Les conditions suivantes sont équivalentes : a) $\mathrm{Ass}(M)$ est réduit à un seul élément. b) On a $M \neq 0$, et toute homothétie de $M$ est, soit injective, soit presque nilpotente (§ 1, n° 4).

Si ces conditions sont remplies, et si $p$ est l'ensemble des $a \in A$ tels que l'homothétie $a_M$ soit presque nilpotente, on a $\mathrm{Ass}(M) = \{ p \}$.

Ceci résulte aussitôt du § 1, n° 4, cor. de la prop. 9 et n° 1, cor. 2 de la prop. 2.

En effet, $M / (\bigcap_{i \in I} Q_i)$ est isomorphe à un sous-module $\neq 0$ de la somme directe $\bigoplus_{i \in I} (M / Q_i)$. Or, on a

(§ 1, n° 1, cor. 1 de la prop. 3.) Donc $\operatorname{Ass} \left( M / (\bigcap_{i \in I} Q_i) \right) = \{ p \}$ (§ 1, n° 1, prop. 3 et cor. 1 de la prop. 2).

(i) On suppose que $p \cap S \neq \varnothing$. Si N est p-primaire par rapport à M, on a $S^{-1}N = S^{-1}M$.

(ii) On suppose que $p \cap S = \varnothing$. Pour que N soit p-primaire par rapport à M, il faut et il suffit que N soit de la forme $i(N')$, où $N'$ est un sous-$S^{-1}A$-module de $S^{-1}M$, $(S^{-1}p)$-primaire par rapport à $S^{-1}M$; on a alors $N' = S^{-1}N$.

(i) Si $p \cap S \neq \varnothing$, et si N est p-primaire par rapport à M, on a $\operatorname{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}(M/N)) = \varnothing$ (§ 1, n° 2, cor. de la prop. 5), donc $S^{-1}(M/N) = 0$ (§ 1, n° 1, cor. 1 de la prop. 2), d’où $S^{-1}M / S^{-1}N = 0$.

(ii) Supposons $p \cap S = \varnothing$. Si N est p-primaire par rapport à M, on a $\operatorname{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}(M/N)) = \{ S^{-1}p \}$ (§ 1, n° 2, cor. de la prop. 5), donc le sous-module $N' = S^{-1}N$ de $S^{-1}M$ est $(S^{-1}p)$-primaire ; en outre, si $s \in S$ et $m \in M$ sont tels que $sm \in N$, on a $m \in N$, car l’homothétie de rapport s dans $M/N$ est injective, d’où $N = i(N')$ (chap. II, § 2, n° 4, prop. 10). Réciproquement, soit $N'$ un sous-module de $S^{-1}M$, $(S^{-1}p)$-primaire par rapport à $S^{-1}M$; posons $N = i^{-1}(N')$; on a $N' = S^{-1}N$ (chap. II, § 2, no 4, prop. 10) et $\mathrm{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}(M/N)) = \mathrm{Ass}_{S^{-1}A}((S^{-1}M)/N') = \{ S^{-1}p \}$. Comme l’application canonique $M/N \to S^{-1}(M/N)$ est injective, aucun idéal premier de $A$ associé à $M/N$ ne rencontre $S$ ($§ 1$, no 2, prop. 6); il en résulte que $\mathrm{Ass}(M/N) = \{ p \}$ ($§ 1$, no 2, cor. de la prop. 5), de sorte que $N$ est $p$-primaire par rapport à $M$.

(1)

où, pour tout $p \in \operatorname{Ass}(M/N)$, $Q(p)$ est $p$-primaire par rapport à M.

Quitte à remplacer M par $M/N$, on peut supposer que $N = 0$. En vertu du § 1, no 4, cor. du th. 2, $\operatorname{Ass}(M)$ est fini ; en vertu du § 1, no 1, prop. 4, il existe, pour chaque $p \in \operatorname{Ass}(M)$, un sous-module $Q(p)$ de M tel que $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{ p \}$ et $\operatorname{Ass}(Q(p)) = \operatorname{Ass}(M) - \{ p \}$. Posons $P = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q(p)$; pour tout $p \in \operatorname{Ass}(M)$, on a $\operatorname{Ass}(P) \subset \operatorname{Ass}(Q(p))$, donc $\operatorname{Ass}(P) = \emptyset$, ce qui entraîne $P = 0$ ($§ 1$, no 1, cor. 1 de la prop. 2) et démontre donc le théorème.

