Bài tập 4, § 6

Cho A và B là các vành và P là một $(A$, B)-song môđun khả nghịch. Ký hiệu tập hợp các iđêan hai phía của A (tương ứng B) bởi $\mathscr{B}_A$ (tương ứng $\mathscr{B}_B$) và đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự được xác định trong Mệnh đề 6 (VIII, p. 105) bởi $f:\mathscr{B}_A\rightarrow \mathscr{B}_B$.

a) Cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan của A. Chứng minh rằng các vành $A/\mathfrak{a}$ và $B/f(\mathfrak{a})$ tương đương Morita. b) Cho $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{a}'$ là các iđêan của A. Chứng minh rằng $f(\mathfrak{a}\mathfrak{a}') =f(\mathfrak{a})f(\mathfrak{a}')$.

c) Chứng minh rằng một iđêan $\mathfrak{a}$ của A là lũy linh nếu và chỉ nếu iđêan $f(\mathfrak{a})$ của B là lũy linh. d) Cho M là một B-môđun. Chứng minh rằng iđêan vết của M (VIII, p. 80) là ảnh qua $f$ của iđêan vết của $P\otimes_BM$.