Exercice 3, § 7

Soient D un corps, V un espace vectoriel à droite sur D et A un sous-anneau de l’anneau End$_D(V)$.

a) Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Pour tout endomorphisme $u$ de V et toute suite finie $x_1, . . . , x_n$ de vecteurs de V, il existe un élément $a$ de A satisfaisant à $u(x_i) =a(x_i)$ pour $1\leqslant i\leqslant n$;

(ii) Pour tout couple d’éléments $x, y$ de V avec $x\not= 0$, il existe $a\in A$ tel que $a(x) =y$.

Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que le sous-anneau A de End$_D(V)$ est dense. On suppose désormais que A est dense.

b) Démontrer que A est primitif (VIII, p. 116, remarque 2). Inversement, tout anneau primitif est isomorphe à un sous-anneau dense de l’anneau des endomorphismes d’un espace vectoriel.

c) Prouver que les éléments non nuls du centre de A sont des endomorphismes injectifs. En particulier, le centre d’un anneau primitif est un anneau intègre.

d) On suppose que V est de dimension infinie. Pour tout entier $n >0$, prouver qu’il existe un sous-anneau $A_n$ de A et un homomorphisme surjectif $A_n\rightarrow \mathbf{M}_n(D)$.