(1) $e(v''/v) = e(v''/v')e(v'/v)$, $f(v''/v) = f(v''/v')f(v'/v)$.

C’est évident.

(2) $e(v'/v)f(v'/v) \leq n;$

en particulier $e(v'/v)$ et $f(v'/v)$ sont finis.

En effet, prenons des entiers naturels $r$ et $s$ respectivement inférieurs à $e(v'/v)$ et $f(v'/v)$. Il suffit de montrer qu’on a $rs \leq n$. Vu la définition de $r$, il existe des éléments $x_i$ de $L$ ($1 \leq i \leq r$) tels que $v'(x_i) \equiv v'(x_j)$ (mod. $\Gamma_v$) pour $i \neq j$. Vu la définition de $s$, il existe des éléments $y_k$ ($1 \leq k \leq s$) de l’anneau $A'$ de $v'$ dont les images canoniques $\overline{y}_k$ dans $\kappa(A')$ sont linéairement indépendantes sur $\kappa(A)$; on a évidemment $v'(y_k) = 0$ pour tout $k$. Nous allons montrer que les $rs$ éléments $x_iy_k$ sont linéairement indépendants sur $K$, ce qui établira bien l’inégalité $rs \leq n$.

Supposons donc qu’il existe une relation linéaire non triviale de la forme

(3)

Choisissons les indices $j, m$ de sorte que

pour tout couple $(i, k)$; on a alors $a_{jm} \neq 0$. Si $i \neq j$, on ne peut avoir $v'(a_{ik} x_i y_k) = v'(a_{jm} x_j y_m)$ car ceci entraînerait contrairement au choix des $x_i$. En multipliant (3) par $(a_{jm} x_j)^{-1}$, on obtient une relation de la forme et $v'(b_k) \geq 0,\ v'(z) > 0$. D’où, dans $\kappa(A')$, une relation de la forme $\sum_k \overline{b_k} \overline{y_k} = 0$. Comme $b_m = 1$, ceci contredit l’hypothèse faite sur $y_k$.

Soit en effet $(L_\alpha)$ la famille des sous-extensions de degré fini de L; posons $\Gamma_\alpha = v'(L_\alpha^*)$. Le groupe $\Gamma_{v'}$ est réunion de la famille filtrante croissante formée par les $\Gamma_\alpha$; comme les groupes $\Gamma_\alpha/\Gamma_v$ sont finis (lemme 2), $\Gamma_{v'}/\Gamma_v$ est un groupe de torsion. On raisonne de même pour prouver que $\kappa(A')$ est une extension algébrique de $\kappa(A)$.

Ceci résulte en effet de la prop. 1 et du lemme suivant:

Il est clair que $H' \in \mathfrak{S}'$ implique $H' \cap G \in \mathfrak{S}$. Soit maintenant $H \in \mathfrak{S}$; notons $H'$ l’ensemble des $x' \in G'$ tels qu’il existe $h \in H$ vérifiant $-h \leq x' \leq h$; on vérifie aussitôt que $H'$ est un sous-groupe isolé de $G'$; on a $H' \cap G = H$ puisque $H$ est isolé; donc l’application $H' \to H' \cap G$ est surjective. Supposons enfin que $G'/G$ soit un groupe de torsion; soient $H'_1$ et $H'_2$ deux sous-groupes isolés de $G'$ tels que $H'_1 \cap G = H'_2 \cap G$; on a, par exemple, $H'_1 \supset H'_2$ (cf. , n° 4); alors $H'_1/H'_2$ est un groupe totalement ordonné, et est isomorphe à un groupe quotient de $H'_1/(H'_1 \cap G)$ qui lui-même s’identifie à un sous-groupe de $G'/G$; donc $H'_1/H'_2$ est un groupe de torsion, et se réduit par conséquent à 0

C.Q.F.D.

