a) L’application $(u_i)\rightarrow \prod u_i$ de $\prod$ End$_{\mathbf{Z}}(M_i)$dans End$_{\mathbf{Z}}(M)$ (II, p. 10) définit par passage aux sous-ensembles des isomorphismes d’anneaux de $\prod(A_i)_{M_i},\prod(A_i)'_{M_i}$ et $\prod(A_i)''_{M_i}$ sur $A_M, A'_M$ et $A''_M$ respectivement.

b) L’application $(u_i)\rightarrow \bigoplus u_i$ de $\prod$ End$_{\mathbf{Z}}(M_i)$dans End$_{\mathbf{Z}}(N)$ (II, p. 13) définit par passage aux sous-ensembles des isomorphismes d’anneaux de $\prod(A_i)_{M_i},\prod(A_i)'_{M_i}$ et $\prod(A_i)''_{M_i}$ sur $A_N, A'_N$ et $A''_N$ respectivement.

L’application $\varphi : (u_i)\rightarrow \prod u_i$ de $\prod$ End$_{\mathbf{Z}}(M_i)$ dans End$_{\mathbf{Z}}(M)$ est un homomorphisme injectif d’anneaux. Par définition de la structure de A-module de M, on a $\varphi (\prod(A_i)_{M_i}) = A_M$. Soit $u\in A'_M$. Pour tout $i\in I$, notons $h_i$ l’élément de A dont toutes les composantes sont égales à 1 sauf celle d’indice $i$ qui est égale à 0 . Si $x$ est un élément de M dont la composante d’indice $i$ est nulle, on a $x=h_ix$, d’où pr$_i(u(x)) =$ pr$_i(u(h_ix)) =$ pr$_i(h_iu(x)) = 0$. Il existe par suite un unique homomorphisme de groupes $u_i: M_i\rightarrow M_i$ telle que pr$_i(u(y)) =u_i$(pr$_i(y)$) pour tout $y\in M$. On a $u=\prod u_i$. Comme l’application $u$ est A-linéaire, l’application $u_i$ est $A_i$-linéaire pour tout $i\in I$. Cela prouve que $A'_M$ est contenu dans l’image de $\prod(A_i)'_{M_i}$ par $\varphi$; l’inclusion opposée est évidente. En appliquant cela au contremodule de M, on en déduit que $\varphi$ induit un isomorphisme de $A''_M$ sur $\prod_i(A_i)''_{M_i}$. Cela prouve l’assertion a).

La démonstration de b) est la même que celle de a) mutatis mutandis.

Les isomorphismes d’anneaux définis dans la prop. 1 sont dits canoniques. On identifie souvent $\prod(A_i)_{M_i}$ à $A_M,\prod(A_i)'_{M_i}$ à $A'_M$, etc. au moyen de ces isomorphismes.

Pour tout $i\in I$, on note $\pi_i: (x_j)_{j\in I}\rightarrow x_i$ l’homomorphisme de projection de $M^{(I)}$ dans M et $\iota_i: M\rightarrow M^{(I)}$ l’injection canonique correspondante (A, I, p. 45).

Soit $u$ un élément de End$_A(M^{(I)})$. Pour tous $i, j\in I$, l’application composée $u_{i,j}=\pi_j\circ u\circ \iota_i$ appartient au commutant $A'_M$ de M. Pour tout élément $b$ de $A''_M$ et tout $(x_i)\in M^{(I)}$ on a les relations

L’homothétie $b_{M^{(I)}}$ appartient donc au bicommutant du A-module $M^{(I)}$.

Inversement soit $b$ un élément du bicommutant de $M^{(I)}$. Pour tous $i, j\in I$, notons $b_{i,j}=\pi_j\circ b\circ \iota_i$. Soient $i, j\in I$ avec $i\not=j$. Comme $\iota_j\circ \pi_j$ appartient au commutant du A-module $M^{(I)}$, on a

De même, on a

En outre, $b_{i,i}$ appartient à $A''_M$. Il en résulte que $b$ coïncide avec une homothétie du $A''_M$-module $M^{(I)}$.

