Bài tập 2, § 7

Cho D là một trường, V là một không gian vectơ phải chiều vô hạn $\mathfrak{c}$ trên D, và A là vành End$_D(V)$.

a) Cho $u$ và $v$ là các nội cấu của V sao cho rg($u$)$\leqslant$ rg($v$). Chứng minh rằng tồn tại các phần tử $a$ và $b$ của A sao cho $u=avb$.

b) Với mọi bản số vô hạn $\mathfrak{n}\leqslant \mathfrak{c}$, ký hiệu tập hợp các endomorphism của V có hạng $<\mathfrak{n}$ bởi $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$ là một iđêan hai phía của A và mọi iđêan hai phía của A phân biệt với $\{0\}$ và A đều là một trong các $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$ (dùng a)). Đặc biệt, iđêan các endomorphism hạng hữu hạn là iđêan hai phía khác không nhỏ nhất của A, và iđêan $\mathfrak{A}_{\mathfrak{c}}=\mathfrak{T}$ gồm các endomorphism có hạng $<\mathfrak{c}$ là iđêan hai phía lớn nhất của A phân biệt với A.

c) Cho B là một cơ sở của V và $\mathfrak{U}$ là một siêu bộ lọc trên B mịn hơn bộ lọc $\mathfrak{G}$ gồm các phần bù của các tập con của B có lực lượng $<\mathfrak{c}$. Với mọi tập U thuộc $\mathfrak{U}$, ký hiệu bởi $e_U$ phép chiếu của V có hạt nhân sinh bởi các vectơ của U và ảnh sinh bởi các vectơ của B - U. Gọi $\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}$ là iđêan trái của A sinh bởi các $e_U$, khi U chạy qua $\mathfrak{U}$. Chứng minh rằng iđêan $\mathfrak{T}+\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}$ khác A. Cho $\mathfrak{V}$ là một siêu bộ lọc khác trên B chứa $\mathfrak{G}$ và khác $\mathfrak{U}$. Chứng minh rằng ta có $\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}+\mathfrak{a}_{\mathfrak{V}}= A$. d) Chứng minh rằng lực lượng của tập hợp các siêu bộ lọc trên B chứa $\mathfrak{G}$ là $2^{2^{\mathfrak{c}}}$. (Dùng các lập luận của Bài tập 6 của Gen. Top., I, §8, p. 135 và 5 của Gen. Top., I, §4, p. 126. Nhận thấy rằng trong bài tập sau, vết trên F của mọi tập con mở khác rỗng của X đều có cùng lực lượng như F.)

e) Giả sử Card(D) $\leqslant 2^{\mathfrak{c}}$. Suy ra từ d) rằng tập hợp các lớp của các $(A/\mathfrak{T})$-môđun đơn có lực lượng $2^{2^{\mathfrak{c}}}$ (xem VIII, p. 52, Bài tập 5, d)).

f ) Suy ra từ trên rằng vành A là nguyên thủy nhưng không tựa đơn và vành $A/\mathfrak{T}$ là tựa đơn nhưng không đơn (VIII, p. 120, Nhận xét 2).