Si la condition de l'énoncé est vérifiée, on ne peut avoir $N = \bigcap_{j \neq i} Q_j$, car on en déduirait $\operatorname{Ass}(M/N) \subset \bigcup_{j \neq i} \{ p_j \}$ (§ 1, no 1, cor. 2 de la prop. 3) contrairement à l'hypothèse ; la décomposition primaire $(Q_i)_{i \in I}$ de N est donc bien réduite. Inversement, on a toujours $\operatorname{Ass}(M/N) \subset \bigcup_{i \in I} \{ p_i \}$ (§ 1, no 1, cor. 2 de la prop. 3) ; d'autre part, pour tout $i \in I$, posons $P_i = \bigcap_{j \neq i} Q_j$; on a $P_i \cap Q_i = N$ et $P_i \neq N$ si $(Q_i)_{i \in I}$ est réduite, donc $P_i/N$ est non nul et est isomorphe au sous-module $(P_i + Q_i)/Q_i$ de $M/Q_i$, d'où $\{ p_i \} = \operatorname{Ass}(P_i/N)$ (§ 1, no 1, prop. 3 et cor. 1 de la prop. 2) ; comme $P_i/N \subset M/N$, on a $p_i \in \operatorname{Ass}(M/N)$, ce qui achève de prouver la nécessité de la condition de l'énoncé et la formule (2). Enfin, comme $N = \bigcap_{j \neq i} (Q_j \cap Q_i)$, on a $\operatorname{Ass}(Q_i/N) \subset \bigcup_{j \neq i} \operatorname{Ass}(Q_i/(Q_j \cap Q_i))$ (§ 1, no 1, cor. 2 de la prop. 3);

mais $Q_i/(Q_j \cap Q_i)$ est isomorphe au sous-module $(Q_i + Q_j)/Q_j$ de $M/Q_j$, donc $\operatorname{Ass}(Q_i/(Q_j \cap Q_i)) \subset \{ p_j \}$, et $\operatorname{Ass}(Q_i/N) \subset \bigcup_{j \neq i} \{ p_j \}$; compte tenu de (2) et de la prop. 3 du § 1, n° 1, on obtient bien la formule (3).

Il résulte des remarques précédant la prop. 4 qu’il existe une décomposition primaire réduite $(R_j)_{j \in J}$ de N dans M telle que Card(J) $\leqslant$ Card(I) ; la première assertion résulte donc de la seconde, et cette dernière est une conséquence de la prop. 4.

On peut évidemment se borner au cas où $N = 0$, en remplaçant au besoin M par $M/N$. Si $p_i$ est minimal dans $\operatorname{Ass}(M)$, l’ensemble des éléments de $\operatorname{Ass}(M)$ qui ne rencontrent pas $A - p_i$ est réduit à $p_i$ ; la proposition résulte alors de la formule (3) ci-dessus, et du § 1, n° 2, prop. 6, le noyau de l’application canonique $M \to M_{p_i}$ étant égal au saturé de 0 relativement à $p_i$ (chap. II, § 2, n° 4).

(i) Si (Q_i)_{i \in I} est un élément de D_I(M/N), la famille (Q_i)_{i \in J} est un élément de D_J(M/N'), et la famille (S^{-1}Q_i)_{i \in J} un élément de D_J(S^{-1}M/S^{-1}N).

(ii) L'application (Q_i)_{i \in J} \to (S^{-1}Q_i)_{i \in J} est une bijection de D_J(M/N') sur D_J(S^{-1}M/S^{-1}N).

