Nous utiliserons le lemme suivant :

Par récurrence sur $n$, on se ramène à prouver le lemme pour $n = 1$. Alors $x^p - y^p = (x - y)(x^{p-1} + x^{p-2}y + \cdots + y^{p-1})$; le second facteur est une somme de $p$ termes, deux à deux congrus mod. $m$, et comme $A/m$ est de caractéristique $p$, on a $p.1 \in m$ dans $A$, donc on a $x^{p-1} + x^{p-2}y + \cdots + y^{p-1} \in m$; d’où $x^p - y^p \in m^{j+1}$.

On sait que le groupe multiplicatif $(A/m)^*$ est un groupe cyclique ayant $q - 1$ éléments (Alg., chap. V, § 11, no 1, th. 1); soit $x$ un représentant dans $A$ d’un générateur de ce groupe; on a donc $x^q - x \in m$, d’où, en vertu du lemme 1, $x^{q^{n+1}} - x^{q^n} \in m^{1+jn}$, puisque $x^q$ et $x$ sont permutables. Cela prouve que $(x^{q^n})_{n \geq 0}$ est une suite de Cauchy dans $A$; comme $A$ est compact, donc complet, cette suite a une limite $s$ dans $A$, qui est évidemment telle que $s \equiv x$ (mod. $m$) et $s^q = s$. Comme $s \neq 0$, on a $s^{q-1} = 1$, plus précisément $s$ est une racine primitive $(q-1)$-ème de l’unité dans $A$. Il est clair que l’ensemble $S$, formé de $0$ et des puissances $s^j (0 \leq j \leq q-2)$ est un système de représentants des classes de $A$ mod. $m$, et est stable pour la multiplication dans $A$.

Soit maintenant $a$ une uniformisante pour $v$, et considérons l’automorphisme intérieur $y \to a^{-1}ya$ de $K$; il transforme $A$ en lui-même, $m$ en lui-même, donc, par passage aux quotients, il définit un automorphisme du corps $A/m$; on sait (Alg., chap. V, , n° 4, prop. 5) qu’un tel automorphisme est de la forme $z \to z^{p^r}$ avec $0 \leq r \leq f - 1$. On a donc $a^{-1}s^j a \equiv s^{jp^r} (\mathrm{mod.}\ m)$ pour $0 \leq j \leq q - 2$; comme $a \in m$ et $s \notin m$, cela entraîne $s^{-j} a s^{jp^r} \equiv a \ (\mathrm{mod.}\ m^2)$

Posons

On a $u \equiv (q - 1)a \equiv -a \ (\mathrm{mod.}\ m^2)$ puisque $p.1 \in m$; on en conclut que $u$ est aussi une uniformisante pour $v$; en outre on a

Enfin, pour tout $x \in A$ il existe une suite $(s_i) \quad (i \in \mathbf{N})$ et une seule telle que $s_i \in S$ pour tout $i$ et $x \equiv \sum_{i=0}^n s_i u^i \ (\mathrm{mod.}\ m^{n+1})$ pour tout $n \geq 0$: c’est immédiat par récurrence sur $n$, tout élément $t$ de $m^{n+1}$ vérifiant une relation de la forme $t \equiv t' u^{n+1} \ (\mathrm{mod.}\ m^{n+2})$, où $t'$ est un élément de $S$ déterminé de façon unique. On a donc $x = \sum_{i=0}^\infty s_i u^i$ et la famille $(s_i)$ vérifiant cette relation et telle que $s_i \in S$ pour tout $i$ est déterminée de façon unique.

(i) Si K est de caractéristique 0 et si mod_K n’est pas une valeur absolue ultramétrique, alors K est isomorphe à l’un des corps R, C ou H.

(ii) Si K est de caractéristique 0 et si mod_K est une valeur absolue ultramétrique, K est une algèbre de rang fini sur un corps p-adique Q_p.

(iii) Si K est de caractéristique p ≠ 0, il est isomorphe à un corps ayant pour centre un corps de séries formelles F_q((T)) (où q est une puissance de p), et de rang fini sur son centre.

(i) Il résulte du th. d’Ostrowski (§ 6, no 4, th. 2) que K est un corps topologique isomorphe à un sous-corps partout dense de R, C ou H, et comme K est complet il est isomorphe à R, C ou H.

(ii) Soient A l’anneau de la valeur absolue mod_K, m son idéal maximal. On sait que A/m est un corps fini (§ 5, no 1, prop. 2), donc la valeur absolue induite par mod_K sur Q a un corps résiduel fini, ce qui n’est possible que si elle est équivalente à une valeur absolue p-adique (§ 6, no 3, prop. 4); l’adhérence de Q dans K est par suite isomorphe à Q_p et est contenue dans le centre de K puisque ce dernier est fermé dans K; on conclut par la prop. 2 du no 1.

(iii) La seconde assertion résulte de la première et du cor. de la prop. 2 du no 1. Pour démontrer la première assertion, notons que mod_K est nécessairement une valeur absolue ultramétrique (§ 6, no 2, cor. de la prop. 3); avec les notations de la démonstration de la prop. 3 du no 2, le centre Z de K est formé des éléments permutable à la fois à s et à u; mais en vertu de (3), on a u^{-1}s u = s^{p'} d’où

de sorte que u^q \in Z, et l’on en conclut que Z n’est pas discret. Comme Z est localement compact, on voit qu’on est ramené au cas où K est commutatif. La sous-F_p-algèbre F_p[s] dans K est alors un corps fini puisque s^{q-1} = 1, et l’on a évidemment y^q = y pour tout élément de ce corps, qui est donc identique à S et isomorphe à F_q puisque S \subset F_p[s] a q éléments. La somme de deux éléments de S étant dans S, l’application qui, à toute série formelle

fait correspondre l’élément

est un homomorphisme bijectif de l’anneau F_q[[T]] sur l’anneau A, d’où aussitôt la conclusion.

En effet, si la topologie d’un corps $K$ est définie par une valeur absolue ultramétrique, $K$ est totalement discontinu pour cette topologie.