Vì vành $A/p$ là một miền nguyên, linh hóa tử của một phần tử $\neq 0$ của $A/p$ là $p$.

Cho $a = \operatorname{Ann}(x)$ ($x \in M, x \neq 0$) là một phần tử cực đại như vậy; chỉ cần chứng minh rằng $a$ là nguyên tố. Vì $x \neq 0$, $a \neq A$. Cho $b, c$ là các phần tử của $A$ sao cho $bc \in a$ và $c \notin a$. Khi đó $cx \neq 0$, $b \in \operatorname{Ann}(cx)$ và $a \subset \operatorname{Ann}(cx)$. Vì $a$ là cực đại, $\operatorname{Ann}(cx) = a$, do đó $b \in a$, vậy $a$ là nguyên tố.

Nếu $M = \{0\}$, rõ ràng $\operatorname{Ass}(M)$ là rỗng (không có giả thiết nào về $A$). Nếu $M \neq \{0\}$, tập hợp các iđêan có dạng $\operatorname{Ann}(x)$, trong đó $x \in M$ và $x \neq 0$, là không rỗng và gồm các iđêan $\# A$; vì $A$ là Noether, tập hợp này có một phần tử cực đại; khi đó chỉ cần áp dụng Mệnh đề 2.

Nếu $a$ thuộc một iđêan nguyên tố $p \in \operatorname{Ass}(M)$, thì $p = \operatorname{Ann}(x)$, trong đó $x \in M, x \neq 0$; do đó $ax = 0$ và phép vị tự với tỉ số $a$ không là đơn ánh. Ngược lại, nếu $ax = 0$ với một $x \in M$ sao cho $x \# 0$, thì $Ax \# \{0\}$, do đó $\operatorname{Ass}(x) \neq \varnothing$ (Hệ quả 1). Cho $p \in \operatorname{Ass}(Ax)$; khi đó hiển nhiên $p \in \operatorname{Ass}(M)$ và $p = \operatorname{Ann}(bx)$, trong đó $b \in A$; do đó $a \in p$, vì $abx = 0$.

Có thể quy về trường hợp $I$ hữu hạn nhờ (1), rồi quy về trường hợp $\operatorname{Card}(I) = 2$ bằng quy nạp theo $\operatorname{Card}(I)$. Khi đó đặt $I = \{i, j\}$, với $i \neq j$; vì $M/M_i$ đẳng cấu với $M_j$, nên $\operatorname{Ass}(M) \subset \operatorname{Ass}(M_i) \cup \operatorname{Ass}(M_j)$ (Mệnh đề 3); hơn nữa, $\operatorname{Ass}(M_i)$ và $\operatorname{Ass}(M_j)$ được chứa trong $\operatorname{Ass}(M)$ (Mệnh đề 3), do đó có kết quả.

Gọi $\mathscr{E}$ là tập hợp các môđun con $P$ của $M$ sao cho $\operatorname{Ass}(P) \subset \operatorname{Ass}(M) - \Phi$. Công thức (1) chỉ ra rằng tập hợp $\mathscr{E}$, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm, là quy nạp; hơn nữa, $\{0\} \in \mathscr{E}$ và do đó $\mathscr{E} \neq \varnothing$. Gọi $N$ là một phần tử cực đại của $\mathscr{E}$. Khi đó $\operatorname{Ass}(N) \subset \operatorname{Ass}(M) - \Phi$. Ta sẽ thấy rằng $\operatorname{Ass}(M/N) \subset \Phi$, điều này, theo Mệnh đề 3, sẽ hoàn thành chứng minh. Cho $p \in \operatorname{Ass}(M/N)$; khi đó $M/N$ chứa một môđun con $F/N$ đẳng cấu với $A/p$. Theo các Mệnh đề 1 và 3, $\operatorname{Ass}(F) \subset \operatorname{Ass}(N) \cup \{p\}$. Vì $N$ là cực đại trong $\mathscr{E}$, $F \notin \mathscr{E}$ và do đó $p \in \Phi$.

Nhắc lại (Chương II, § 2, no. 5, Mệnh đề 11) rằng ánh xạ $p \mapsto S^{-1}p$ là một song ánh của $\Phi$ lên tập hợp các iđêan nguyên tố của $S^{-1}A$. Nếu $p \in \operatorname{Ass}_A(M) \cap \Phi$, $p$ là linh hóa tử của một môđun con đơn sinh $N$ của $M$; khi đó $S^{-1}p$ là linh hóa tử của môđun con đơn sinh $S^{-1}N$ của $S^{-1}M$ (Chương II, § 2, no. 4, công thức (9)) và do đó $S^{-1}\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}M)$. Ngược lại, giả sử rằng $\mathfrak{p} \in \Phi$ là sinh hữu hạn và sao cho $S^{-1}\mathfrak{p}$ liên kết với $S^{-1}M$; khi đó tồn tại $x \in M$ và $t \in S$ sao cho $S^{-1}\mathfrak{p}$ là linh hóa tử của $x/t$. Gọi $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ sinh của $\mathfrak{p}$; khi đó $(a_i/1)(x/t) = 0$ và do đó tồn tại $s_i \in S$ sao cho $s_i a_i x = 0 \ (1 \leq i \leq n)$. Ta viết $s = s_1 s_2 \ldots s_n$; với mọi $a \in \mathfrak{p}$, $s a x = 0$, do đó $p \subset \mathrm{Ann}(s x)$; mặt khác, nếu $b \in A$ thỏa mãn $b s x = 0$, thì $b/1 \in S^{-1}\mathfrak{p}$ theo định nghĩa, do đó $b \in \mathfrak{p}$. Khi đó $\mathfrak{p} = \mathrm{Ann}(s x)$ và $\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}_A(M)$.