(i) Le A-module M est générateur ;

(ii) Pour tout A-module N, il existe un ensemble I et une application A-linéaire surjective de $M^{(I)}$ dans N ;

(iii) Il existe un entier $n\geqslant 0$et une application A-linéaire surjective de $M^n$ dans $A_s$;

(iv) Il existe un entier $n\geqslant 0$tel que $A_s$ soit isomorphe à un sous-module facteur direct de $M^n$;

(v) L’idéal trace $\tau (M)$est égal à A ;

(vi) Il existe un entier $n\geqslant 0$, des éléments $x_1, . . . , x_n$ de M et des éléments $x^*_1, . . . , x^*_n$ de $M^*$ satisfaisant à $\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$.

(i) $=\Rightarrow$ (ii) : Supposons que M soit générateur et soit N un A-module à gauche. Il existe une famille $(u_i)_{i\in I}$ d’applications A-linéaires de M dans N telle que l’on ait $N =\sum_{i\in I}u_i(M)$. L’application $(x_i)\rightarrow \sum_{i\in I}u_i(x_i)$ de $M^{(I)}$ dans N est A-linéaire et surjective.

(ii) $=\Rightarrow$ (iii) : Appliquons l’hypothèse (ii) au module $N = A_s$. Soit I un ensemble et soit $u: M^{(I)}\rightarrow A_s$ une application linéaire surjective. Comme $A_s$ est engendré par l’élément 1, il existe une partie finie J de I telle que $u(M^{(J)}) = A_s$, d’où (iii).

(iii) $=\Rightarrow$ (iv) : Cela résulte de la prop. 21 de II, p. 27.

(iv) $=\Rightarrow$ (v) : Soit $n\geqslant 1$ un entier tel que $A_s$ soit isomorphe à un sous-module facteur direct de M. On a $A =\tau (A_s)\subset \tau (M^n) =\tau$(M), d’où $\tau (M) = A$.

(v) $=\Rightarrow$ (vi) : C’est clair.

(vi) $=\Rightarrow$ (i) : Soient $n$ un entier $\geqslant 0,x_1, . . . , x_n$ des éléments de M et $x^*_1, . . . , x^*_n$ des éléments de $M^*$ satisfaisant à $\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$. Soit N un A-module à gauche et $y$ un élément de N. Les applications $u_i:x\rightarrow \langle x, x^*_i\rangle y$ de M dans N sont A-linéaires, et l’on a $y=\sum^n_{i=1}u_i(x_i)$. Cela démontre que M est un A-module générateur.

Soit $a\in A$ tel que $aM = 0$. En utilisant l’implication (i) $=\Rightarrow$ (iv) du th. 1, on obtient $aA_s= 0$, d’où $a= 0$. Le corollaire en résulte (II, p. 28).

(i) $\mathfrak{a}M = M$;

(ii) Ann(M) $+\mathfrak{a}= A$;

(iii) Il existe un élément $a$ de $\mathfrak{a}$ tel que $am=m$ pour tout $m\in M$.

(i) $=\Rightarrow$ (ii) : Soit $(x_1, . . . , x_n)$ une famille génératrice du A-module M. Si $\mathfrak{a}M = M$, chacun des $x_i$ peut s’écrire sous la forme $\sum^n_{j=1}c_{ij}x_j$, où les $c_{ij}$ appartiennent à $\mathfrak{a}$. Notons C la matrice $(c_{ij})$ et X la matrice colonne de composantes $x_1, . . . , x_n$. On a ($I_n-C$)X = 0. Soient $d$ le déterminant et V la matrice des cofacteurs de la matrice $I_n-C$. D’après la formule (26) de III, p. 99, on a $dX =^tV$($I_n-C$)X = 0, d’où $d\in$ Ann(M). D’autre part comme les $c_{ij}$ appartiennent à $\mathfrak{a}$ on a $d\equiv$ 1(mod $\mathfrak{a}$) (III, p. 96, (18)), d’où $1\in$ Ann(M) $+\mathfrak{a}$.

