Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des parties $I'$ de I telles que la somme de la famille formée des modules N et $S_i$, pour $i$ dans $I'$, soit directe. L’ensemble $\mathscr{S}$ est de caractère fini : pour qu’une partie J de I appartienne à $\mathscr{S}$, il faut et il suffit qu’il en soit de même de toute partie finie de J. Donc l’ensemble $\mathscr{S}$ possède un élément maximal J (E, III, p. 35). Posons $N'= N +\sum_{j\in J}S_j$. Soit $i$ dans I - J ; comme J est maximal dans $\mathscr{S}$, l’ensemble $J\cup \{i\}$ n’appartient pas à $\mathscr{S}$, de sorte que $S_i\cap N'\not= 0$; comme $S_i$ est un module simple, on a $S_i\cap N'= S_i$. On a donc $S_i\subset N'$ pour tout $i\in I$, d’où $N'= M$. Cela achève la démonstration.

Il suffit d’appliquer le th. 1 au cas où N est nul.

La condition est nécessaire d’après le th. 1.

Réciproquement, supposons que tout sous-module de M admette un supplémentaire. Soit $M'$ la somme des sous-modules simples de M et soit $M''$ un supplémentaire de $M'$ dans M. Supposons qu’on ait $M'\not= M$, d’où $M''\not= 0$. Soit N un sous-module monogène non nul de $M''$. D’après la prop. 3 de VIII, p. 45, il existe un sous-module maximal P de N. Soit Q un sous-module supplémentaire de P dans M. Alors $N\cap Q$ est un sous-module de N, supplémentaire de P dans N, donc isomorphe à $N/P$ (II, p. 20, prop. 13). Par suite $N\cap Q$ est un sous-module simple de $M''$, contrairement à la définition de $M'$.

On a donc $M'= M$ et le module M est semi-simple d’après le cor. 1.

Choisissons J comme dans le th. 1. Le module $N'=\bigoplus_{j\in J}S_j$ est un supplémentaire de N dans M, il est donc isomorphe à $M/N$. De plus, les sous-modules N et $\bigoplus_{i\in I-J}S_i$ de M sont tous deux supplémentaires de $N'$ et donc isomorphes à $M/N'$.

Si M est simple, E est un corps d’après le cor. de la prop. 2 de VIII, p. 43.

Si E est un corps, le module M est indécomposable (VIII, p. 28, prop. 4, a)). Comme il est en outre semi-simple, il est simple.

(i) Il existe un ensemble I tel que M soit isomorphe à $S^{(I)}$;

(ii) Le module M est somme directe d’une famille de sous-modules isomorphes à S ;

(iii) Le module M est somme d’une famille de sous-modules isomorphes à S ;

(iv) Il existe un espace vectoriel à gauche V sur le corps D tel que le A-module M soit isomorphe à $S\otimes_DV$.

L’équivalence de (i) et (ii) est immédiate et celle de (ii) et (iii) résulte du th. 1 de VIII, p. 52 appliqué au cas où N = 0. Tout espace vectoriel à gauche sur D est isomorphe à un espace vectoriel de la forme $D^{(I)}_s$, où I est un ensemble (II, p. 95, th. 1). Comme le produit tensoriel commute aux sommes directes, (i) équivaut à (iv).

La première assertion résulte des définitions, la seconde du cor. 3 de VIII, p. 52.

b) Soit V un espace vectoriel à gauche sur le corps D. L’application D-linéaire $\beta_V: V\rightarrow$ Hom$_A(S,S\otimes_DV)$définie par $\beta_V(v)(s) =s\otimes v$ (VIII, p. 55) est bijective.

Notons $\mathscr{H}(M)$ le D-espace vectoriel à gauche Hom$_A(S,M)$. Le A-module M est par hypothèse somme directe d’une famille de sous-modules isomorphes à S. Le A-module S est monogène ; pour démontrer que l’application $\alpha_M$ est bijective, il suffit donc de considérer le cas où M = S (VIII, p. 56, remarque 3). Or $\mathscr{H}(S)$ n’est autre que le D-espace vectoriel $D_s$ et $\alpha_S$ n’est autre que l’isomorphisme $\iota : S\otimes_DD_s\rightarrow S$ défini par $\iota (s\otimes d) =sd$.

