(i) Le A-module $A_s$ est isotypique ;

(ii) L’anneau A est artinien à gauche et tout idéal bilatère de A est égal à 0 ou à A ;

(iii) L’anneau A est artinien à gauche et il existe un A-module à gauche S qui est simple et fidèle.

Si ces conditions sont satisfaites, le A-module $A_s$ est de longueur finie et isotypique de type S, et tout A-module simple est isomorphe à S.

Démontrons que (i) entraîne (ii). Sous les hypothèses de (i), le A-module de type fini $A_s$ est semi-simple, donc de longueur finie et artinien (VIII, p. 67, prop. 10) ; par suite, l’anneau A est artinien à gauche. Les endomorphismes du A-module à gauche $A_s$ sont les multiplications à droite par les éléments de A. Comme le A-module à gauche $A_s$ est isotypique, il résulte de la prop. 6, b) de VIII, p. 81, que le $(A,A)$-bimodule $_sA_d$ est simple. Les sous-bimodules de $_sA_d$ sont les idéaux bilatères de A, donc (i) implique (ii).

Démontrons que (ii) entraîne (iii). L’anneau A n’est pas réduit à 0 ; par suite, il existe un A-module simple S. L’annulateur de S est un idéal bilatère de A, distinct de A. Sous les hypothèses de (ii), il est égal à 0. Le A-module S est alors fidèle et (ii) entraîne (iii).

Démontrons que (iii) entraîne (i). Sous les hypothèses de (iii), il existe un entier $m\geqslant 1$ tel que $A_s$ soit isomorphe à un sous-module de $S^m$ (VIII, p. 46, prop. 5, a)). Puisque $S^m$ est un A-module isotypique de type S, il en est de même de $A_s$ (VIII, p. 57, prop. 2) ; donc (iii) implique (i).

Supposons les conditions (i) à (iii) satisfaites. Nous avons vu au cours de la démonstration que le A-module $A_s$ est de longueur finie et isotypique de type S. Tout A-module à gauche simple est isomorphe à un quotient de $A_s$, donc à S.

D’après la prop. 1 de VIII, p. 115, le A-module $A_s$ est de longueur finie, et isotypique de type S. Il existe donc un entier $m\geqslant 1$ tel que les A-modules $A_s$ et $S^m$ soient isomorphes. Alors le A-module S est projectif et de type fini. Il est générateur (VIII, p. 76, th. 1) et le lemme 1 résulte du th. 1 de VIII, p. 97, (ii)$\Rightarrow$(i) et (ii)$\Rightarrow$(iii) appliqué au $(A,D)_{\mathbf{Z}}$-bimodule S.

On sait que V est un E-module simple (VIII, p. 41, exemple 3) et que son commutant est égal à $D_V$ (VIII, p. 78, cor. 1). Soit $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant r}$ une base de V sur le corps D. L’application $u\rightarrow (u(x_i))_{1\leqslant i\leqslant r}$ est un isomorphisme du E-module $E_s$ sur le E-module $V^r$; par suite, le E-module $E_s$ est isotypique de longueur $r$, donc l’anneau E est simple.

Démontrons maintenant le théorème 1. Rappelons (II, p. 150) que l’anneau $\mathbf{M}_r(D)$ s’identifie à l’anneau des endomorphismes du D-espace vectoriel à droite $D^r_d$; de plus, tout espace vectoriel à droite de dimension finie $r$ sur un corps D est isomorphe à $D^r_d$ (II, p. 97). Le théorème 1 résulte donc des lemmes 1 et 2.

b) L’anneau opposé d’un anneau simple est simple.

c) La longueur à gauche d’un anneau simple est égale à sa longueur à droite.

Soient D un corps, Z son centre et V un espace vectoriel à droite sur le corps D, de dimension finie $r\geqslant 1$. On note E l’anneau des endomorphismes de V.

L’application $z\rightarrow z_V$ est un isomorphisme de Z sur le centre de E d’après le corollaire 2 de VIII, p. 78. L’assertion a) résulte de là. Le dual $V^*$ de V est un espace vectoriel à droite sur le corps $D^o$ opposé de D et sa dimension est égale à $r$. L’application $u\rightarrow^tu$ est un isomorphisme de l’anneau $E^o$ opposé de E sur l’anneau End$_{D^o}(V^*)$. Par suite, l’anneau $E^o$ est simple et les anneaux E et $E^o$ ont la même longueur à gauche, égale à $r$ (lemme 2).

La condition est évidemment suffisante.

Réciproquement, supposons que les anneaux $B = \mathbf{M}_r(D)$ et $B'= \mathbf{M}_{r'}(D')$ soient isomorphes. Comme $r$ est la longueur de $B_s$ et $r'$ celle de $B'_s$ (lemme 2), on a $r=r'$. De plus, B est équivalent à D au sens de Morita et $B'$ à $D'$ (VIII, p. 98, exemple 1). Par suite, les corps D et $D'$ sont équivalents au sens de Morita, donc isomorphes (VIII, p. 107, prop. 13, c)).