(ii) $=\Rightarrow$ (iii) : Sous l’hypothèse (ii), il existe $a\in \mathfrak{a}$ et $b\in$ Ann(M) tels que $a+b= 1$. On a alors $am=m$ pour tout $m\in M$.

(iii) $=\Rightarrow$ (i) : C’est clair.

Soit P un A-module projectif de type fini. On a $\tau (P)P = P$ (VIII, p. 75). Si le A-module P est fidèle, l’idéal $\tau (P)$ est égal à A (lemme 1) et le A-module P est générateur (th. 1), d’où la première assertion. La seconde s’en déduit par le lemme suivant :

Soit $(x_i)_{i\in I}$ une famille génératrice du A-module M. Il existe une famille $(x^*_i)_{i\in I}$ de formes linéaires sur le A-module M telles que, pour tout $x\in M$, la famille $(\langle x, x^*_i\rangle )_{i\in I}$ ait un support fini et que l’on ait $x=\sum_{i\in I}\langle x, x^*_i\rangle x_i$ (II, p. 46, prop. 12). Pour tout $i\in I$, l’application $x\rightarrow \langle x, x^*_i\rangle_M$ est une forme linéaire sur le $A_M$-module M, et l’on a $x=\sum_{i\in I}\langle x, x^*_i\rangle_Mx_i$ pour tout $x\in M$. D’après loc. cit., M est un $A_M$-module projectif.

Soit A un anneau et soit M un A-module générateur ; par définition, il existe un entier $n\geqslant 0$, des éléments $x_1, . . . , x_n$ de M et des éléments $x^*_1, . . . , x^*_n$ du dual $M^*$ de M satisfaisant à $\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$. Rappelons (II, p. 77) que l’on définit un homomorphisme de groupes $\theta : M^*\otimes_AM\rightarrow$ End$_A(M)$ par la formule $\theta (x^*\otimes y)(x) =$ $\langle x, x^*\rangle y$. Si $u$ est un élément du bicommutant de M, il commute avec End$_A(M)$; on a donc pour tout $y\in M$

Par suite $u$ appartient à $A_M$, et M est équilibré.

C’est clair si le module est nul, et un module libre non nul est générateur (VIII, p. 76, exemple 2).

Soit M le A-module à droite $A^n_d$. Il est équilibré par le corollaire 1. Par suite, les centres de $A_M, A'_M$ et $A''_M$ coïncident. Le corollaire 2 résulte alors de ce que $A_M$ s’identifie à A et $A'_M$ à $\mathbf{M}_n(A)$.

En effet, un module projectif de type fini M est un $A_M$-module générateur par la prop. 3 de VIII, p. 77. Le corollaire résulte donc de la remarque ci-dessus.

En effet, un module de type fini M sur un anneau principal A est un $A_M$-module générateur (VIII, p. 77, exemple 4).

(i) Il existe un polynôme P dans K[X] tel que $v= P(u)$;

(ii) L’endomorphisme $v$ commute à tout endomorphisme de V qui commute à $u$.

Prenons pour A l’anneau K[X] et pour M le K[X]-module déduit de V et de $u$ (VII, p. 28). L’assertion (i) signifie que $v\in K[X]_M$ et (ii) que $v\in K[X]''_M$. Le corollaire 5 est donc un cas particulier du corollaire 4.

Cela résulte de l’exemple 3 de VIII, p. 77 et de la remarque.