Il suffit de même, pour démontrer b), de considérer le cas où $V = D_s$. Or, comme l’application $\alpha_S$ est bijective, l’application $\beta_{D_s}=\beta_{\mathscr{H}(S)}$ l’est aussi (VIII, p. 56, remarque 2).

a) L’application $W\rightarrow \alpha (S\otimes_DW)$est un isomorphisme d’ensembles ordonnés de $\mathscr{D}_D(V)$sur $\mathscr{D}_A(M)$.

b) L’isomorphisme réciproque fait correspondre à un sous-module N de M le sous-espace vectoriel de V formé des éléments $v$ tels que $\alpha (s\otimes v)$appartienne à N pour tout $s\in S$.

Pour tout $W\in \mathscr{D}_D$(V), posons $\varphi (W) =\alpha (S\otimes_DW)$. Pour tout $N\in \mathscr{D}_A$(M), notons $\psi (N)$ l’ensemble des éléments $v\in V$ tels que $\alpha (s\otimes v)\in N$ pour tout $s\in S$. On définit ainsi deux applications $\varphi :\mathscr{D}_D(V)\rightarrow \mathscr{D}_A(M)$ et $\psi :\mathscr{D}_A(M)\rightarrow \mathscr{D}_D(V)$. Elles sont clairement croissantes.

Soit N un sous-module de M. Il est isotypique de type S (VIII, p. 57, prop. 2). Posons $W =\psi (N)$. D’après la prop. 3, b) de VIII, p. 58, les applications A-linéaires $h: S\rightarrow M$ ne sont autres que les applications $s\rightarrow \alpha (s\otimes v)$, où $v$ parcourt V. Celles dont l’image est contenue dans N sont les applications $s\rightarrow \alpha (s\otimes w)$, où $w$ parcourt W ; leurs images engendrent N, puisque N est isotypique de type S. On a donc $\alpha (S\otimes_DW) = N$, c’est-à-dire $\varphi (\psi (N)) = N$. Cela prouve que $\varphi \circ \psi$ est l’application identique de $\mathscr{D}_A(M)$. En particulier $\varphi$ est surjective et $\psi$ injective.

Pour terminer la démonstration, il suffit de prouver que l’application $\varphi$ est injective. Soient W et $W'$ des sous-espaces vectoriels de V tels que $\varphi (W) =\varphi (W')$. Les espaces vectoriels $S\otimes_DW$ et $S\otimes_DW'$ vus comme sous-espaces vectoriels de $S\otimes_DV$ coïncident. Choisissons une forme linéaire non nulle $f$ sur le D-espace vectoriel S et notons $g: S\otimes_DV\rightarrow V$ l’homomorphisme de groupes défini par $g(s\otimes v) =f(s)v$. On a $W =g(S\otimes_DW) =g(S\otimes_DW') = W'$, d’où l’injectivité de $\varphi$.

a) L’application $N\rightarrow$ Hom$_A(S,N)$est un isomorphisme d’ensembles ordonnés de $\mathscr{D}_A(M)$sur $\mathscr{D}_D$(Hom$_A(S,M)$).

b) La bijection réciproque associe à tout sous-espace vectoriel W de Hom$_A(S,M)$ le sous-module $\sum_{h\in W}h(S)$de M.

C’est une traduction du th. 2, lorsqu’on prend pour $(V, \alpha )$ la description canonique de M.

En effet, d’après le th. 2, tout sous-A-module N de S $\otimes_D V$ est égal à S $\otimes_D W$, où W est le sous-espace vectoriel de V formé des éléments $v$ tels que $s \otimes v$ appartienne à N pour tout $s \in S$.

L’application $f \mapsto \tilde{f}$ de $\operatorname{Hom}_D(V, V')$ dans $\operatorname{Hom}_A(M, M')$ est un isomorphisme de groupes.

Il nous suffit de démontrer que l’application $\mathbf{Z}$-linéaire $u \mapsto 1_S \otimes u$ de $\operatorname{Hom}_D(V, V')$ dans $\operatorname{Hom}_A(S \otimes_D V, S \otimes_D V')$ est bijective. En reprenant les notations du n°3 appliqué au (A, D)-bimodule S, cela revient à montrer que l’application

est bijective. Mais d’après la remarque 1 de VIII, p. 56, comme l’isomorphisme d’adjonction (VIII, p. 54) est bijectif, cela revient à montrer que l’application qui envoie $u$ sur $\beta_{V'} \circ u$ est bijective, ce qui résulte du fait que l’application D-linéaire $\beta_{V'}$ est bijective (VIII, p. 58, prop. 3 b)).

Conservons les notations du th. 3. Soit $M''$ un A-module isotypique de type S et soit $(V'', \alpha'')$ une description de $M''$. Pour tout $f \in \operatorname{Hom}_D(V, V')$ et tout $g$ appartenant à $\operatorname{Hom}_D(V', V'')$, on a $\widetilde{g \circ f} = \widetilde{g} \circ \widetilde{f}$. En particulier, pour $M = M', V = V'$ et $\alpha = \alpha'$, l’application $f \mapsto \tilde{f}$ de $\operatorname{End}_D(V)$ dans $\operatorname{End}_A(M)$ est un isomorphisme d’anneaux.