Si $v'$ est discrète, $\Gamma_v$ est isomorphe à un sous-groupe non nul de $\mathbf{Z}$ (cor. 2), donc à $\mathbf{Z}$. Réciproquement, si $v$ est discrète, $\Gamma_v$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$, et $\Gamma_{v'}/\Gamma_v$ est un groupe fini (lemme 2); donc $\Gamma_{v'}$ est un groupe commutatif de type fini, de rang 1, et sans torsion; par conséquent il est isomorphe à $\mathbf{Z}$.

a) Soit $v'$ une valuation de $L$ prolongeant $v$; notons $\hat{L}_{v'}$ le complété de $L$ pour $v'$ et $\hat{v}'$ le prolongement continu de $v'$ à $\hat{L}_{v'}$; en identifiant $\hat{K}$ à l’adhérence de $K$ dans $\hat{L}_{v'}$, on a

b) Tout ensemble de valuations deux à deux indépendantes de L prolongeant une valuation non impropre $v$ est fini. Notons $v'_1, \ldots, v'_s$ des valuations deux à deux indépendantes de L prolongeant $v$, telles que toute valuation de L prolongeant $v$ soit dépendante de l’une des $v'_i$; soient $L_i$ le corps L muni de la topologie définie par $v'_i$, $\hat{L}_i$ son complété; posons $n_i = [\hat{L}_i : \hat{K}]$. Alors l’application canonique $\varphi : \hat{K} \otimes_K L \to \prod_{i=1}^s \hat{L}_i$ (prolongeant par continuité l’application diagonale $L \to \prod_{i=1}^s L_i$) est surjective, son noyau est le radical de $\hat{K} \otimes_K L$, et l’on a

(7)

Démontrons d’abord a). On peut supposer $v$ non impropre. Comme $v$ et $\hat{v}$ (resp. $v'$ et $\hat{v}'$) ont même groupe des ordres et même corps résiduel (§ 5, no 3, prop. 5, b) et f)), (4) est vraie. On en déduit (6) au moyen du lemme 2. Enfin le sous-$\hat{K}$-espace vectoriel de $\hat{L}_{v'}$ engendré par L est fermé (§ 5, no 2, cor. de la prop. 4) et partout dense, donc égal à $\hat{L}_{v'}$; ceci démontre (5).

Passons à b). On peut encore supposer $v$ non impropre. Soit $(v'_1, \ldots, v'_r)$ une famille finie quelconque de valuations deux à deux indépendantes de L prolongeant $v$. L’image de L dans $\prod_{i=1}^r L_i$ par l’application diagonale est partout dense (§ 7, no 2, th. 1) et $\prod_{i=1}^r L_i$ est dense dans $\prod_{i=1}^r \hat{L}_i$. Donc l’image canonique de $\hat{K} \otimes_K L$ dans $\prod_{i=1}^r \hat{L}_i$ est partout dense. D’autre part cette image est un sous-$\hat{K}$-espace vectoriel de $\prod_{i=1}^r \hat{L}_i$; comme $\prod_{i=1}^r \hat{L}_i$ est de dimension finie sur $\hat{K}$ d’après (5), l’image de $\hat{K} \otimes_K L$ est fermée (§ 5, no 2, cor. de la prop. 4), donc égale à $\prod_{i=1}^r \hat{L}_i$. Comme la dimension de $\hat{K} \otimes_K L$ sur $\hat{K}$ est $n$, on a $\sum_{i=1}^r n_i \leq n$. Ceci montre en particulier que l’entier $r$ est majoré par $n$, et démontre la première assertion de b).