Considérons le A-module $M =\prod_{i\in I}S_i$. Comme I est fini, on a aussi $M =\bigoplus_{i\in I}S_i$ et l’image de $S_i$ dans M est le composant isotypique de type $S_i$ de M. Par suite, les endomorphismes du A-module M sont les applications $(s_i)\rightarrow (s_id_i)$, où $(d_i)_{i\in I}$ parcourt $\prod_{i\in I}D_i$ (VIII, p. 62, prop. 5). Comme I est fini et que, pour tout $i\in I$, le $D_i$-espace vectoriel à droite $S_i$ est de dimension finie, le contremodule de M est de type fini. D’après la prop. 4, le A-module M est équilibré. Or le bicommutant du A-module M se compose des éléments de End$_{\mathbf{Z}}(M)$ de la forme $\prod_{i\in I}u_i$, où $(u_i)\in \prod_{i\in I}$ End$_{D_i}(S_i)$ (VIII, p. 74, prop. 1) puisque End$_{D_i}(S_i)$ est le bicommutant de $S_i$. Le corollaire résulte de là.

Ce corollaire s’applique en particulier lorsque A est une algèbre sur un corps commutatif K et que chacun des $S_i$ est un A-module simple, de dimension finie comme K-espace vectoriel : en effet, $D_i$ contient alors les homothéties $\alpha_{S_i}$, où $\alpha$ parcourt K, et $S_i$ est de dimension finie sur $D_i$ puisqu’il l’est sur K.

En effet, le corps des endomorphismes du A-module S se compose des homothéties $\alpha_S$, avec $\alpha \in K$ (VIII, p. 43, th. 1). On applique alors le corollaire 1 au A-module simple S.

b) Pour tout $\lambda \in \mathscr{S}_M$, le B-module $V_{\lambda}$ est simple et son commutant est égal à $(D_{\lambda})_{V_{\lambda}}$.

c) L’application $\lambda \rightarrow$ cl(V$_{\lambda}$)est une bijection du support du A-module M sur le support de son contremodule.

d) Pour tout $\lambda \in \mathscr{S}_M$, le sous-B-module $M_{\lambda}$ est le composant isotypique de type $V_{\lambda}$ du B-module M et la multiplicité de $V_{\lambda}$ dans M est égale à dim$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$.

e) Pour $s\in S$, notons $\widetilde{s}$ l’application $\varphi \rightarrow \varphi (s)$de $V_{\lambda}=$ Hom$_A(S_{\lambda},M)$dans M. Elle est B-linéaire. L’application $s\rightarrow \widetilde{s}$ de $S_{\lambda}$ dans Hom$_B(V_{\lambda},M)$ainsi définie est un isomorphisme de $(A,D_{\lambda})$-bimodules.

Soit $\lambda \in \mathscr{S}_M$. Notons $E_{\lambda}$ l’anneau End$_{D_{\lambda}}(V_{\lambda})$; comme $V_{\lambda}$ est un $D_{\lambda}$-espace vectoriel non nul, c’est un $E_{\lambda}$-module simple (VIII, p. 41, exemple 3) et son commutant est égal à $(D_{\lambda})_{V_{\lambda}}$ (VIII, p. 78, cor. 1 du th. 2). Comme $E_{\lambda}$ est l’anneau des homothéties du B-module $V_{\lambda}$ (VIII, p. 67, cor. de la prop. 9), cela prouve b).

La description canonique $\alpha_M$ de M définit un isomorphisme $\alpha_{\lambda}$ de $V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$ sur $M_{\lambda}$. Comme $V_{\lambda}$ est un B-module simple, le B-module $V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$ est isotypique de type $V_{\lambda}$ (VIII, p. 57, prop. 1) ; il en est donc de même du B-module $M_{\lambda}$, ce qui prouve a).

D’après la remarque 1 ci-dessus, il existe des éléments $e_{\lambda}$ de B, pour $\lambda$ parcourant $\mathscr{S}_M$, tels que $(e_{\lambda})_{V_{\lambda}}= 1_{V_{\lambda}}$ et $(e_{\lambda})_{V_{\mu}}= 0$ pour $\mu \in \mathscr{S}_M,\mu \not=\lambda$. Les B-modules simples $V_{\lambda}$ sont donc deux à deux non isomorphes, ce qui prouve c) et la première assertion de d). Le B-module $M_{\lambda}$ est isomorphe à $V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$, donc dim$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$ est la multiplicité de $V_{\lambda}$ dans M (II, p. 62, cor. 1).