(iii) Si (Q_i)_{i \in J} est un élément de D_J(M/N') et (R_i)_{i \in I} un élément de D_I(M/N), la famille (T_i)_{i \in I}, telle que T_i = Q_i pour i \in J et T_i = R_i pour i \in I - J, est un élément de D_I(M/N).

(i) On sait (n° 1, prop. 3) que pour i \in J, S^{-1}Q_i est primaire pour S^{-1}p_i et que pour i \in I - J, S^{-1}Q_i = S^{-1}M; comme S^{-1}N = \bigcap_{i \in I} S^{-1}Q_i (chap. II, § 2, n° 4), on a aussi S^{-1}N = \bigcap_{i \in J} S^{-1}Q_i. Les S^{-1}p_i pour i \in J sont deux à deux distincts et leur ensemble est Ass(S^{-1}M/S^{-1}N) (§ 1, n° 2, cor. de la prop. 5); donc (prop. 4) (S^{-1}Q_i)_{i \in J} est une décomposition primaire réduite de S^{-1}N. En outre, on a Q_i = (i_M^s)^{-1}(S^{-1}Q_i) (n° 1, prop. 3), donc N' = (i_M^s)^{-1}(S^{-1}N) = \bigcap_{i \in J} Q_i, et (Q_i)_{i \in J} est évidemment une décomposition primaire réduite de N' dans M.

(ii) Comme S^{-1}N' = S^{-1}N, on peut remplacer N par N', c'est-à-dire supposer que J = I. Soit (P_i)_{i \in I} une décomposition primaire réduite de $S^{-1}N$ dans $S^{-1}M$, et posons $Q_i = (i_M^s)^{-1}(P_i)$; il résulte du no 1, prop. 3, que $Q_i$ est primaire pour $p_i$ ($i \in I$) et $(Q_i)_{i \in I}$ est donc une décomposition primaire réduite de $N$ dans $M$ en vertu du no 3, cor. de la prop. 4. Enfin, comme pour tout $i \in I$ et tout sous-module $Q'_i$ de $M$ qui est $p_i$-primaire par rapport à $M$, on a $Q'_i = (i_M^s)^{-1}(S^{-1}Q'_i)$ en vertu du no 1, prop. 3 et de l’hypothèse $J = I$, on voit que l’on a défini deux applications $D_I(M/N) \to D_I(S^{-1}M/S^{-1}N)$ et $D_I(S^{-1}M/S^{-1}N) \to D_I(M/N)$ dont les composées sont les identités dans $D_I(M/N)$ et $D_I(S^{-1}M/S^{-1}N)$, ce qui prouve (ii).

(iii) En vertu de (i), on a $N' = \bigcap_{i \in J} R_t$, d’où $N = N' \cap \bigcap_{i \in I-J} R_t = (\bigcap_{i \in J} Q_i) \cap (\bigcap_{i \in I-J} R_t)$, et il résulte aussitôt du no 3, cor. de la prop. 4, que cette décomposition primaire est réduite.

En effet, la prop. 6, (iii) montre que l’application $D_I(M/N) \to D_J(M/N')$ est surjective, et la prop. 6 (ii) montre alors que l’application $D_I(M/N) \to D_J(S^{-1}M/S^{-1}N)$ est surjective.

En effet, tout élément de $\mathrm{Supp}(M)$ est alors minimal dans $\mathrm{Supp}(M)$ et la conclusion résulte du $§ 1$, no 3, cor. 1 de la prop. 7.

En vertu du $§ 1$, no 2, cor. de la prop. 5, $\mathrm{Ass}_{A_p}(M_p)$ est l'ensemble des idéaux $q_p$, où $q$ parcourt l'ensemble des idéaux de $\mathrm{Ass}(M)$ qui sont contenus dans $p$. D'autre part, $p_p$ est l'unique idéal maximal de $A_p$; en vertu de la prop. 7, pour que $M_p$ soit un $A_p$-module de longueur finie, il faut et il suffit qu'aucun élément de $\mathrm{Ass}(M)$ ne soit strictement contenu dans $p$. D'autre part, pour que $M_p \neq 0$, il faut et il suffit par définition que $p \in \mathrm{Supp}(M)$ (chap. II, $§ 4$, no 4), c'est-à-dire que $p$ contienne un élément de $\mathrm{Ass}(M)$ ($§ 1$, no 3, prop. 7). Ceci démontre le corollaire.