Prenons maintenant $(v'_1, \ldots, v'_s)$ comme dans l’énoncé. La surjectivité de $\varphi : \hat{K} \otimes_K L \to \prod_{i=1}^s \hat{L}_i$ et la relation (7) ont déjà été démontrées. Il reste à vérifier que le noyau $n$ de $\varphi$ est le radical $r$ de $\hat{K} \otimes_K L$. Comme $\prod_{i=1}^s \hat{L}_i$ est semi-simple, on a $r \subset n$. D'autre part, pour tout idéal maximal $m$ de $\hat{K} \otimes_K L$, le corps quotient $L(m) = (\hat{K} \otimes_K L)/m$ est une extension composée de $\hat{K}$ et $L$ sur $K$ (Alg., chap. VIII, , prop. 1). Il existe une valuation $w$ de $L(m)$ prolongeant $\hat{v}$ (§ 3, no 3, prop. 5); la restriction $v'$ de $w$ à $L$ prolonge $v$. Comme $[L(m) : \hat{K}]$ est fini, $L(m)$ est complet pour $w$ (§ 5, no 2, prop. 4). Or l’adhérence de $L$ dans $L(m)$ est un corps contenant $\hat{K}$ et $L$, donc est égale à $L(m)$. Par conséquent $L(m)$ s’identifie au complété $\hat{L}_{v'}$, et $m$ est le noyau de l’application canonique de $\hat{K} \otimes_K L$ sur $\hat{L}_{v'}$. Or, par hypothèse il existe un indice $i$ tel que $v'$ et $v'_i$ soient dépendantes; d’où $\hat{L}_{v'} = \hat{L}_i$ (§ 7, no 2, prop. 3). Ainsi on a $n \subset m$, ce qui prouve qu’on a $n \subset r$, et achève la démonstration

Le théorème étant trivial si $v$ est impropre, nous supposerons $v$ non impropre. Soit $(v'_1, \ldots, v'_s)$ une famille finie quelconque de valuations deux à deux inéquivalentes de L prolongeant $v$.

Nous allons d’abord prouver que $\sum_{i=1}^s e(v'_i/v)f(v'_i/v) \leq n$. Ceci démontrera a) et b).

Nous raisonnons par récurrence sur s, et supposerons donc notre inégalité établie dans le cas de 0, 1, ..., s—1 valuations. Nous distinguons 2 cas.

1) Supposons qu’il existe au moins deux valuations $v'_i$ indépendantes. Il existe alors (§ 7, no 2, Remarque 1), une partition $\{1, s\} = I_1 \cup \cdots \cup I_t$ de $\{1, s\}$ telle que : (i) pour que $v'_i$ et $v'_j$ soient dépendantes, il faut et il suffit que i et j appartiennent à un même $I_k$; (ii) Card$(I_k) < s$ pour tout k.

Choisissons dans chaque $I_k$ un indice $i(k)$. Notons $\hat{L}_{i(k)}$ le complété de L pour $v'_{i(k)}$, et posons $n(k) = [\hat{L}_{i(k)} : \hat{K}]$. Pour tout $i \in I_k$, $v'_i$ définit sur L la même topologie que $v'_{i(k)}$ (§ 7, no 2, prop. 3)), donc se prolonge en une valuation $\hat{v}'_i$ de $\hat{L}_{i(k)}$ dont la restriction à $\hat{K}$ est $\hat{v}$. Puisque les $v'_i$ pour $i \in I_k$ sont deux à deux inéquivalentes, il en est de même des $\hat{v}'_i$. L’hypothèse de récurrence appliquée au couple $(\hat{K}, \hat{L}_{i(k)})$ montre, en vertu de la prop. 2, a), formule (4), que l’on a $\sum_{i \in I_k} e(v'_i/v)f(v'_i/v) \leq n(k)$. Comme $\sum_{k=1}^t n(k) \leq n$ (prop. 2, b), formule (7)), on a bien $\sum_{i=1}^s e(v'_i/v)f(v'_i/v) \leq n$.

