(b) $M \neq 0$ và mọi phép vị tự của $M$ hoặc là đơn ánh hoặc gần lũy linh ($§ 1$, no. 4). Nếu các điều kiện này được thỏa mãn và $p$ là tập hợp các $a \in A$ sao cho phép vị tự $a_M$ là gần lũy linh, thì $\operatorname{Ass}(M) = \{p\}$.

Điều này suy ra ngay lập tức từ $§ 1$, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 9 và no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2.

$M / (\bigcap_{i \in I} \mathscr{Q}_i)$ đẳng cấu với một môđun con $\neq 0$ của tổng trực tiếp $\bigoplus_{i \in I} (M / \mathscr{Q}_i)$. Khi đó

(§ 1, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 3). Do đó $\operatorname{Ass}\left(M / (\bigcap_{i \in I} \mathscr{Q}_i)\right) = \{p\}$ (§ 1, no. 1, Mệnh đề 3 và Hệ quả 1 của Mệnh đề 2).

(i) Giả sử rằng $p \cap S \neq \varnothing$. Nếu N là p-nguyên sơ đối với M, thì $S^{-1}N = S^{-1}M$.

(ii) Giả sử rằng $p \cap S = \varnothing$. Để N là p-nguyên sơ đối với M, điều kiện cần và đủ là N có dạng $i_1(N')$, trong đó $N'$ là một môđun con của $S^{-1}A$ của $S^{-1}M$ và là $(S^{-1}p)$-nguyên sơ đối với $S^{-1}M$; khi đó $N' = S^{-1}N$.

(i) Nếu $p \cap S \neq \varnothing$ và N là p-nguyên sơ đối với M, thì

(§ 1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5) và do đó $S^{-1}(M/N) = 0$ (§ 1, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2), do đó $S^{-1}M/S^{-1}N = 0$.

(ii) Giả sử rằng $p \cap S = \varnothing$. Nếu N là p-nguyên sơ đối với M, thì $\operatorname{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}(M/N)) = \{S^{-1}p\}$ (§ 1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5) và do đó môđun con $N' = S^{-1}N$ của $S^{-1}M$ là $(S^{-1}p)$-nguyên sơ; hơn nữa, nếu $s \in S$ và $m \in M$ sao cho $sm \in N$, thì $m \in N$, vì phép vị tự với tỉ số s trong M/N là đơn ánh, do đó $N = i_1(N')$ (Chương II, § 2, no. 4, Mệnh đề 10). Ngược lại, cho $N'$ là một môđun con của $S^{-1}M$ là $(S^{-1}p)$-nguyên sơ đối với $S^{-1}M$; ta viết $N = i_1(N')$; khi đó $N' = S^{-1}N$ (Chương II, § 2, no. 4, Mệnh đề 10) và $\operatorname{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}(M/N)) = \operatorname{Ass}_{S^{-1}A}((S^{-1}M)/N') = \{S^{-1}p\}$. Vì ánh xạ chính tắc $M/N \to S(M/N)$ là đơn ánh, không có iđêan nguyên tố nào của A liên kết với M/N giao với S (§ 1, no. 2, Mệnh đề 6); suy ra rằng $\operatorname{Ass}(M/N) = \{p\}$ (§ 1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5), do đó N là p-nguyên sơ đối với M.

Ta có thể thay $M$ bởi $M/N$ và do đó giả sử rằng $N = 0$. Theo § 1, no. 4, Hệ quả của Định lý 2, $\operatorname{Ass}(M)$ là hữu hạn; theo § 1, no. 1, Mệnh đề 4, với mỗi $p \in \operatorname{Ass}(M)$, tồn tại một môđun con $Q(p)$ của $M$ sao cho $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{p\}$ và $\operatorname{Ass}(Q(p)) = \operatorname{Ass}(M) - \{p\}$. Ta viết $P = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q(p)$; với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$, $\operatorname{Ass}(P) \subset \operatorname{Ass}(Q(p))$ và do đó $\operatorname{Ass}(P) = \varnothing$, điều này kéo theo $P = 0$ (§ 1, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2) và vì vậy chứng minh định lý.