Soit S un A-module à gauche simple ; c’est un K-espace vectoriel de dimension finie sur K. Son commutant est donc une algèbre de degré fini sur K. La première assertion résulte alors du lemme 1. Si K est algébriquement clos, alors D = K par le th. 1 de VIII, p. 43.

Cela résulte du lemme 1 de VIII, p. 116 et du théorème de Morita (VIII, p. 99).

a) Tout A-module est projectif et isotypique de type S, donc semi-simple. Si $\mathfrak{a}$ est sa longueur, il est isomorphe à $S^{(\mathfrak{a})}$.

b) Tout A-module non nul est générateur.

c) Deux A-modules sont isomorphes si et seulement s’ils ont même longueur.

Notons D le corps opposé du commutant de S. D’après le lemme 1 de VIII, p. 116, S est un $(A$, D)-bimodule inversible. Soit M un A-module ; d’après le lemme 3, il est isomorphe à un module de la forme $S\otimes_DV$, où V est un espace vectoriel à gauche sur le corps D.

Le D-module V est projectif et isotypique de type $D_s$; il est générateur si et seulement s’il n’est pas réduit à 0. Enfin, la longueur de $S\otimes_DV$ est égale à la dimension du D-espace vectoriel V, et deux espaces vectoriels sont isomorphes si et seulement s’ils ont même dimension. La prop. 2 résulte de là, compte tenu de la prop. 10 de VIII, p. 104 et de la prop. 12 de VIII, p. 106.

Soit $r\geqslant 1$ un entier. Nous dirons qu’un cardinal $\mathfrak{a}$ est divisible par $r$ s’il existe un cardinal $\mathfrak{b}$ tel que $\mathfrak{a}=r\mathfrak{b}$. Il en est ainsi si $\mathfrak{a}$ est infini, puisqu’on a $r\mathfrak{a}=\mathfrak{a}$ (E, III, p. 49, cor. 3) ; il résulte de cette remarque que si le cardinal $\mathfrak{a}$ est divisible par $r$, il existe un unique cardinal $\mathfrak{b}$ tel que $\mathfrak{a}=r\mathfrak{b}$.

Tout A-module simple sur A est isomorphe à un quotient de $A_s$, donc de dimension finie sur $k$. Le corollaire résulte alors de la prop. 2, c) de VIII, p. 118.

(1) long$_A(M) =$ long(A)$\cdot$ dim$_A(M)$.

Supposons que M soit libre et soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de M. Le A-module M est somme directe des A-modules $Ae_i$, eux-mêmes isomorphes à $A_s$. Posons $r=$ long$_A(A_s)$; c’est un entier supérieur ou égal à 1 (VIII, p. 115, prop. 1). On a long$_A(M) =r$ Card(I) d’après la formule (13) de VIII, p. 68.

Réciproquement, supposons que le cardinal long$_A(M)$ soit divisible par $r$. Soit $\mathfrak{a}$ le cardinal tel que long$_A(M) =r\mathfrak{a}$. Alors le A-module M a même longueur que $A^{(\mathfrak{a})}_s$, donc lui est isomorphe d’après la prop. 2. Ceci prouve que M est libre.

a) L’application $a\rightarrow a_M$ est un isomorphisme de A sur l’anneau des endomorphismes du B-module M.

b) Supposons que M soit de longueur finie comme A-module. Alors l’anneau B est simple et l’on a

(2) long$_A(M) =$ long(B) et long$_B(M) =$ long(A).

Le A-module M est générateur d’après la prop. 2 de VIII, p. 118 ; on a par définition $B = A'_M$ et l’assertion a) résulte donc du th. 2 de VIII, p. 78.

Supposons que M soit un A-module de longueur finie. Choisissons un A-module simple S et notons D le corps opposé de l’anneau des endomorphismes de S. D’après le lemme 3 le A-module M est isomorphe à un module de la forme $S\otimes_DV$ où V est un espace vectoriel à gauche sur le corps D. L’espace vectoriel V est de dimension finie. D’après le th. 3 de VIII, p. 60, l’anneau B est isomorphe à End$_D(V)$; d’après le lemme 2 (VIII, p. 117) l’anneau B est donc simple et, compte tenu de la remarque 1 de VIII, p. 59, on obtient les égalités

long(B) = dim$_D(V) =$ long$_A(M)$.

Par la remarque 1 de VIII, p. 59 et la remarque 3 de VIII, p. 117, on a les relations

long$_B(M) =$ long$_{End_D(V)}(S\otimes_DV) =$ dim$_D(S) =$ long(A)

ce qui démontre la dernière formule.