2) Passons au cas où deux quelconques des $v'_i$ sont dépendantes. Soit $A'_i$ l’anneau de $v'_i (1 \leq i \leq s)$; en notant A l’anneau de $v$, on a $A'_i \cap K = A$ pour tout i. Soit B' le sous-anneau de L engendré par $A'_1, \ldots, A'_s$; posons $B = B' \cap K$: on a $B \supset A$. Alors B est l’anneau d’une valuation $w$ de $K$, et $B'$ l’anneau d’une valuation non impropre $w'$ de $L$ prolongeant $w$ ($§ 7$, n° 2, prop. 4); le corps $\kappa(B')$ est une extension de degré $f(w'/w)$ de $\kappa(B)$. Considérons les images canoniques $\overline{A'_i}$, $\overline{A}$ de $A'_i$ et $A$ dans $\kappa(B')$; alors $\overline{A}$ est l’anneau d’une valuation $\bar{v}$ de $\kappa(B)$, et les $\overline{A'_i}$ sont les anneaux de valuations $\bar{v}'_i$ de $\kappa(B')$ prolongeant $\bar{v}$. Comme les $A'_i$ engendrent $B'$, les $\overline{A'_i}$ engendrent $\kappa(B')$, donc les $\bar{v}'_i$ ne sont pas toutes dépendantes ($§ 7$, n° 2, prop. 4). D’après la première partie de la démonstration, on a

donc

La démonstration de a) et b) sera donc terminée si nous prouvons que l’on a

Remarquons, pour cela, que $v$ et $\bar{v}$ (resp. $v'_i$ et $\bar{v}'_i$) ont même corps résiduel ($§ 4$, n° 1, cor. de la prop. 2); ceci prouve la première égalité. Pour la seconde on a, en vertu de la Remarque du $§ 4$, n° 3, le diagramme commutatif suivant, où les lignes sont des suites exactes, et où les flèches verticales représentent les injections canoniques:

On en déduit, ce qui démontre la seconde formule (8), qu’on a une suite exacte

en vertu du chap. I, $§ 1$, n° 4, prop. 2.

Pour terminer la démonstration du th. 1, il reste à prouver c). Si l’anneau de $v'_i$ contient celui de $v'_j$, $\Gamma_{v_i'}$ s’identifie à un groupe quotient $\Gamma_{v_j'}/H$, $H$ étant un sous-groupe isolé ($§ 4$, n° 3). Comme l’application canonique composée $\Gamma_{v} \to \Gamma_{v_j'} \to \Gamma_{v_j'}/H = \Gamma_{v_i'}$ est injective, on a $H \cap \Gamma_{v} = \{0\}$, d’où $H = \{0\}$ (lemme 3, n° 1). Alors $v'_i$ et $v'_j$ sont équivalentes, d’où $i = j$.

Dans le premier cas, soit x un élément $> 0$ de G. L’ensemble des $y \in G$ tels que $0 < y < x$ est infini, donc il existe deux éléments de cet ensemble qui sont distincts et congrus modulo H; leur différence est un élément z ’de H tel que $0 < z < x$. Donc tout sous-ensemble majeur qui contient tous les éléments strictement positifs de H contient x, donc tous les éléments $> 0$ de G.

Dans le second cas, soit x le plus petit élément $> 0$ de G, et soit n le plus petit entier $> 0$ tel que $nx \in H$. Il est clair que $n = (G' : (G' \cap H))$. D’autre part, en notant M(y) l’ensemble des $z \in G$ tels que $y \leq z (y \in G)$, on voit aussitôt que les ensembles majeurs de la déf. 4 ne sont autres que M(x), M(2x), ..., M(nx).

C.Q.F.D.

Les idéaux de A' contenant mA' et distincts de A' correspondent en effet aux sous-ensembles majeurs de Γ_w formés d’éléments > 0 et contenant les éléments > 0 de Γ_v (§ 3, n° 5, cor. de la prop. 7). Ils sont donc en nombre égal à ε(w/v), et, comme ils forment un ensemble totalement ordonné par inclusion, ce nombre est égal à la longueur de l’anneau quotient A'/mA'. Or un module de longueur 1 sur A' est un espace vectoriel de dimension 1 sur A'/m', donc un module de longueur f(w/v) sur A; donc, comme A'/mA' est de longueur ε(w/v) sur A', il est de longueur ε(w/v)f(w/v) sur A, c’est-à-dire sur A/m. C.Q.F.D.