(2)

(3)

Nếu điều kiện của mệnh đề được thỏa mãn, $N = \bigcap_{j \neq i} Q_j$ không thể xảy ra, vì ta sẽ suy ra rằng $\operatorname{Ass}(M/N) \subset \bigcup_{j \neq i} \{p_j\}$ (§ 1, no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 3) trái với giả thiết; phân tích nguyên sơ $(Q_i)_{i \in I}$ của $N$ khi đó chắc chắn là rút gọn. Ngược lại, $\operatorname{Ass}(M/N) \subset \bigcup_{i \in I} \{p_i\}$ luôn đúng (§ 1, no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 3); mặt khác, với mọi $i \in I$, hãy viết $P_i = \bigcap_j Q_j$; khi đó $P_i \cap Q_i = N$ và $P_i \neq N$ nếu $(Q_i)_{i \in I}$ là rút gọn, do đó $P_i/N$ khác không và đẳng cấu với môđun con $(P_i + Q_i)/Q_i$ của $M/Q_i$, do đó $\{p_i\} = \operatorname{Ass}(P_i/N)$ (§ 1, no. 1, Mệnh đề 3 và Hệ quả 1 của Mệnh đề 2); vì $P_i/N \subset M/N, p_i \in \operatorname{Ass}(M/N)$, điều này hoàn tất chứng minh tính cần thiết của điều kiện trong mệnh đề và công thức (2). Cuối cùng, vì $N = \bigcap_{j \neq i} (Q_j \cap Q_i), \operatorname{Ass}(Q_i/N) \subset \bigcup_{j \neq i} \operatorname{Ass}(Q_i/(Q_j \cap Q_i))$ (§ 1, no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 3); nhưng $Q_i/(Q_j \cap Q_i)$ đẳng cấu với môđun con $(Q_i + Q_j)/Q_j$ của $M/Q_j$, do đó $\operatorname{Ass}(Q_i/(Q_j \cap Q_i)) \subset \{p_j\}$ và

Suy ra từ các nhận xét đứng trước Mệnh đề 4 rằng tồn tại một phân tích nguyên sơ rút gọn $(R_j)_{j \in J}$ của $N$ trong $M$ sao cho $\mathrm{Card}(J) \leq \mathrm{Card}(I)$; mệnh đề đầu tiên khi đó suy ra từ mệnh đề thứ hai và mệnh đề sau là một hệ quả của Mệnh đề 4.

Ta hiển nhiên có thể hạn chế sự chú ý của mình vào trường hợp $N = 0$, thay thế nếu cần $M$ bởi $M/N$. Nếu $p_i$ là cực tiểu trong $\mathrm{Ass}(M)$, tập hợp các phần tử của $\mathrm{Ass}(M)$ không gặp $A - p_i$ được thu gọn thành $p_i$; khi đó mệnh đề suy ra từ công thức (3) ở trên và § 1, no. 2, Mệnh đề 6, hạt nhân của ánh xạ chính tắc $M \to M_0$, bằng phần bão hòa của 0 đối với $p_i$ (Chương 11, § 2, no. 4).

(i) Nếu $(Q_i)_{i \in I}$ là một phần tử của $D_I(M/N)$, họ $(Q_i)_{i \in J}$ là một phần tử của $D_J(M/N')$ và họ $(S^{-1}Q_i)_{i \in J}$ là một phần tử của $D_J(S^{-1}M/S^{-1}N)$.

(ii) Ánh xạ $(Q_i)_{i \in J} \to (S^{-1}Q_i)_{i \in J}$ là một song ánh từ $D_J(M/N')$ lên $D_J(S^{-1}M/S^{-1}N)$.

(iii) Nếu $(Q_i)_{i \in J}$ là một phần tử của $D_J(M/N')$ và $(R_i)_{i \in I}$ là một phần tử của $D_I(M/N)$, họ $(T_i)_{i \in I}$ sao cho $T_i = Q_i$ với $i \in J$ và $T_i = R_i$ với $i \in I - J$ là một phần tử của $D_I(M/N)$.

(i) Ta biết (no. 1, Mệnh đề 3) rằng với $i \in J, S^{-1}Q_i$ là nguyên sơ đối với $S^{-1}p_i$ và rằng với $i \in I - J, S^{-1}Q_i = S^{-1}M$; vì $S^{-1}N = \bigcap S^{-1}Q_i$ (Chương II, § 2, no. 4), nên cũng có $S^{-1}N = \bigcap_{i \in J} S^{-1}Q_i$. Các $S^{-1}p_i$ với $i \in J$ là phân biệt và tập hợp của chúng là $\operatorname{Ass}(S^{-1}M/S^{-1}N)$ ($§ 1$, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5); khi đó (Mệnh đề 4) $(S^{-1}Q_i)_{i \in J}$ là một phân tích nguyên sơ rút gọn của $S^{-1}N$. Hơn nữa, $Q_i = (i_M^S)^{-1}(S^{-1}Q_i)$ (no. 1 Mệnh đề 3), do đó $N' = (i_M^S)^{-1}(S^{-1}N) = \bigcap_{i \in J} Q_i$ và $(Q_i)_{i \in J}$ hiển nhiên là một phân tích nguyên sơ rút gọn của $N'$ trong $M$.