Soit $r$ la longueur de A ; le A-module $A_s$ est isomorphe à $S^r$. Or le A-module à gauche B est isomorphe à $B\otimes_AA_s$ (II, p. 56), donc à $(B\otimes_AS)^r$ (II, p. 61, prop. 7). On a donc long$_A(B) =r$ long$_A(B\otimes_AS)$, et la prop. 5 résulte de la prop. 3 de VIII, p. 119.

Introduisons une base $(e_i)_{i\in I}$ de C considéré comme B-module à gauche, et une base $(f_j)_{j\in J}$ de B considéré comme A-module à gauche. Alors la famille $(f_je_i)_{j\in J,i\in I}$ est une base de C considéré comme A-module à gauche (II, p. 31, prop. 25), d’où la prop. 6.

b) L’application $W\rightarrow \mathfrak{b}(W)$est une bijection de l’ensemble des sous-espaces vectoriels de V sur l’ensemble des idéaux à droite de A.

c) Soient $W_1$ et $W_2$ des sous-espaces vectoriels de V. Les relations $W_1\subset W_2$, $\mathfrak{a}(W_1)\supset \mathfrak{a}(W_2)$et $\mathfrak{b}(W_1)\subset \mathfrak{b}(W_2)$sont équivalentes.

L’assertion b) résulte de l’exemple 1, b) de VIII, p. 100 appliquée au $(D^o,A^o)$-bimodule inversible V, de même que l’équivalence des relations $W_1\subset W_2$ et $\mathfrak{b}(W_1)\subset$ $\mathfrak{b}(W_2)$.

Soit $V^*$ le dual de V, considéré comme espace vectoriel à droite sur le corps $D^o$ opposé de D. Pour tout sous-espace W de V, notons $W'$ l’orthogonal de W dans $V^*$. L’application $W\rightarrow W'$ est une bijection de l’ensemble des sous-espaces de V sur l’ensemble des sous-espaces de $V^*$. Si $W_1$ et $W_2$ sont deux sous-espaces de V, les relations $W_1\subset W_2$ et $W'_1\supset W'_2$ sont équivalentes. Or, l’application $u\rightarrow^tu$ est un isomorphisme de A sur l’anneau opposé de End$_{D^o}(V^*)$; elle transforme idéaux à gauche de A en idéaux à droite de End$_{D^o}(V^*)$, et $\mathfrak{a}(W)$ en l’ensemble $\mathfrak{b}(W')$ des endomorphismes $h$ de $V^*$ tels que $h(V^*)\subset W'$. L’assertion a), ainsi que l’équivalence des relations $W_1\subset W_2$ et $\mathfrak{a}(W_1)\supset \mathfrak{a}(W_2)$, résultent alors de l’assertion analogue à b) pour le dual $V^*$ de V.

b) Les idéaux à droite minimaux de A sont les idéaux $\mathfrak{b}(L)$, où L est une droite de V ; les idéaux à droite maximaux de A sont les idéaux $\mathfrak{b}(H)$, où H est un hyperplan de V.

Soit $(L_i)_{i\in I}$ une famille de droites dont V soit somme directe. Soit $(\varepsilon_i)_{i\in I}$ la famille de projecteurs associée à la décomposition $V =\oplus_{i\in I}L_i$. Les $\varepsilon_i$ sont des idempotents dans A, on a $\varepsilon_i\varepsilon_j= 0$ pour $i\not=j$ et $\sum_{i\in I}\varepsilon_i= 1$. Notons $H_i$ l’hyperplan $\sum_{j\not=i}L_j$; c’est le noyau de $\varepsilon_i$. On a alors

Le A-module $A_s$ est somme directe de la famille $(\mathfrak{a}(H_i))_{i\in I}$ d’idéaux à gauche minimaux, et $A_d$ est somme directe de la famille $(\mathfrak{b}(L_i))_{i\in I}$ d’idéaux à droite minimaux.

Considérons le cas particulier $V = (D_d)^n$ et identifions A à l’anneau de matrices $\mathbf{M}_n(D)$. Notons I l’intervalle $[1, n]$ de $\mathbf{N}$et $(v_i)_{i\in I}$ la base canonique de V ; posons $L_i=v_iD$, et notons $E_{ij}$ les unités matricielles (II, p. 142). On a alors $\varepsilon_i= E_{ii}$. L’idéal à gauche AE$_{ii}$ est égal à DE$_{1i}+\cdots +$ DE$_{ni}$ et se compose des matrices dont toutes les colonnes à l’exception de la $i$-ème sont nulles. L’idéal à droite $E_{ii}A$ est égal à DE$_{i1}+\cdots +$ DE$_{in}$ et se compose des matrices dont toutes les lignes à l’exception de la $i$-ème sont nulles. On a aussi la relation

pour $i$ et $j$ compris entre 1 et $n$.