Bài tập 5, § 12

Cho A là một đại số tựa đơn trên K (VIII, p. 120, Nhận xét 2).

a) Chứng minh rằng $(A$, A)-song môđun $_sA_d$ là đơn; suy ra rằng tâm Z của A là một trường, đẳng cấu với hoán tập của song môđun này.

b) Cho B là một đại số trên K. Chứng minh rằng mọi iđêan hai phía của $A\otimes B$ đều có dạng $A\otimes_Z\mathfrak{b}$, trong đó $\mathfrak{b}$ là một iđêan hai phía của B (rút gọn về trường hợp Z = K, và dùng Hệ quả 2 của VIII, p. 63).

c) Suy ra rằng nếu A và B là các đại số tựa đơn trên K mà một trong hai có tâm K, thì đại số $A\otimes B$ là tựa đơn.

d) Cho B là một đại số trên K và A là một đại số con tựa đơn của B có tâm Z chứa K. Chứng minh rằng A và hoán tập $A'$ của nó trong B là độc lập tuyến tính trên Z (dùng b)).

e) Cho A là một đại số tựa đơn trên K và Z là tâm của nó. Cho $\varphi : A\otimes A^o\rightarrow$ End$_Z(A)$ là đồng cấu gửi $a\otimes b$ tới tự đồng cấu $x\mapsto axb$. Chứng minh rằng $\varphi$ là đơn ánh và ảnh H của nó là một đại số tựa đơn (dùng c) và d)). Hơn nữa, chứng minh rằng H trù mật trong End$_Z(A)$ (VIII, p. 129, Bài tập 3); ta có H = End$_Z(A)$ khi và chỉ khi A là hữu hạn chiều trên Z (xem VIII, p. 128, Bài tập 2). f ) Cho A là một đại số nửa đơn có tâm K. Suy ra từ e) rằng đại số trên K $A\otimes A^o$ là nửa đơn khi và chỉ khi A có hạng hữu hạn trên K (xem VIII, p. 238, Định lý 2).