(ii) Vì $S^{-1}N' = S^{-1}N$, ta có thể thay thế $N$ bởi $N'$, nghĩa là giả sử rằng $J = I$. Gọi $(P_i)_{i \in I}$ là một phân tích nguyên sơ thu gọn của $S^{-1}N$ trong $S^{-1}M$ và viết $Q_i = (i_M^S)^{-1}(P_i)$; từ no. 1, Mệnh đề 3 suy ra rằng $Q_i$ là nguyên sơ đối với $p_i$ ($i \in I$) và $(Q_i)_{i \in I}$ khi đó là một phân tích nguyên sơ thu gọn của $N$ trong $M$ theo no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 4. Cuối cùng, vì, với mọi $i \in I$ và mọi môđun con $Q'_i$ mà $M$ là $p_i$-nguyên sơ đối với $M, Q'_i = (i_M^S)^{-1}(S^{-1}Q'_i)$ theo no. 1, Mệnh đề 3 và giả thiết $J = I$, ta thấy rằng hai ánh xạ $D_I(M/N) \to D_I(S^{-1}M/S^{-1}N)$ và $D_I(S^{-1}M/S^{-1}N) \to D_I(M/N)$ đã được xác định mà hợp của chúng là các ánh xạ đồng nhất trên $D_I(M/N)$ và $D_I(S^{-1}M/S^{-1}N)$, điều này chứng minh (ii).

(iii) Theo (i), $N' = \bigcap_{i \in J} R_i$, do đó

và từ no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 4 suy ra ngay lập tức rằng phân tích nguyên sơ này là thu gọn.

được xác định trong Mệnh đề 6 (i) là toàn ánh.

Mệnh đề 6 (iii) chỉ ra rằng ánh xạ $D_I(M/N) \to D_J(M/N')$ là toàn ánh và Mệnh đề 6 (ii) khi đó chỉ ra rằng ánh xạ

Cho $(M_i)_{0 \leq i \leq n}$ là một chuỗi hợp thành của $M$ sao cho, với $0 \leq i \leq n - 1$, $M_i/M_{i+1}$ là đẳng cấu với $A/p_i$, trong đó $p_i$ là nguyên tố ($§ 1$, no. 4, Định lý 1). Nếu $M$ có độ dài hữu hạn, thì mỗi môđun $A$ $A/p_i$ cũng vậy, điều này suy ra rằng mỗi vành $A/p_i$ là Artin; nhưng vì $A/p_i$ là một miền nguyên, nên nó là một trường, nói cách khác $p_i$ là cực đại; ta kết luận rằng (a) suy ra (b) ($§ 1$, no. 4, Định lý 2). Điều kiện (b) suy ra (c) theo $§ 1$, no. 3, Mệnh đề 7. Cuối cùng, nếu tất cả các iđêan của $\operatorname{Supp}(M)$ đều là cực đại, thì các $p_i$ cũng vậy ($§ 1$, no. 4, Định lý 2), do đó các $A/p_i$ là các môđun $A$ đơn và $M$ có độ dài hữu hạn, điều này hoàn tất chứng minh.

Mọi phần tử của $\operatorname{Supp}(M)$ khi đó là cực tiểu trong $\operatorname{Supp}(M)$ và kết luận suy ra từ $§ 1$, no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7.

Theo $§ 1$, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5, $\operatorname{Ass}_{A_p}(M_p)$ là tập hợp các iđêan $q_p$, trong đó $q$ chạy qua tập hợp các iđêan của $\operatorname{Ass}(M)$ được chứa trong $p$. Mặt khác, $p_p$ là iđêan cực đại duy nhất của $A_p$; theo Mệnh đề 7, để $M_p$ là một môđun $A_p$ có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là không có phần tử nào của $\operatorname{Ass}(M)$ được chứa thực sự trong $p$. Mặt khác, để $M_p \neq 0$, theo định nghĩa điều kiện cần và đủ là $p \in \operatorname{Supp}(M)$ (Chương 11, § 4, no. 4), nghĩa là $p$ chứa một phần tử của $\operatorname{Ass}(M)$ ($§ 1$, no. 3, Mệnh đề 7). Điều này chứng minh hệ quả.

