Exercice 5, § 12

Soit A une K-algèbre quasi-simple (VIII, p. 116, remarque 2).

a) Démontrer que le $(A$,A)-bimodule $_sA_d$ est simple ; en déduire que le centre Z de A est un corps, isomorphe au commutant de ce bimodule.

b) Soit B une K-algèbre. Démontrer que tout idéal bilatère de $A\otimes B$ est de la forme $A\otimes_Z\mathfrak{b}$, où $\mathfrak{b}$ est un idéal bilatère de B (se ramener au cas Z = K, et utiliser le cor. 2 de VIII, p. 59).

c) En déduire que si A et B sont des K-algèbres quasi-simples dont l’une a pour centre K, l’algèbre $A\otimes B$ est quasi-simple.

d) Soient B une K-algèbre et A une sous-algèbre quasi-simple de B dont le centre Z contient K. Prouver que A et son commutant $A'$ dans B sont linéairement disjoints sur Z (utiliser b)).

e) Soient A une K-algèbre quasi-simple et Z son centre. Soit $\varphi : A\otimes A^o\rightarrow$ End$_Z(A)$ l’homomorphisme qui associe à $a\otimes b$ l’endomorphisme $x\rightarrow axb$. Démontrer que $\varphi$ est injectif et que son image H est une algèbre quasi-simple (utiliser c) et d)). Démontrer de plus que H est dense dans End$_Z(A)$ (VIII, p. 125, exerc. 3) ; pour que H = End$_Z$(A), il faut et il suffit que A soit de dimension finie sur Z (cf. VIII, p. 124, exerc. 2).

f ) Soit A une algèbre semi-simple de centre K. Déduire de e) que pour que la K-algèbre $A\otimes A^o$ soit semi-simple, il faut et il suffit que A soit de rang fini sur K (cf. VIII, p. 233, th. 2).