(i) Il n’existe qu’une seule décomposition primaire de {0} par rapport à M indexée par Ass(M) (nécessairement réduite) ; soit {0} = $\bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q(p)$ cette décomposition, où Q(p) est p-primaire par rapport à M.

(ii) Il existe un entier $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ et tout $p \in \operatorname{Ass}(M)$, on ait $Q(p) = p^n M$.

(iii) Pour tout $p \in \operatorname{Ass}(M)$, l’application canonique de M dans $M_p$ est surjective et son noyau est $Q(p)$.

(iv) L’injection canonique de M dans $\bigoplus_{p \in \operatorname{Ass}(M)} (M/Q(p))$ est bijective.

Comme tout élément $p \in \operatorname{Ass}(M)$ est minimal dans $\operatorname{Ass}(M)$ (prop. 7), l’assertion (i) résulte du no 3, prop. 5. Comme M est de type fini, il existe $n_0$ tel que l’on ait $p^n M \subset Q(p)$ pour tout $p \in \operatorname{Ass}(M)$ et tout $n \geq n_0$ (no 1, Remarque) ; mais comme $p$ est un idéal maximal, $p^n M$ est p-primaire par rapport à M (no 1, Exemples 2 et 3), et comme $\bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} p^n M = \{0\}$, il résulte de (i) que l’on a nécessairement $p^n M = Q(p)$ pour tout $p \in \operatorname{Ass}(M)$ ; d’où (ii). Comme les $p^n$, pour $p \in \operatorname{Ass}(M)$, sont deux à deux étrangers (chap. II, § 1, no 2, prop. 3), l’application canonique $M \to \bigoplus_{p \in \operatorname{Ass}(M)} (M/p^n M)$ est surjective (chap. II, § 1, no 2, prop. 6) d’où (iv). On a $\operatorname{Ass}(Q(p)) = \operatorname{Ass}(M) - \{p\}$ et $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{p\}$ (no 3, prop. 4) ; comme les éléments de $\operatorname{Ass}(M)$ sont des idéaux maximaux, $p$ est le seul élément de $\operatorname{Ass}(M)$ qui ne rencontre pas $A - p$ ; $Q(p)$ est donc le noyau de l’application canonique $j : M \to M_p$ ($§ 1$, no 2, prop. 6). Si $s \in A - p$, l’homothétie de $M/Q(p)$ de rapport $s$ est injective, en vertu de la relation $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{p\}$ (no 1, prop. 1) ; puisque $M/Q(p)$ est artiniens, cette homothétie est bijective (Alg., chap. VIII, § 2, no 2, lemme 3). L’application canonique $M \to M/Q(p)$ s’écrit donc $f \circ j$ où $f : M_p \to M/Q(p)$ est un $A$-homomorphisme (chap. II, § 2, no 2, prop. 3) ; comme $\operatorname{Ker}(j) = \operatorname{Ker}(f \circ j) = Q(p)$, $f$ est injectif ; on en conclut que $j$ est surjectif et $f$ bijectif.

Cela résultera de la prop. 8, (iv) si l’on prouve que $\text{long}_A(M/Q(p)) = \text{long}_{A_p}(M_p)$. Or, il résulte de la prop. 1 du n° 1 que pour tout $s \in A - p$, l’homothétie de rapport s dans $M/Q(p)$ est injective ; l’homothétie de rapport s dans tout sous-module R de $M/Q(p)$ est donc injective, et comme R est artinien elle est bijective (Alg., chap. VIII, § 2, n° 2, lemme 3) ; on en conclut que les sous-A-modules de $M/Q(p)$ sont les images par la bijection $f : M_p \to M/Q(p)$ des sous-$A_p$-modules de $M_p$ (chap. II, § 2, n° 3), d’où notre assertion.

a) A est artinien. b) Tous les idéaux premiers de A sont des idéaux maximaux. c) Tous les éléments de $\operatorname{Ass}(A)$ sont des idéaux maximaux.