L’application $\sum_{\lambda\in\mathscr{S}_M}\alpha_{\lambda}$ de $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}_M}V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$ dans M fournit une description (VIII, p. 65, définition 5) du B-module semi-simple M. D’après VIII, p. 66, prop. 8 b), pour tout $\lambda \in \mathscr{S}_M$, l’application de $S_{\lambda}$ dans Hom$_B(V_{\lambda},M)$ décrite en e) est bijective et $D_{\lambda}$-linéaire. Comme elle est manifestement A-linéaire, cela prouve e).

b) Pour tout $\lambda \in \mathscr{S}_M, M_{\lambda}$ est un sous-$(A,B^o)$-bimodule simple de M.

c) Pour tout sous-$(A,B^o)$-bimodule N de M, il existe une unique partie Λ de $\mathscr{S}_M$ tel que N soit égal à $\oplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$.

Soit $\lambda$ dans $\mathscr{S}_M$. Le A-module à gauche $S_{\lambda}$ et le B-module à droite $V_{\lambda}$ sont simples et $D_{\lambda}$ est l’anneau opposé du corps des endomorphismes de $S_{\lambda}$. D’après le cor. 2 de VIII, p. 59, le $(A,B^o$)-bimodule $S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}V_{\lambda}$ est simple et il en est de même de $M_{\lambda}$, qui lui est isomorphe. Cela démontre b) et a) en résulte.

Si $\lambda$ et $\mu$ sont distincts dans $\mathscr{S}_M, M_{\lambda}$ et $M_{\mu}$ ne sont pas isomorphes en tant que A-modules, ni a fortiori en tant que $(A,B^o$)-bimodules. L’assertion c) en résulte d’après le cor. 2 de VIII, p. 63.

b) Munissons les $S_{\lambda}$, pour $\lambda$ parcourant $\mathscr{S}_M$, de la structure de C-module définie par a). Alors l’application canonique $\alpha_M$ de $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}_M}S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}V_{\lambda}$ dans M est un isomorphisme de $(C,B^o)$-bimodules.

c) L’application $c\rightarrow (c_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ est un isomorphisme de C sur $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ End$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$.

Les assertions a) et c) résultent de VIII, p. 66, prop. 9, puisque l’application canonique $\alpha_M$ de $\oplus_{\lambda\in\mathscr{S}_M}(S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}V_{\lambda})$ dans M fournit une description du B-module M (remarque 2). En outre $\alpha_M$ est $(C,B^o$)-linéaire, ce qui prouve b).

b) Pour que le A-module M soit isotypique et non nul, il faut et il suffit que Z soit un corps.

c) Soit Λ une partie de $\mathscr{S}_M$. Notons $e_{\Lambda}$ l’unique élément de Z tel que $(e_{\Lambda})_{S_{\lambda}}= 1_{S_{\lambda}}$ pour $\lambda \in \Lambda$et $(e_{\Lambda})_{S_{\lambda}}= 0$pour $\lambda \in \mathscr{S}_M-\Lambda$. On a $(e_{\Lambda})_{M_{\lambda}}= 1_{M_{\lambda}}$ pour $\lambda \in \Lambda$et $(e_{\Lambda})_{M_{\lambda}}= 0$pour $\lambda \in \mathscr{S}_M-\Lambda$.

d) Si le support $\mathscr{S}_M$ de M est fini, l’application $\Lambda \rightarrow e_{\Lambda}Z$est une bijection de l’ensemble des parties de $\mathscr{S}_M$ sur l’ensemble des idéaux de Z et l’application $\mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{a}M$ est une bijection de l’ensemble des idéaux de Z sur l’ensemble des sous-$(A,B^o)$-bimodules de M. Ces bijections sont des isomorphismes d’ensembles ordonnés. La bijection réciproque associe à un sous $(A,B^o)$-bimodule N de M l’idéal formé des éléments $z$ de Z qui appliquent N dans M.

