $\mathbf{M}_n(A)$ est l’idéal $\mathbf{M}_n(\mathfrak{R}(A))$ (VIII, p. 109, exemple 2).