(i) A-môđun $A_s$ là đẳng kiểu.

(ii) Vành A là Artin trái, và mọi iđêan hai phía của A đều bằng 0 hoặc A.

(iii) Vành A là Artin trái, và tồn tại một A-môđun trái S vừa đơn vừa trung thành.

Nếu các điều kiện ấy được thỏa mãn, thì A-môđun $A_s$ có độ dài hữu hạn và là đẳng kiểu kiểu S, và mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với S.

Ta chứng minh rằng (i) suy ra (ii). Giả sử (i) được thỏa mãn. Khi đó A-môđun hữu hạn sinh $A_s$ là nửa đơn, nên có độ dài hữu hạn và là Artin (VIII, p. 71, Mệnh đề 10); do đó vành A là Artin trái. Các nội đồng cấu của A-môđun trái $A_s$ là các phép nhân bên phải bởi các phần tử của A. Vì A-môđun trái $A_s$ là đẳng kiểu, theo Mệnh đề 6, b) của VIII, p. 86 suy ra song môđun $(A$, A) $_sA_d$ là đơn. Các môđun con song môđun của $_sA_d$ là các iđêan hai phía của A, nên (i) suy ra (ii).

Ta chứng minh rằng (ii) suy ra (iii). Vành A không thu về 0; do đó tồn tại một A-môđun đơn S. Linh hóa tử của S là một iđêan hai phía thực sự của A. Nếu giả sử (ii) được thỏa mãn, thì linh hóa tử ấy bằng 0. Khi đó A-môđun S là trung thành, và (ii) suy ra (iii).

Ta chứng minh rằng (iii) suy ra (i). Giả sử (iii) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại một số nguyên $m\geqslant 1$ sao cho $A_s$ đẳng cấu với một môđun con của $S^m$ (VIII, p. 50, Mệnh đề 5, a)). Vì $S^m$ là một A-môđun đẳng kiểu kiểu S, nên điều ấy cũng đúng với $A_s$ (VIII, p. 61, Mệnh đề 2); do đó, (iii) suy ra (i).

Giả sử các điều kiện từ (i) đến (iii) được thỏa mãn. Ta đã thấy ở trên rằng A-môđun $A_s$ có độ dài hữu hạn và là đẳng kiểu kiểu S. Mọi A-môđun đơn trái đều đẳng cấu với một thương của $A_s$, nên đẳng cấu với S.

Theo Mệnh đề 1, A-môđun $A_s$ có độ dài hữu hạn và đẳng kiểu kiểu S. Do đó, tồn tại một số nguyên $m\geqslant 1$ sao cho các A-môđun $A_s$ và $S^m$ là đẳng cấu. Khi đó A-môđun S là xạ ảnh và sinh hữu hạn. Nó sinh (VIII, p. 80, Định lý 1), và Bổ đề 1 suy ra từ Định lý 1 của VIII, p. 101, (ii)$\Rightarrow$(i) và (ii)$\Rightarrow$(iii) áp dụng cho song môđun $(A,D)_{\mathbf{Z}}$ S.

Ta biết rằng V là một E-môđun đơn (VIII, p. 45, Ví dụ 3) và hoán tập của nó bằng $D_V$ (VIII, p. 82, Hệ quả 1). Gọi $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant r}$ là một cơ sở của V trên trường D. Ánh xạ $u\mapsto (u(x_i))_{1\leqslant i\leqslant r}$ là một đẳng cấu từ E-môđun $E_s$ tới E-môđun $V^r$; do đó, E-môđun $E_s$ là đẳng kiểu có độ dài $r$, nên vành E là đơn.

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1. Nhắc lại rằng (II, §10, No. 7, p. 349) vành $\mathbf{M}_r(D)$ có thể được đồng nhất với vành tự đồng cấu của không gian vectơ phải trên D $D^r_d$; hơn nữa, mọi không gian vectơ phải có số chiều hữu hạn $r$ trên một trường D đều đẳng cấu với $D^r_d$ (II, §7, No. 1, p. 292). Do đó Định lý 1 suy ra từ Bổ đề 1 và 2.

b) Vành đối của một vành đơn là đơn.

c) Độ dài trái của một vành đơn bằng độ dài phải của nó.