Pour $\lambda \in \mathscr{S}_M, Z_{\lambda}$ est le centre commun du commutant $D_{\lambda}$ et du bicommutant $C_{\lambda}$ du A-module $S_{\lambda}$. D’après la prop. 7 c) ci-dessus, l’application $c\rightarrow (c_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ est un isomorphisme de C sur $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}C_{\lambda}$. Par restriction aux centres, on obtient l’isomorphisme $z\rightarrow (z_{S_{\lambda}})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ de Z sur$^{^M}\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}Z_{\lambda}$, d’où a).

Pour que l’anneau $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}Z_{\lambda}$ soit un corps, il faut et il suffit que l’ensemble $\mathscr{S}_M$ ait un seul élément, d’où b).

L’assertion c) résulte de la prop. 7 a). Supposons $\mathscr{S}_M$ fini. On déduit de a) et de la prop. 8 de I, p. 104, que l’application $\Lambda \rightarrow e_{\Lambda}Z$ est un isomorphisme d’ensembles ordonnés de $\mathfrak{P}(\mathscr{S}_M)$ sur l’ensemble des idéaux de Z. Soit Λ une partie de $\mathscr{S}_M$. D’après c), on a la relation $e_{\Lambda}$ZM $=e_{\Lambda}M =\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$; Compte tenu de la prop. 6, c) de VIII, p. 81, il ne reste plus qu’à décrire la bijection réciproque. Mais pour que $z\in Z$ applique M dans $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$, il faut et il suffit que l’on ait $z=e_{\Lambda}z$, c’est-à-dire $z\in e_{\Lambda}Z$.

Comme M est un espace vectoriel de dimension finie sur K, somme directe de la famille de sous-modules non nuls $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$, l’ensemble $\mathscr{S}_M$ est fini et chacun des espaces $S_{\lambda}$ pour $\lambda \in \mathscr{S}_M$ est de dimension finie sur K. Le corps K étant algébriquement clos, on a $D_{\lambda}= Z_{\lambda}= K$ (VIII, p. 43, th. 1) et l’application $z\rightarrow (z_{S_{\lambda}})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ est un isomorphisme de Z sur $K^{\mathscr{S}_M}$ (prop. 8, a)). Le corollaire résulte alors de la partie c) de la prop. 8.

(D) Pour toute partie finie F de M, il existe un élément $a$ de A tel que $c$ coïncide avec $a_M$ sur F.

Supposons d’abord que $c$ satisfasse à la condition (D). Soit $u$ un élément de $A'_M$. Soit $x$ un élément de M et appliquons la condition (D) à la partie $F =\{x, u(x)\}$. Il existe un élément $a$ de A tel que $c(x) =ax$ et $c(u(x)) =au(x)$, d’où $u(c(x)) =$ $u(ax) =au(x) =c(u(x))$. Comme $x$ est arbitraire, on a $cu=uc$; ceci valant pour tout $u$, on a $c\in A''_M$.

Pour la réciproque, nous allons utiliser le lemme suivant.

Soit N un sous-A-module de M. Par le cor. 2 de VIII, p. 52 il existe un projecteur $p$ du A-module M d’image N. Comme on a la relation $pb=bp$ pour tout $b\in B$, on obtient que N est un sous-B-module de M.

Terminons la preuve du théorème 3. Supposons que $c$ appartienne à $A''_M$ et soit $F =\{x_1, . . . , x_n\}$ une partie finie de M. Notons $x$ l’élément $(x_1, . . . , x_n)$ de $M^n$. Le A-module $M^n$ est semi-simple et, par la prop. 2 de VIII, p. 75, son bicommutant coïncide avec les homothéties du $A''_M$-module $M^n$. Par le lemme 3, le sous-A-module $Ax$ de $M^n$ est un sous-A$''_M$-module de $M^n$. Soit $a\in A$ tel que $(cx_1, . . . , cx_n)$ soit égal à $ax$. Alors $c$ coïncide avec $a_M$ sur $\{x_1, . . . , x_n\}$, ce qui entraîne la condition (D).