Exercice 2, § 7

Soient D un corps, V un espace vectoriel à droite de dimension infinie $\mathfrak{c}$ sur D, et A l’anneau End$_D(V)$.

a) Soient $u,v$ des endomorphismes de V tels que rg($u$)$\leqslant$ rg($v$). Démontrer qu’il existe des éléments $a,b$ de A tels que $u=avb$.

b) Pour tout cardinal infini $\mathfrak{n}\leqslant \mathfrak{c}$, on désigne par $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$ l’ensemble des endomorphismes de V de rang $<\mathfrak{n}$. Prouver que $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$ est un idéal bilatère de A, et que tout idéal bilatère de A, distinct de $\{0\}$ et de A, est l’un des $\mathfrak{A}_{\mathfrak{n}}$ (utiliser a)). En particulier, l’idéal des endomorphismes de rang fini est le plus petit idéal bilatère non nul de A, et l’idéal $\mathfrak{A}_{\mathfrak{c}}=\mathfrak{T}$ des endomorphismes de rang $<\mathfrak{c}$ est le plus grand idéal bilatère de A distinct de A.

c) Soient B une base de $V,\mathfrak{U}$ un ultrafiltre sur B, plus fin que le filtre $\mathfrak{G}$ des complémentaires des parties de B de cardinal $<\mathfrak{c}$. Pour tout ensemble U de $\mathfrak{U}$, notons $e_U$ le projecteur de V dont le noyau est engendré par les vecteurs de U et l’image par les vecteurs de B - U. Soit $\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}$ l’idéal à gauche de A engendré par les $e_U$, où U parcourt $\mathfrak{U}$; démontrer que l’idéal $\mathfrak{T}+\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}$ est distinct de A. Soit $\mathfrak{V}$ un autre ultrafiltre sur B contenant $\mathfrak{G}$ et distinct de $\mathfrak{U}$; prouver qu’on a $\mathfrak{a}_{\mathfrak{U}}+\mathfrak{a}_{\mathfrak{V}}= A$.

d) Démontrer que le cardinal de l’ensemble des ultrafiltres sur B contenant $\mathfrak{G}$ est $2^{2^{\mathfrak{c}}}$ (utiliser les arguments des exerc. 6 de TG, I, p. 101 et 5 de TG, I, p. 95 ; dans ce dernier exercice, on observera que la trace sur F de tout ouvert non vide de X est équipotente à F).

e) On suppose Card(D) $\leqslant 2^{\mathfrak{c}}$. Déduire de d) que l’ensemble des classes de $(A/\mathfrak{T})$-modules simples est de cardinal $2^{2^{\mathfrak{c}}}($cf. VIII, p. 48, exerc 5 d)).

f ) Déduire de ce qui précède que l’anneau A est primitif mais pas quasi-simple, et que l’anneau $A/\mathfrak{T}$ est quasi-simple mais pas simple (VIII, p. 116, remarque 2).