Nếu A không là Noether, ánh xạ $p \mapsto S^{-1}p$ của $\mathrm{Ass}_A(M) \cap \Phi$ đến $\mathrm{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}M)$ không nhất thiết là toàn ánh (Bài tập 1).

Theo Mệnh đề 4 của no. 1, tồn tại một môđun con $N'$ của M thỏa mãn các hệ thức $\mathrm{Ass}(N') = \mathrm{Ass}(M) - Y$ và $\mathrm{Ass}(M/N') = \Psi$. Ta cần chứng minh $N = N'$. Xét biểu đồ giao hoán

trong đó $p, u, v$ là các đồng cấu chính tắc. Ta sẽ chứng minh rằng $S^{-1}p$ và $v$ là đơn ánh, điều này sẽ chứng minh rằng $u$ và $p$ có cùng hạt nhân và do đó $N = N'$.

Vì $\mathrm{Ass}(N') \cap \Psi = \varnothing$, mọi phần tử của $\mathrm{Ass}(N')$ đều gặp S. Khi đó $\mathrm{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}N') = \varnothing$ (Hệ quả của Mệnh đề 5), do đó $S^{-1}N' = \{0\}$ (no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2), điều này chứng minh rằng $S^{-1}p$ là đơn ánh (Chương II, §2, no. 4, Định lý 1). Mặt khác, nếu $x$ thuộc hạt nhân K của $v$, thì $\mathrm{Ann}(x) \cap S \neq \varnothing$ (Chương II, §2, no. 2, Mệnh đề 4); do đó $\mathrm{Ass}(K) = \varnothing$ vì $\mathrm{Ass}(K) \subset \mathrm{Ass}(M/N') = \Psi$; ta suy ra rằng $K = \{0\}$ (no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2) và $v$ là đơn ánh.

(i) Mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của A chứa một phần tử $\in \operatorname{Ass}(M)$ đều thuộc $\operatorname{Supp}(M)$.

(ii) Ngược lại, nếu A là Noether, mọi iđêan $\mathfrak{p} \in \operatorname{Supp}(M)$ đều chứa một phần tử $\in \operatorname{Ass}(M)$.

Nếu $\mathfrak{p}$ chứa một phần tử $q$ của $\operatorname{Ass}(M)$, thì $q \cap (A - \mathfrak{p}) = \varnothing$ và do đó, nếu ta viết $S = A - \mathfrak{p}$, $S^{-1}\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố liên kết với $S^{-1}M = M$, (no. 2, Mệnh đề 5) và a fortiori $M, \# 0$, do đó $\mathfrak{p} \in \operatorname{Supp}(M)$. Ngược lại, nếu A là Noether, thì A cũng là Noether, (Chương II, § 2, no. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 10). Nếu $M_{\mathfrak{p}} \neq 0$, thì $\operatorname{Ass}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}}) \neq 0$ (no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2) và do đó tồn tại $q \in \operatorname{Ass}_A(M)$ sao cho $q \cap (A - \mathfrak{p}) = \varnothing$ (no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5).

Ta biết rằng căn lũy linh của A là giao của các phần tử cực tiểu của $\operatorname{Spec}(A) = \operatorname{Supp}(A)$ (Chương II, § 2, no. 6, Mệnh đề 13).

Gọi $\mathscr{G}$ là tập hợp các môđun con của M có một chuỗi hợp thành với tính chất của mệnh đề. Vì $\mathscr{G}$ không rỗng (vì $\{0\}$ thuộc $\mathscr{G}$) và M là Noether, $\mathscr{G}$ có một phần tử cực đại N. Nếu $M \neq N$, thì $M/N \neq 0$ và do đó $\operatorname{Ass}(M/N) \neq \varnothing$ (no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2); vì thế $M/N$ chứa một môđun con $N'/N$ đẳng cấu với một A-môđun có dạng $A/\mathfrak{p}$, trong đó $\mathfrak{p}$ là nguyên tố; khi đó theo định nghĩa $N' \in \mathscr{G}$, điều này mâu thuẫn với đặc trưng cực đại của N. Khi đó tất yếu $N = M$.

(4)

các phần tử cực tiểu của ba tập hợp này là như nhau và trùng nhau với các phần tử cực tiểu của tập hợp các iđêan nguyên tố chứa Ann(M).

