Exercice 4, § 6

Soient A et B des anneaux, P un $(A$,B)-bimodule inversible. On note $\mathscr{B}_A$ (resp. $\mathscr{B}_B$) l’ensemble des idéaux bilatères de A (resp. B), et $f:\mathscr{B}_A\rightarrow \mathscr{B}_B$ l’isomorphisme d’ensembles ordonnés défini dans la prop. 6 (VIII, p. 101).

a) Soit $\mathfrak{a}$ un idéal de A. Montrer que les anneaux $A/\mathfrak{a}$ et $B/f(\mathfrak{a})$ sont équivalents au sens de Morita.

b) Soient $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{a}'$ des idéaux de A. Montrer que $f(\mathfrak{a}\mathfrak{a}') =f(\mathfrak{a})f(\mathfrak{a}')$.

c) Montrer que l’idéal $\mathfrak{a}$ de A est nilpotent si et seulement si l’idéal $f(\mathfrak{a})$ de B est nilpotent.

d) Soit M un B-module. Prouver que l’idéal trace de M (VIII, p. 75) est l’image par $f$ de celui de $P\otimes_BM$.