Nhận xét (1). Cho $M$ là một môđun sinh hữu hạn trên một vành Noether $A$; hãy để $(M_1), \ldots$ là một chuỗi hợp thành của $M$ sao cho, với $0 \leq i \leq n - 1$, $M_i / M_{i+1}$ đẳng cấu với $A/p_i$, trong đó $p_i$ là một iđêan nguyên tố của $A$ ($§ 1$, no. 4, Định lý 1). Nếu $p$ là một phần tử cực tiểu của $\operatorname{Ass}(M)$, độ dài $\operatorname{long}_{A_p}(M_p)$ bằng số chỉ số $i$ sao cho $p_i = p$. Vì các $(M_i)_p$ tạo thành một chuỗi hợp thành của $M$, và $(M_i)_p / (M_{i+1})_p$ đẳng cấu với $(A/p_i)_p$ và do đó đẳng cấu với $\{0\}$ nếu $p_i \neq p$ (vì $p$ là cực tiểu trong tập hợp các $p_i$ theo $§ 1$, no. 4, Định lý 2) và với $(A/p)_p$ là một trường, nếu $p_i = p$.

(i) Chỉ tồn tại một phân tích nguyên sơ duy nhất của $\{0\}$ đối với $M$ được đánh chỉ số bởi $\operatorname{Ass}(M)$ (nhất thiết rút gọn) — hãy gọi $\{0\} = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q(p)$ là phân tích này, trong đó $Q(p)$ là $p$-nguyên sơ đối với $M$.

(ii) Tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho, với mọi $n \geq n_0$ và mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$, $Q(p) = p^n M$.

(iii) Với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$, ánh xạ chính tắc từ $M$ vào $M_p$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là $Q(p)$.

(iv) Đơn ánh chính tắc của $M$ vào $\bigoplus_{p \in \operatorname{Ass}(M)} (M/Q(p))$ là song ánh.

Vì mọi phần tử $p \in \operatorname{Ass}(M)$ đều là cực tiểu trong $\operatorname{Ass}(M)$ (Mệnh đề 7), mệnh đề (i) suy ra từ no. 3, Mệnh đề 5. Vì $M$ sinh hữu hạn, tồn tại $n_0$ sao cho $p^n M \subset Q(p)$ với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$ và mọi $n \geq n_0$ (no. 1, Nhận xét); nhưng vì $p$ là một iđêan cực đại, $p^n M$ là $p$-nguyên sơ đối với $M$ (no. 1, Ví dụ 2 và 3) và, vì $\bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} p^n M = \{0\}$, suy ra từ (i) rằng nhất thiết $p^n M = Q(p)$ với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$; do đó có (ii). Vì các $p^n$, với $p \in \operatorname{Ass}(M)$, nguyên tố cùng nhau từng đôi (Chương 11, § 1, no. 2, Mệnh đề 3), ánh xạ chính tắc $M \to \bigoplus_{p \in \operatorname{Ass}(M)} (M/p^n M)$ là toàn ánh (Chương 11, § 1, no. 2, Mệnh đề 6), do đó có (iv). Khi đó $\operatorname{Ass}(Q(p)) = \operatorname{Ass}(M) - \{p\}$ và $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{p\}$ (no. 3, Mệnh đề 4); vì các phần tử của $\operatorname{Ass}(M)$ là các iđêan cực đại, $p$ là phần tử duy nhất của $\operatorname{Ass}(M)$ không giao với $A - p$; do đó $Q(p)$ là hạt nhân của ánh xạ chính tắc $j : M \to M_p$ ($§ 1$, no. 2, Mệnh đề 6). Nếu $s \in A - p$, phép vị tự của $M/Q(p)$ với tỉ số $s$ là đơn ánh nhờ quan hệ $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{p\}$ (no. 1, Mệnh đề 1); vì $M/Q(p)$ là Artin, phép vị tự này là song ánh (Đại số, Chương VIII, § 1, no. 2, Bổ đề 3). Ánh xạ chính tắc $M \to M/Q(p)$ khi đó được viết $f \circ j$, trong đó $f : M_p \to M/Q(p)$ là một đồng cấu $A$ (Chương II, § 2, no. 2, Mệnh đề 3); vì $\operatorname{Ker}(j) = \operatorname{Ker}(f \circ j) = Q(p)$, $f$ là đơn ánh; ta kết luận rằng $j$ là toàn ánh và $f$ là song ánh.