Sự chứa $\operatorname{Ass}(M) \subset \{p_0, \ldots, p_{n-1}\}$ suy ra ngay lập tức từ các Mệnh đề 1 và 3 của no. 1. Với $0 \leq i \leq n - 1$,

(Chương II, § 4, no. 4, Ví dụ), do đó $p_i \in \operatorname{Supp}(M_i) \subset \operatorname{Supp}(M)$ (Chương II, § 4, no. 4, Mệnh đề 16), điều này chứng minh sự chứa

Hệ quả 1 của Mệnh đề 7 trong no. 3 cho thấy $\operatorname{Ass}(M)$ và $\operatorname{Supp}(M)$ có cùng các phần tử cực tiểu và (4) cho thấy chúng chính là các phần tử cực tiểu của $\{p_0, \ldots, p_{n-1}\}$. Khẳng định cuối cùng khi đó suy ra từ Chương II, § 4, no. 4, Mệnh đề 17.

Dưới các điều kiện của Định lý 2, tập hợp $\{p_0, \ldots, p_{n-1}\}$ không nhất thiết được xác định duy nhất bởi M; đặc biệt nó có thể phân biệt với $\operatorname{Ass}(M)$ (Bài tập 6).

(a) có một phần tử x $\# O$ của M sao cho $ax = 0$.

(b) với mọi $a \in a$, có một phần tử x $\neq O$ của M sao cho $ax = 0$;

(c) có một $p \in \operatorname{Ass}(M)$ sao cho $a \subset p$.

Rõ ràng (a) kéo theo (b). Theo no. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2, điều kiện (b) có nghĩa là iđêan a được chứa trong hợp của các iđêan nguyên tố liên kết với M và do đó trong một trong chúng vì $\operatorname{Ass}(M)$ là hữu hạn (Chương 11, § 1, no. 1, Mệnh đề 2); do đó (b) kéo theo (c). Cuối cùng, nếu có $p \in \operatorname{Ass}(M)$ sao cho $a \subset p$, p là linh hóa tử của một phần tử $x \neq 0$ của M (no. 1, Định nghĩa 1) và $ax = 0$; do đó (c) kéo theo (a).

Giao này cũng là giao của các phần tử cực tiểu của $\operatorname{Supp}(M)$ (no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7) và nói rằng a được chứa trong giao này tương đương với nói rằng $V(a) \supset \operatorname{Supp}(M)$ theo ký hiệu của Chương II, § 4; kết luận khi đó suy ra từ Chương 11, § 4, no. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 17.

Điều kiện của mệnh đề tương đương với nói rằng với mọi $x \in M$ tồn tại $n(x) > 0$ sao cho $(Aa)^{n(x)}(Ax) = 0$; theo Mệnh đề 9 điều này cũng có nghĩa là $a$ thuộc tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun con $Ax$ của $M$; hệ quả khi đó suy ra từ sự kiện rằng $\operatorname{Ass}(M)$ là hợp của các $\operatorname{Ass}(Ax)$ khi x chạy qua M (no. 1, công thức (1)).

Theo giả thiết, $E$ đẳng cấu với một A-môđun có dạng $A^n/R$, do đó $\operatorname{Hom}_A(E, F)$ đẳng cấu với một môđun con của $\operatorname{Hom}_A(A^n, F)$ và môđun sau đẳng cấu với $F^n$; khi đó, $\operatorname{Ass}(F^n) = \operatorname{Ass}(F)$ (no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 3); do đó $\operatorname{Ass}(\operatorname{Hom}_A(E, F)) \subset \operatorname{Ass}(F)$. Mặt khác,

với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, $\operatorname{Hom}_{A_p}(E_p, F_p)$ đẳng cấu với $(\operatorname{Hom}_A(E, F))_p$ (Chương 11, § 2, no. 7, Mệnh đề 19), do đó mệnh đề của ta được suy ra ngay lập tức; rồi từ Định lý 2 ta kết luận rằng

Ngược lại, cho $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$ thuộc $\operatorname{Ass}(F) \cap \operatorname{Supp}(E)$. Theo định nghĩa, $F$ chứa một môđun con đẳng cấu với $A/p$. Mặt khác, vì $E$ sinh hữu hạn và $E, \neq 0$, ta biết tồn tại một đồng cấu $w \neq 0$ từ $E$ vào $A/p$ (Chương II, § 4, no. 4, Mệnh đề 20). Vì tồn tại một đơn cấu $j$ từ $A/p$ vào $F$, $j \circ w \in \operatorname{Hom}(E, F)$ và $j \circ w \neq 0$. Mặt khác, quan hệ $aw = 0$ với một $a \in A$ nào đó tương đương với $a \in p$, vì linh hóa tử của mọi phần tử $\neq 0$ của $A/p$ đều là $p$; do đó chắc chắn $p \in \operatorname{Ass}(\operatorname{Hom}_A(E, F))$.