Bài tập 3, § 7

Cho D là một trường, V là một không gian vectơ phải trên D, và A là một vành con của vành End$_D(V)$.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Với mọi tự đồng cấu $u$ của V và mọi dãy hữu hạn $x_1, . . . , x_n$ các vectơ trong V, tồn tại một phần tử $a$ của A thỏa mãn $u(x_i) =a(x_i)$ với $1\leqslant i\leqslant n$.

(ii) Với mọi cặp phần tử $x, y$ của V sao cho $x\not= 0$, tồn tại $a\in A$ sao cho $a(x) =y$.

Khi các điều kiện này được thỏa mãn, ta nói rằng vành con A của End$_D(V)$ là trù mật. Từ đây về sau, giả sử rằng A là trù mật.

b) Chứng minh rằng A là nguyên thủy (VIII, p. 120, Nhận xét 2). Chứng minh rằng, ngược lại, mọi vành nguyên thủy đều đẳng cấu với một vành con trù mật của vành các tự đồng cấu của một không gian vectơ.

c) Chứng minh rằng các phần tử khác không của tâm của A là các tự đồng cấu đơn ánh. Đặc biệt, tâm của một vành nguyên thủy là một miền nguyên.

d) Giả sử rằng V là vô hạn chiều. Với mọi số nguyên $n >0$, chứng minh rằng tồn tại một vành con $A_n$ của A và một đồng cấu toàn ánh $A_n\rightarrow \mathbf{M}_n(D)$.