Si ces conditions sont satisfaites, A n’a qu’un nombre fini d’idéaux premiers, qui sont tous maximaux et associés au A-module A ; de plus, A est un anneau semi-local, et son radical est nilpotent.

En effet, dire que A est artinien équivaut à dire que A est un A-module de longueur finie ; donc a) et c) sont équivalentes en vertu de la prop. 7. Il est clair que b) implique c). Enfin a) implique b) puisque tout anneau artinien intègre est un corps. Les propriétés a), b), c) sont donc équivalentes.

Supposons-les vérifiées. Comme tout idéal premier de A appartient à $\operatorname{Supp}(A)$ et que tout élément de $\operatorname{Supp}(A)$ contient un élément de $\operatorname{Ass}(A)$ (§ 1, n° 3, prop. 7), il résulte de c) que $\operatorname{Ass}(A)$ est l’ensemble de tous les idéaux premiers de A ; donc A n’a qu’un nombre fini d’idéaux premiers, tous maximaux et associés au A-module A. Ceci implique évidemment que A est semi-local ; enfin, on sait que le radical d’un anneau artinien est nilpotent (Alg., chap. VIII, § 6, n° 4, th. 3).

En effet, il résulte de la prop. 9 et de la prop. 8, (iii) et (iv), que si $(\mathfrak{m}_i)_{1 \leq i \leq n}$ est la famille des idéaux maximaux de $A$, l'application canonique $A \to \prod_i A_{\mathfrak{m}_i}$ est bijective.

a) $A$ est un anneau semi-local, et $m$ un idéal de définition de $A$.

b) $A$ est un anneau de Zariski pour la topologie $m$-adique, et $A/m$ est artinien.

En effet, si a) est vérifiée, $A$ est un anneau de Zariski pour la topologie $m$-adique (chap. III, § 3, no 3, Exemple 3) ; de plus, comme par hypothèse $m$ contient une puissance du radical $r$ de $A$, tout idéal premier de $A$ qui contient $m$ contient aussi $r$ (chap. II, § 1, no 1, prop. 1) ; il est par suite maximal, puisque $r$ est intersection finie d'idéaux maximaux (loc. cit.) ; la prop. 9 montre donc que $A/m$ est artinien. Réciproquement, si b) est vérifiée, tout idéal maximal $p$ de $A$ contient le radical de $A$, donc contient $m$ (chap. III, § 3, no 3, prop. 6) ; comme $A/m$ est artinien, les idéaux $p/m$ sont en nombre fini (prop. 9), donc $A$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux, ce qui entraîne qu'il est semi-local.

En effet, on sait que A' est un anneau de Zariski pour la topologie mA'-adique (chap. III, § 3, no 3, prop. 7). Comme A/m est artinien (cor. 2) et que A'/mA' est un (A/m)-module de type fini, A'/mA' est un anneau artinien, donc A' est semi-local et mA' est un idéal de définition de A' (cor. 2).

Comme A est un anneau de Zariski, E est séparé et les F_n sont fermés pour la topologie m-adique. D'autre part, E est complet (chap. III, § 2, no 12, cor. 1 de la prop. 16). Enfin, E/m^pE est un module de type fini sur l'anneau A/m^p, qui est artinien (cor. 2); par suite E/m^pE est un (A/m^p)-module artinien, donc un A-module artinien. Le corollaire résulte alors du chap. III, § 2, no 7, prop. 8.

Il suffit d'appliquer le cor. 4 au A-module A.

(i) L'ensemble $S = \bigcap_{i=1}^n (A - p_i)$ est l'ensemble des éléments non diviseurs de 0 dans A.

(ii) Si tous les $p_i$ sont des éléments minimaux de Ass(A), l'anneau total de fractions $S^{-1}A$ de A est artinien.