Cho D là một trường, Z là tâm của nó, và V là một không gian vectơ phải trên D có số chiều hữu hạn $r\geqslant 1$. Ta ký hiệu vành tự đồng cấu của V là E.

Ánh xạ $z\mapsto z_V$ là một đẳng cấu từ Z lên tâm của E theo Hệ quả 2 của VIII, p. 83. Mệnh đề a) suy ra từ đó. Đối ngẫu $V^*$ của V là một không gian vectơ phải trên trường đối $D^o$ của D, và chiều của nó bằng $r$. Ánh xạ $u\mapsto^tu$ là một đẳng cấu từ vành đối $E^o$ của E lên vành End$_{D^o}(V^*)$. Do đó, vành $E^o$ là đơn, và các vành E và $E^o$ có cùng độ dài trái, bằng $r$ (Bổ đề 2).

Điều kiện ấy hiển nhiên là đủ.

Ngược lại, giả sử rằng các vành $B =\mathbf{M}_r(D)$ và $B'=\mathbf{M}_{r'}(D')$ là đẳng cấu. Vì $r$ là độ dài của $B_s$ và $r'$ là độ dài của $B'_s$ (Bổ đề 2), ta có $r=r'$. Hơn nữa, B tương đương Morita với D và $B'$ tương đương Morita với $D'$ (VIII, p. 102, Ví dụ 1). Do đó, các trường D và $D'$ tương đương Morita, nên đẳng cấu (VIII, p. 111, Mệnh đề 13, c)).

Cho S là một A-môđun trái đơn; nó là một không gian vectơ trên K hữu hạn chiều. Hoán tập của nó do đó là một đại số bậc hữu hạn trên K. Mệnh đề thứ nhất khi đó suy ra từ Bổ đề 1. Nếu K đóng đại số, thì D = K theo Định lý 1 của VIII, p. 47.

Điều này suy ra từ Bổ đề 1 của VIII, p. 120 và định lý Morita (VIII, p. 103).

a) Mọi A-môđun đều xạ ảnh và đẳng kiểu kiểu S, do đó nửa đơn. Nếu nó có độ dài $\mathfrak{a}$, thì nó đẳng cấu với $S^{(\mathfrak{a})}$.

b) Mọi A-môđun khác không đều sinh.

c) Hai A-môđun là đẳng cấu nếu và chỉ nếu chúng có cùng độ dài.

Ký hiệu trường đối của hoán tập của S bởi D. Theo Bổ đề 1 của VIII, p. 120, S là một song môđun khả nghịch $(A$, D). Cho M là một A-môđun; theo Bổ đề 3, nó đẳng cấu với một môđun có dạng $S\otimes_DV$, trong đó V là một không gian vectơ trái trên trường D.

D-môđun V là xạ ảnh và đẳng kiểu kiểu $D_s$; nó sinh nếu và chỉ nếu nó không thu về 0. Sau cùng, độ dài của $S\otimes_DV$ bằng chiều của không gian vectơ trên D V, và hai không gian vectơ là đẳng cấu nếu và chỉ nếu chúng có cùng chiều. Mệnh đề 2 nay suy ra theo Mệnh đề 10 của VIII, p. 109 và 12 của VIII, p. 110.

Cho $r\geqslant 1$ là một số nguyên. Ta nói rằng một lực lượng $\mathfrak{a}$ chia được cho $r$ nếu tồn tại một lực lượng $\mathfrak{b}$ sao cho $\mathfrak{a}=r\mathfrak{b}$. Điều này xảy ra nếu $\mathfrak{a}$ là vô hạn vì ta có $r\mathfrak{a}=\mathfrak{a}($Lý thuyết tập hợp, III, §6, No. 3, p. 188, Hệ quả 3). Từ nhận xét này suy ra rằng nếu lực lượng $\mathfrak{a}$ chia được cho $r$, thì tồn tại một lực lượng duy nhất $\mathfrak{b}$ sao cho $\mathfrak{a}=r\mathfrak{b}$.

Mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với một thương của $A_s$, do đó hữu hạn chiều trên $k$. Hệ quả khi đó suy ra từ Mệnh đề 2, c).

(1) long$_A(M) =$ long(A) $\cdot$ dim$_A(M)$.

Giả sử rằng M là tự do, và gọi $(e_i)_{i\in I}$ là một cơ sở của M. A-môđun M là tổng trực tiếp của các A-môđun $Ae_i$, mỗi môđun này đều đẳng cấu với $A_s$. Đặt $r=$ long$_A(A_s)$; đây là một số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1 (VIII, p. 119, Mệnh đề 1). Ta có long$_A(M) =r$ Card(I) theo công thức (13) của VIII, p. 73.

Ngược lại, giả sử rằng lực lượng long$_A(M)$ chia được cho $r$. Gọi $\mathfrak{a}$ là lực lượng sao cho long$_A(M) =r\mathfrak{a}$. Khi đó A-môđun M có cùng độ dài với $A^{(\mathfrak{a})}_s$, do đó đẳng cấu với môđun này theo Mệnh đề 2. Điều này chứng tỏ rằng M là tự do.

a) Ánh xạ $a\mapsto a_M$ là một đẳng cấu từ A lên vành tự đồng cấu của B-môđun M.

b) Giả sử rằng M có độ dài hữu hạn như một A-môđun. Khi đó vành B là đơn, và ta có

(2) long$_A(M) =$ long(B) and long$_B(M) =$ long(A).

A-môđun M là sinh theo Mệnh đề 2 của VIII, p. 122. Theo định nghĩa, ta có $B = A'_M$, và do đó mệnh đề a) suy ra từ Định lý 2 của VIII, p. 82.

Giả sử M là một A-môđun có độ dài hữu hạn. Chọn một A-môđun đơn S, và gọi D là trường đối của vành các tự đồng cấu của S. Theo Bổ đề 3, A-môđun M đẳng cấu với một môđun dạng $S\otimes_DV$, trong đó V là một không gian vectơ trái trên trường D. Không gian vectơ V là hữu hạn chiều. Theo Định lý 3 của VIII, p. 64, vành B đẳng cấu với End$_D(V)$; theo Bổ đề 2 (VIII, p. 121), do đó vành B là đơn. Có tính đến Nhận xét 1 của VIII, p. 63, ta thu được các đẳng thức

long(B) = dim$_D(V) =$ long$_A(M)$.

Theo các Nhận xét 1 của VIII, p. 63 và 3 của VIII, p. 121, ta có các quan hệ

long$_B(M) =$ long$_{End_D(V)}(S\otimes_DV) =$ dim$_D(S) =$ long(A),

điều này cho quan hệ cuối cùng.

Gọi $r$ là độ dài của A; A-môđun $A_s$ đẳng cấu với $S^r$. Bây giờ, A-môđun trái B đẳng cấu với $B\otimes_AA_s$ (II, §3, No. 4, p. 249), do đó đẳng cấu với $(B\otimes_AS)^r$ (II, §3, No. 7, p. 255, Mệnh đề 7). Vậy ta có long$_A(B) =r$ long$_A(B\otimes_AS)$, và Mệnh đề 5 suy ra từ Mệnh đề 3 của VIII, p. 123.

Lấy một cơ sở $(e_i)_{i\in I}$ của C được xem như một B-môđun trái và một cơ sở $(f_j)_{j\in J}$ của B được xem như một A-môđun trái. Khi đó họ $(f_je_i)_{j\in J,i\in I}$ là một cơ sở của C được xem như một A-môđun trái (II, §1, No. 13, p. 222, Mệnh đề 25); Mệnh đề 6 được suy ra.

b) Ánh xạ $W\mapsto \mathfrak{b}(W)$ là một song ánh từ tập hợp các không gian con tuyến tính của V lên tập hợp các iđêan phải của A.

c) Cho $W_1$ và $W_2$ là các không gian con tuyến tính của V. Các quan hệ $W_1\subset W_2$, $\mathfrak{a}(W_1)\supset \mathfrak{a}(W_2)$, và $\mathfrak{b}(W_1)\subset \mathfrak{b}(W_2)$ là tương đương.