Điều này sẽ suy ra từ Mệnh đề 8 (iv) nếu ta chứng minh rằng

Bây giờ, từ Mệnh đề 1 của no. 1 suy ra rằng với mọi $s \in A - p$ phép vị tự với tỉ số s trên $M/\mathscr{Q}(p)$ là đơn ánh; phép vị tự với tỉ số s trên mọi môđun con R của $M/\mathscr{Q}(p)$ do đó là đơn ánh và, vì R là Artin, nó là song ánh (Đại số, Chương VIII, § 2, no. 2, Bổ đề 3); ta kết luận rằng các môđun con-A của $M/\mathscr{Q}(p)$ là các ảnh qua song ánh $f : M, \to M/\mathscr{Q}(p)$ của các môđun con-A, của M, (Chương 11, § 2, no. 3), do đó có mệnh đề của ta.

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, A chỉ có một số hữu hạn các iđêan nguyên tố, tất cả đều là cực đại và liên kết với A-môđun A; hơn nữa, A là một vành nửa địa phương và căn Jacobson của nó là lũy linh.

Nói rằng A là Artin tương đương với nói rằng nó là một A-môđun có độ dài hữu hạn; do đó (a) và (c) tương đương theo Mệnh đề 7. Rõ ràng (b) kéo theo (c). Cuối cùng, (a) kéo theo (b) vì mọi miền nguyên Artin đều là một trường. Vì vậy các tính chất (a), (b) và (c) là tương đương.

Giả sử chúng được thỏa mãn. Vì mọi iđêan nguyên tố của A thuộc Supp(A) và mọi phần tử của Supp(A) chứa một phần tử của Ass(A) ($\S$ 1, no. 3, Mệnh đề 7), suy ra từ (c) rằng Ass(A) là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của A; khi đó A chỉ có một số hữu hạn các iđêan nguyên tố, tất cả chúng đều là cực đại và liên kết với A-môđun A. Điều này hiển nhiên suy ra rằng A là nửa địa phương; cuối cùng, ta biết rằng căn Jacobson của một vành Artin là lũy linh (Đại số, Chương VIII, § 6, no. 4, Định lý 3).

Nhận xét (2) Các điều kiện của Mệnh đề 9 đối với một vành Noether A kéo theo rằng phổ của A là hữu hạn và rời rạc, do đó mọi điểm của Spec(A) đều đóng (Chương 11, § 4, no. 3, Hệ quả 6 của Mệnh đề 11). Ngược lại, đối với một vành Noether A, nói rằng mọi điểm $\mathfrak{a}$ của Spec(A) là đóng có nghĩa là mọi iđêan nguyên tố của A là cực đại (loc. cit..) và vì thế điều kiện này tương đương với điều kiện của Mệnh đề 9.

Từ Mệnh đề 9 và Mệnh đề 8 (iii) và (iv) suy ra rằng, nếu $(\mathfrak{m}_i)_{1 \leq i \leq n}$ là họ các iđêan cực đại của $A$, thì ánh xạ chính tắc $A \to \prod_i A_{\mathfrak{m}_i}$ là song ánh.

Nhận xét (3). Hệ quả này cũng có thể suy ra từ sự kiện rằng $\operatorname{Spec}(A)$ là hữu hạn và rời rạc và Chương 11, § 4, no. 3, Mệnh đề 15.

(a) $A$ là một vành nửa địa phương và $m$ là một iđêan xác định của $A$. (b) $A$ là một vành Zariski với tôpô $m$-adic và $A/m$ là Artin.

Nếu (a) đúng, $A$ là một vành Zariski với tôpô $m$-adic (Chương III, § 3, no. 3, Ví dụ 3); hơn nữa, theo giả thiết $m$ chứa một lũy thừa của căn Jacobson $r$ của $A$, mọi iđêan nguyên tố của $A$ chứa $m$ cũng chứa $r$ (Chương II, § 1, no. 1, Mệnh đề 1); do đó nó là cực đại, vì $r$ là một giao hữu hạn của các iđêan cực đại (\emph{loc. cit.}); Mệnh đề 9 khi đó chỉ ra rằng $A/m$ là Artin. Ngược lại, nếu (b) đúng, mọi iđêan cực đại $p$ của $A$ chứa căn Jacobson của $A$ và do đó chứa $m$ (Chương III, § 3, no. 3, Mệnh đề 6); vì $A/m$ là Artin, các iđêan $p/m$ là hữu hạn về số lượng (Mệnh đề 9) và do đó $A$ chỉ có một số hữu hạn các iđêan cực đại, điều này suy ra rằng nó là nửa địa phương.