(iii) Si l'anneau A est réduit, tous les $p_i$ sont des éléments minimaux de Ass(A) (et par suite sont les éléments minimaux de Spec(A)), et chacun des $A_{p_i}$ est un corps; pour chaque indice i, l'homomorphisme canonique $S^{-1}A \to A_{p_i}$ (chap. II, § 2, no 1, cor. 1 de la prop. 2) est surjectif et son noyau est $S^{-1}p_i$; enfin l’homomorphisme canonique de $S^{-1}A$ dans $\prod_{i=1}^n (S^{-1}A/S^{-1}p_i)$ est bijectif.

Le fait que S est l’ensemble des éléments non diviseurs de 0 de A a déjà été vu ($§ 1$, n° 1, cor. 3 de la prop. 2). Les idéaux premiers de $S^{-1}A$ sont de la forme $S^{-1}p$, où p est un idéal premier de A contenu dans $\bigcup_{i=1}^n p_i$ (chap. II, $§ 2$, n° 5, prop. 10), c’est-à-dire contenu dans un des $p_i$ (chap. II, $§ 1$, n° 1, prop. 2). Si $p_i$ est un élément minimal de Ass(A), c’est un élément minimal de Spec(A) ($§ 1$, n° 3, cor. de la prop. 7); si chacun des $p_i$ est un élément minimal de Ass(A), on voit donc que les idéaux premiers de $S^{-1}A$ sont les $S^{-1}p_i$, et ils sont donc tous maximaux, ce qui montre que $S^{-1}A$ est artinien (prop. 9).

Supposons enfin que l’anneau A soit réduit. On a alors

On en déduit que est une décomposition primaire réduite de l’idéal $\{0\}$ (n° 3, cor. de la prop. 4); en particulier, aucun des $p_i$ ne peut contenir un $p_j$ d’indice $j \neq i$, et par suite les $p_i$ sont tous des éléments minimaux de Ass(A). L’anneau $S^{-1}A$ est donc artinien d’après (ii). Les $S^{-1}p_i$ sont des idéaux premiers associés au $S^{-1}A$-module $S^{-1}A$ ($§ 1$, n° 2, cor. de la prop. 5) et on a $\{0\} = S^{-1}\left(\bigcap_{i=1}^n p_i\right) = \bigcap_{i=1}^n S^{-1}p_i$ (chap. II, $§ 2$, n° 4); comme les $S^{-1}p_i$ sont deux à deux distincts, $(S^{-1}p_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une décomposition primaire réduite de $\{0\}$ dans $S^{-1}A$ (n° 3, cor. de la prop. 4). La prop. 8 montre alors que l’homomorphisme canonique $g_i : S^{-1}A \to (S^{-1}A)_{p_i}$ est surjectif et de noyau $S^{-1}p_i$, et que l’homomorphisme canonique $S^{-1}A \to \prod_{i=1}^n (S^{-1}A/S^{-1}p_i)$ est bijectif. On sait d’ailleurs que l’homomorphisme canonique $S^{-1}A \to A_{p_i}$ est composé de $g_i$ et d’un isomorphisme $(S^{-1}A)_{S^{-1}p_i} \to A_{p_i}$ (chap. II, $§ 2$, n° 3, prop. 7). Enfin, il résulte de la prop. 8 que $(S^{-1}A)_{S^{-1}p_i}$ est isomorphe à $S^{-1}A/S^{-1}p_i$, donc est un corps puisque $S^{-1}p_i$ est un idéal maximal.

Si $n$ est tel que $p^nE = 0$, on a $p^nB \subset \operatorname{Ann}(E \otimes_A F)$, d’où $p^nB \subset \mathfrak{P}$, ce qui entraîne $p^n \subset \rho^{-1}(\mathfrak{P})$ et par suite $p \subset \rho^{-1}(\mathfrak{P})$ puisque $\rho^{-1}(\mathfrak{P})$ est premier. Par ailleurs, si $a \in A - p$, l’homothétie $h$ de rapport $a$ dans E est injective (§ 1, n° 1, cor. 2 de la prop. 2) ; comme $h \otimes 1_F$ est l’homothétie $h'$ de rapport $\rho(a)$ dans $E \otimes_A F$ et que $\rho_*(F)$ est plat, $h'$ est injective (chap. I, § 2, n° 2, déf. 1) ; ceci prouve que $\rho(a) \notin \mathfrak{P}$, d’où $\rho^{-1}(\mathfrak{P}) = p$.