Mệnh đề b) suy ra từ Ví dụ 1, b) của VIII, p. 104 áp dụng cho song môđun khả nghịch $(D^o,A^o$)-V, cũng như tính tương đương của các quan hệ $W_1\subset W_2$ và $\mathfrak{b}(W_1)\subset \mathfrak{b}(W_2)$.

Cho $V^*$ là đối ngẫu của V, được xem như một không gian vectơ phải trên trường đối $D^o$ của D. Với mọi không gian con W của V, ký hiệu phần trực giao của W trong $V^*$ là $W'$. Ánh xạ $W\mapsto W'$ là một song ánh từ tập hợp các không gian con của V lên tập hợp các không gian con của $V^*$. Nếu $W_1$ và $W_2$ là hai không gian con của V, thì các quan hệ $W_1\subset W_2$ và $W'_1\supset W'_2$ là tương đương. Bây giờ, ánh xạ $u\mapsto^tu$ là một đẳng cấu từ A lên vành đối của End$_{D^o}(V^*)$; nó biến các iđêan trái của A thành các iđêan phải của End$_{D^o}(V^*)$ và biến $\mathfrak{a}(W)$ thành tập hợp $\mathfrak{b}(W')$ các tự đồng cấu $h$ của $V^*$ sao cho $h(V^*)\subset W'$. Mệnh đề a), cũng như tính tương đương của các quan hệ $W_1\subset W_2$ và $\mathfrak{a}(W_1)\supset \mathfrak{a}(W_2)$, khi đó suy ra từ mệnh đề tương tự với b) đối với đối ngẫu $V^*$ của V.

b) Các iđêan phải cực tiểu của A là các iđêan $\mathfrak{b}(L)$, trong đó L là một đường thẳng trong V. Các iđêan phải cực đại của A là các iđêan $\mathfrak{b}(H)$, trong đó H là một siêu phẳng trong V.

Cho $(L_i)_{i\in I}$ là một họ các đường thẳng có tổng trực tiếp là V. Cho $(\varepsilon_i)_{i\in I}$ là họ các phép chiếu liên kết với phân tích $V =\oplus_{i\in I}L_i$. Các $\varepsilon_i$ là những phần tử lũy đẳng trong A, và ta có $\varepsilon_i\varepsilon_j= 0$ với $i\not=j$ và $\sum_{i\in I}\varepsilon_i= 1$. Ký hiệu siêu phẳng $\sum_{j\not=i}L_j$ bởi $H_i$; đó là hạt nhân của $\varepsilon_i$. Khi đó ta có

A-môđun $A_s$ là tổng trực tiếp của họ $(\mathfrak{a}(H_i))_{i\in I}$ các iđêan trái cực tiểu, và $A_d$ là tổng trực tiếp của họ $(\mathfrak{b}(L_i))_{i\in I}$ các iđêan phải cực tiểu.

Xét trường hợp riêng $V = D^n_d$, và đồng nhất A với vành ma trận $\mathbf{M}_n(D)$. Ký hiệu khoảng $[1, n]$ trong $\mathbf{N}$ bởi I và cơ sở chính tắc của V bởi $(v_i)_{i\in I}$; đặt $L_i=v_iD$, và ký hiệu bởi $E_{ij}$ các đơn vị ma trận (II, §10, No. 3, p. 341). Khi đó ta có $\varepsilon_i= E_{ii}$. Iđêan trái AE$_{ii}$ bằng DE$_{1i}+\cdots +$ DE$_{ni}$ và gồm các ma trận mà mọi cột trừ cột thứ $i$ đều bằng không. Iđêan phải $E_{ii}A$ bằng DE$_{i1}+\cdots +$ DE$_{in}$ và gồm các ma trận mà mọi hàng trừ hàng thứ $i$ đều bằng không. Ta cũng có quan hệ

với $i$ và $j$ nằm giữa 1 và $n$.