Compte tenu de la commutativité du diagramme (I) de VIII, p. 55 ce corollaire résulte du th. 3, appliqué aux descriptions canoniques de M et $M'$.

a) Le module M est somme directe de la famille $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$ de ses composants isotypiques.

b) Supposons que M soit somme directe d’une famille $(N_i)_{i\in I}$ de sous-modules simples. Pour tout $\lambda \in \mathscr{S}$, soit $I(\lambda )$l’ensemble des indices $i\in I$tels que $N_i$ soit de classe $\lambda$. On a $M_{\lambda}=\bigoplus_{i\in I(\lambda)}N_i$.

c) Si M est de type fini, l’ensemble des $\lambda \in \mathscr{S}$ tels que $M_{\lambda}\not= 0$est fini.

d) Pour tout sous-module N de M, et tout $\lambda \in \mathscr{S}$, on a $N_{\lambda}= N\cap M_{\lambda}$ et $(M/N)_{\lambda}= (M_{\lambda}+ N)/N$.

Comme M est semi-simple, il est somme de la famille $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$, prouvons que cette somme est directe. Soit $\lambda \in \mathscr{S}$. Notons $M'_{\lambda}$ la somme de la famille $(M_{\mu})_{\mu\in\mathscr{S}-\{\lambda\}}$. Le module $M'_{\lambda}$ est somme directe d’une famille de modules simples non isomorphes à $\lambda$ (VIII, p. 52, th. 1). D’après le cor. 3 du th. 1 de VIII, p. 52, $M'_{\lambda}$ ne contient aucun sous-module simple de classe $\lambda$. On a donc $M_{\lambda}\cap M'_{\lambda}= 0$. L’assertion a) est donc démontrée. Par construction, on a $M_{\lambda}\supset \bigoplus_{i\in I(\lambda)}N_i$, l’assertion b) résulte alors de II, p. 18, remarque 1.

L’assertion c) résulte de a) et de (II, p. 29, prop. 23).

Soit N un sous-module de M et $\lambda \in \mathscr{S}$. Le composant isotypique $N_{\lambda}$ de N est contenu dans $M_{\lambda}$ et $M_{\lambda}\cap N\subset N_{\lambda}$. L’intersection $N\cap M_{\lambda}$ est donc le composant isotypique de type $\lambda$ de N.

Pour tout $\lambda \in S$, le module $M_{\lambda}+ N/N$ est isomorphe à $M_{\lambda}/(M_{\lambda}\cap N)$. Il est donc isotypique de type $\lambda$ et contenu dans $(M/N)_{\lambda}$. La dernière assertion résulte alors de a) et de II, p. 18, remarque 1.

Comme N et $M/N$ sont semi-simple (VIII, p. 52, cor. 3), le corollaire résulte de la prop. 4 d).

On appelle support d’un A-module semi-simple M l’ensemble des classes $\lambda$ de A-modules simples telles que le composant isotypique de M de type $\lambda$ soit non nul. Le support d’un A-module semi-simple de type fini est fini.

a) Soit $f: M\rightarrow N$un homomorphisme. Pour tout $\lambda \in \mathscr{S},f$ induit un homomorphisme $f_{\lambda}$ de $M_{\lambda}$ dans $N_{\lambda}$;si M est semi-simple et $f$ surjectif, chacun des homomorphismes $f_{\lambda}$ est surjectif.

b) Supposons M semi-simple. L’application $f\rightarrow (f_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$ est un isomorphisme de groupes de Hom$_A(M,N)$sur $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ Hom$_A(M_{\lambda},N_{\lambda})$. Lorsque M est égal à N, c’est un isomorphisme d’anneaux de End$_A(M)$sur $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ End$_A(M_{\lambda})$.

Pour tout $\lambda \in \mathscr{S}$, le sous-module $f(M_{\lambda})$ de N est isomorphe à un quotient d’un module isotypique de type $\lambda$; il est donc isotypique de type $\lambda$, et par suite, contenu dans $N_{\lambda}$.

Supposons que M soit semi-simple et $f$ surjectif. Alors $f$ induit un isomorphisme de $M/$ Ker($f$) sur N qui envoie $(M_{\lambda}+$ Ker($f$))$/$ Ker($f$) sur $f(M_{\lambda})$. D’apres la prop. 4 de VIII, p. 61, $N_{\lambda}=f(M_{\lambda})$ ce qui termine la démonstration de a).