Soit A_i l’anneau de v'_i; on a A_i = B_{m_i}, où m_i parcourt la famille des idéaux maximaux de B (n° 3, Remarque). Soit q_i le saturé de mB par rapport à m_i (Chap. II, § 2, n° 4). D’après le Chap. V, cor. 3 de la prop. 1, n° 1, § 2, l’homomorphisme canonique B/mB → $\prod_{i=1}^s B/q_i$ est un isomorphisme, et m_i est le seul idéal maximal de B contenant q_i. Donc B/q_i est canoniquement isomorphe à (B/q_i)_{m_i} (Chap. II, § 3, n° 3, prop. 8), c’est-à-dire à $B_{m_i}/mB_{m_i} = A_i/mA_i$. On a donc un isomorphisme canonique $B/mB \to \prod_{i=1}^s A_i/mA_i$, d’où le résultat en vertu de la prop. 4 du no 4.

On sait en effet qu’on a $\varepsilon(v'_i/v) \leq e(v'_i/v)$ (no 4, cor. de la prop. 3) et $\sum_{i=1}^s e(v'_i/v)f(v'_i/v) \leq n$ (no 3, th. 1).

a) B est un A-module de type fini; b) B est un A-module libre; c) on a $[B/mB : A/m] = n;$ d) on a $\sum_{i=1}^n e(v'_i/v)f(v'_i/v) = n,$ et $\varepsilon(v'_i/v) = e(v'_i/v)$ pour tout i.

L’équivalence de a) et b) résulte du lemme 1, § 3, no 6. Il est clair que b) implique c) (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 5, formule (19)). L’équivalence de c) et d) résulte du cor. de la prop. 5. Reste à voir que c) implique b).

De façon générale, si M est un A-module, nous noterons V(M) l’espace vectoriel $M/mM$ sur $A/m$. L’hypothèse c) signifie que $\dim(V(B)) = n$. Soient $x_1, \ldots, x_n$ des éléments de B dont les images canoniques dans V(B) forment une base de V(B), et soit $L \subset B$ le sous-A-module qu’ils engendrent. Comme L est sans torsion et de type fini, il est libre (§ 3, no 6, lemme 1). Nous allons voir que $B = L$. Soit $y \in B$; posons $M = L + Ay$; c’est encore un A-module libre. Les injections canoniques $L \to M \to B$ donnent des homomorphismes canoniques $V(L) \to V(M) \to V(B)$. Comme les rangs de L et M sont $\leq n$, il en est de même des dimensions de V(L) et V(M). Or, par hypothèse, $V(L) \to V(B)$ est surjectif, et V(B) est de dimension $n$, donc V(L) et V(M) sont de dimension $n$, et $V(L) \to V(M)$ est surjectif. Comme M est de type fini, $L \to M$ est surjectif (Chap. II, § 3, no 2, cor. 1 de la prop. 4), d’où $L = M, \ y \in L$ et $B = L$. Donc B est libre.

C.Q.F.D.

En effet la fermeture intégrale $B$ de $A$ est alors un $A$-module libre de rang $n$, puisque $A$ est principal (Chap. V, § 1, no 6, cor. 2 de la prop. 18).

En effet, tous les prolongements de $v$ à $\mathbf{L}$ sont dépendants (no 2, cor. de la prop. 2); puisqu’ils sont discrets (no 1, cor. 3 de la prop. 1), ils sont par conséquent équivalents ($§ 4$, no 5, prop. 6, c)). Ceci démontre l’unicité de $v'$. La fermeture intégrale de $A$ dans $\mathbf{L}$ est donc $A'$ ($§ 1$, no 3, cor. 3 du th. 3). Comme $v$ est discrète, la topologie induite sur $A$ par celle de $K$ est la topologie $m$-adique (où $m = m(A)$); l’anneau $A$ est complet, car il est fermé dans $K$. On en conclut que, puisque $A'/mA'$ est un $(A/m)$-espace vectoriel de dimension finie (no 4, prop. 4), $A'$ est un $A$-module de type fini (chap. III, § 2; no 9, cor. 3 de la prop. 12). Il est donc libre et l’on a $e(v'/v)f(v'/v) = n$ en vertu du th. 2.