Lorsque A est noethérien, les deux membres de (5) sont égaux. Soit $p \in \operatorname{Ass}_A(E)$; par définition, il existe une suite exacte

Puisque F est un A-module plat, on en déduit une suite exacte d’où $\operatorname{Ass}_B(F/pF) \subset \operatorname{Ass}_B(E \otimes_A F)$, ce qui prouve l’inclusion (5).

Supposons maintenant A nœthérien et démontrons l’inclusion opposée.

On procédera par étapes :

(i) Supposons d’abord que E soit un A-module de type fini et que Ass_A(E) soit réduit à un seul élément p. En vertu du § 1, no 4, th. 1, il existe une suite de composition (E_i)_{0 \leq i \leq n} de E telle que E_i/E_{i+1} soit isomorphe à A/p_i, où p_i est un idéal premier de A ; en outre (§ 1, no 4, th. 2 et no 3, prop. 7) tous les p_i contiennent p. Comme F est un A-module plat, les E_i \otimes_A F forment une suite de composition de E \otimes_A F et (E_i \otimes_A F)/(E_{i+1} \otimes_A F) s’identifie à (A/p_i) \otimes_A F = F/p_i F. En vertu du § 1, no 1, prop. 3, on a donc

On sait que E est annulé par une puissance de p (no 1, Remarque) ; le lemme 1 montre donc que pour tout $\mathfrak{P} \in \operatorname{Ass}_B(E \otimes_A F)$, on a $\rho^{-1}(\mathfrak{P}) = p$. Comme F/p_i F est isomorphe à (A/p_i) \otimes_A F, on a $\rho^{-1}(\mathfrak{P}') = p_i$ pour tout $\mathfrak{P}' \in \operatorname{Ass}_B(F/p_i F)$ en vertu du lemme 1, d’où $\operatorname{Ass}_B(E \otimes_A F) \cap \operatorname{Ass}(F/p_i F) = \emptyset$ si $p_i \neq p$, ce qui démontre le théorème dans le cas considéré.

(ii) Supposons seulement que E soit un A-module de type fini. Soient $p_i$ (1 \leq i \leq n) les éléments de Ass_A(E), et soit $\{0\} = \bigcap_{i=1}^n Q_i$ une décomposition primaire réduite correspondante (no 3) ; E est donc isomorphe à un sous-module de la somme directe des $E_i = E/Q_i$, et comme F est un A-module plat, $E \otimes_A F$ est isomorphe à un sous-module de la somme directe des B-modules $E_i \otimes_A F$. On en déduit (§ 1, no 1, prop. 3 et cor. 1 de la prop. 3)

Mais $E_i$ est un A-module de type fini tel que Ass_A(E_i) soit réduit à un seul élément $p_i$ (no 1, déf. 1). En vertu de (i), on a $\operatorname{Ass}_B(E_i \otimes_A F) = \operatorname{Ass}_B(F/p_i F)$, d’où le théorème dans ce cas.

(iii) Cas général. Le B-module $E \otimes_A F$ est réunion des sous-modules $E' \otimes_A F$, $E'$ parcourant l’ensemble des sous-modules de type fini du A-module E. Si $\mathfrak{P}$ appartient à $\mathrm{Ass}_B(E \otimes_A F)$, il existe donc un sous-module de type fini $E'$ de E tel que $\mathfrak{P} \in \mathrm{Ass}_B(E' \otimes_A F)$. D’après (ii), il existe $p \in \mathrm{Ass}_A(E')$ tel que $\mathfrak{P} \in \mathrm{Ass}_B(F/pF)$; comme $\mathrm{Ass}_A(E') \subset \mathrm{Ass}_A(E)$, cela achève la démonstration du th. 2.