L’application considérée dans b) est clairement un homomorphisme de groupes et c’est un homomorphisme d’anneaux lorsque M est égal à N. Soit $(f_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$ un élément de $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ Hom(M$_{\lambda},N_{\lambda}$). Son unique antécédent par l’application de b) est l’homomorphisme $f: M\rightarrow N$ défini par

pour tout $(x_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}\in \bigoplus_{\lambda}M_{\lambda}$.

(i) Il existe un unique sous-module supplémentaire de N dans M ;

(ii) On a Hom$_A(M/N,N) = 0$;

(iii) Il existe une partie Λ de $\mathscr{S}$ telle que $N =\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$.

Choisissons un sous-module $N'$ supplémentaire de N dans M (VIII, p. 52, cor. 2) ; si l’on identifie M à $N'\times N$, les sous-modules de M supplémentaires de N sont les graphes des applications A-linéaires de $N'$ dans N ; comme $N'$ est isomorphe à $M/N$, on a prouvé l’équivalence des propriétés (i) et (ii). D’après la prop. 5, b), le groupe Hom$_A(N',N)$ est isomorphe au groupe $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}$ Hom$_A(N'_{\lambda},N_{\lambda})$. Il est nul si et seulement si, pour tout $\lambda \in \mathscr{S}$, on a $N_{\lambda}= 0$ ou $N'_{\lambda}= 0$ (VIII, p. 57, remarque), c’est-à-dire $N_{\lambda}= 0$ ou $N_{\lambda}= M_{\lambda}$. Cela prouve l’équivalence des conditions (ii) et (iii).

(i) Tout sous-module de M admet un unique sous-module supplémentaire.

(ii) M est somme directe d’une famille $(S_i)_{i\in I}$ de modules simples, deux à deux non isomorphes. Supposons que M vérifie ces conditions. Alors, pour tout sous-module N de M, il existe une unique partie J de I telle qu’on ait $N =\bigoplus_{j\in J}S_j$ et tout sous-module simple de M est égal à l’un des $S_i$.

Chacune des propriétés (i) et (ii) entraîne que M est semi-simple.

Supposons la condition (i) satisfaite. Soit $\lambda \in \mathscr{S}$. D’après l’équivalence de (i) et (iii) dans le cor. 1, tout sous-module de $M_{\lambda}$ est nul ou égal à $M_{\lambda}$. Par suite, $M_{\lambda}$ est nul ou simple et (ii) résulte de ce que M est somme directe de la famille $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}}$.

Inversement, si la condition (ii) est satisfaite, $M_{\lambda}$ est nul ou simple pour tout $\lambda \in \mathscr{S}$; si N est un sous-module de M, alors $N\cap M_{\lambda}$ est égal à 0 ou $M_{\lambda}$ pour tout $\lambda \in \mathscr{S}$; comme on a $N =\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}}(N\cap M_{\lambda})$ (VIII, p. 62, cor.), le sous-module N satisfait à la condition (iii) du cor. 1, donc admet un unique sous-module supplémentaire dans M. Cela prouve que (ii) implique (i), ainsi que les dernières assertions du corollaire.

Soient M un A-module et S un A-module simple. Notons D l’anneau opposé du corps End$_A(S)$ et considérons S comme un $(A$, D)-bimodule. Alors Hom$_A(S,M)$ est un espace vectoriel à gauche sur D et Hom$_A(M,S)$ un espace vectoriel à droite sur D. Le dual du D-espace vectoriel à gauche Hom$_A(S,M)$ est un espace vectoriel à droite sur D (II, p. 40, déf. 2). Pour tout $u\in$ Hom$_A(M,S)$, l’application $h(u) :v\rightarrow u\circ v$ de Hom$_A(S,M)$ dans Hom$_A(S,S) = D$ est une forme linéaire sur le D-espace vectoriel à gauche Hom$_A(S,M)$.

Soient $u\in$ Hom$_A(M,S),v\in$ Hom$_A(S,M)$ et $d\in D$. On a

Cela prouve que l’application $h$ est D-linéaire. Elle n’est autre que l’application donnée par $u\rightarrow$ Hom(1$_S, u$) de Hom$_A(M,S)$ dans Hom$_D$(Hom$_A(S,M)$, Hom$_A(S,S)$). Pour démontrer qu’elle est bijective, il suffit d’après la prop. 5, b) de VIII, p. 62, de traiter le cas où le A-module M est isotypique de type S et on peut alors appliquer le cor. de VIII, p. 60.