(no 2, prop. 2) est bijectif. Pour tout $x \in \mathbf{L}$, le polynôme caractéristique $\mathrm{Pc}_{L/K}(x; X)$ est égal au produit des polynômes caractéristiques $\mathrm{Pc}_{\hat{L}_i/\hat{K}}(x; X)$ ($1 \leq i \leq s$); en particulier, on a

(La dernière relation (9) a un sens, car on peut évidemment supposer que les $v_i'$, qui sont de hauteur 1 en vertu du cor. 2 de la prop. 1 du no 1, prennent, ainsi que $v$, leurs valeurs dans un sous-groupe de $\mathbf{R}$.

Comme les $v_i'$ sont deux à deux inéquivalentes et de hauteur 1, elles sont indépendantes, et la prop. 2 du no 2 montre donc que l’on a $e(v_i'/v)f(v_i'/v) \leq n_i$ pour tout $i$, et $\sum_{i=1}^s n_i \leq n$. La première assertion résulte donc de ces inégalités et de la relation $\sum_{i=1}^s e(v_i'/v)f(v_i'/v) = n$. Par l’isomorphisme $\varphi$, l’endomorphisme $z \to z(1 \otimes x)$ de $\hat{K} \otimes_K L$ (pour $x \in L$) se transporte en l’endomorphisme de $\prod_{i=1}^s \hat{L}_i$ laissant stable chacun des facteurs et se réduisant dans chaque facteur à la multiplication par $x$ (L étant plongé canoniquement dans son complété $\hat{L}_i$); d’où l’assertion relative au polynôme caractéristique de $x$ et les deux premières formules (9). Enfin, soit E une extension quasi-galoisienne de $\hat{K}$ de degré fini, contenant $\hat{L}_i$; comme $\hat{K}$ est complet et $\hat{v}$ de hauteur 1, il n’existe (à une équivalence près) qu’une seule valuation $v$ sur E prolongeant $\hat{v}$ (no 2, cor. 1 de la prop. 2); pour tout $\hat{K}$-automorphisme $\sigma$ de E, on a donc $v(\sigma(x)) = v_i'(x)$. Par suite $\hat{v}(\mathrm{N}_{\hat{L}_i/\hat{K}}(x)) = n_i v_i'(x)$ (Alg., chap. VIII, § 12, no 2, formule (15)), ce qui prouve la troisième formule (9).

Il est clair que $\hat{L}_i = \hat{K}(L)$; donc, si $L$ est séparable sur $K$, $\hat{L}_i$ l’est sur $\hat{K}$ (Alg., chap. V, , no 6, prop. 10). Supposons maintenant $L$ galoisienne. Tout automorphisme $\sigma \in G_i$ est continu dans $L$ pour la topologie définie par $v'_i$, le fait que les idéaux des $v'_i$ sont deux à deux non comparables par inclusion ($\S 7$, no 2, cor. 1 du th. 1) entraînant nécessairement que $v'_i = v'_i \circ \sigma$ par définition de $G_i$; donc $\sigma$ peut se prolonger par continuité en un $\hat{K}$-automorphisme $\hat{\sigma}$ de $\hat{L}_i$. Cela prouve que le nombre de $\hat{K}$-automorphismes de $\hat{L}_i$ est au moins égal à Card$(G_i)$. Mais comme les valuations $v'_i$ sont deux à deux conjuguées par $G$ (chap. V, § 2, no 3, prop. 6), on a $s = (G : G_i)$, d’où

et d’autre part $n = sn_i$ en vertu du cor. 3; cela prouve que $\hat{L}_i$ est une extension galoisienne de $\hat{K}$ et que les prolongements par continuité des automorphismes $\sigma \in G_i$ sont les seuls $\hat{K}$-automorphismes de $\hat{L}_i$.