Điều này suy ra từ § 6, no. 1, Mệnh đề 1, § 5, no. 1, Mệnh đề 2 và Tích phân, Chương VII, § 1, no. 10, các Mệnh đề 12 và 13.

Tâm $Z$ của một trường compact địa phương $K$ là đóng trong $K$ và do đó compact địa phương.

Nói chung người ta biết rằng trong một không gian vectơ (trái hoặc phải) số chiều hữu hạn $n$ trên $K$, phép vị tự với tỷ số $x \in K$ có môđun bằng $(\mathrm{mod}_K(x))^n$; chỉ cần áp dụng điều này cho $K'$.

Ta sẽ dùng bổ đề sau:

Quy nạp theo $n$, ta quy về việc chứng minh bổ đề cho $n = 1$. Khi đó

nhân tử thứ hai là một tổng gồm $p$ số hạng đồng dư với nhau mod. $m$ và, vì $A/m$ có đặc số $p$, ta có $p \cdot 1 \in m$ trong $A$ và do đó

do đó $x^p - y^p \in m^{j+1}$.

Ta biết rằng nhóm nhân $(A/m)^*$ là một nhóm cyclic có $q - 1$ phần tử (Algebra, Chương V, § 11, no. 1, Định lý 1); lấy $x$ là một đại diện trong $A$ của một phần tử sinh của nhóm này; khi đó $x^q - x \in m$, do đó, theo Bổ đề 1, $x^{q^{n+1}} - x^{q^n} \in m^{1+fn}$, vì $x^q$ và $x$ giao hoán với nhau. Điều này chứng minh rằng $(x^{q^n})_{n \geq 0}$ là một dãy Cauchy trong $A$; vì $A$ compact và do đó đầy đủ, dãy này có một giới hạn trong $A$; giới hạn đó hiển nhiên thỏa mãn $s \equiv x \pmod{m}$ và $s^q = s$. Vì $s \neq 0$, ta có $s^{q-1} = 1$; chính xác hơn, $s$ là một primitive $(q-1)$*-th root of unity* trong $A$. Rõ ràng tập hợp $S$ gồm $0$ và các lũy thừa $s^j \ (0 \leq j \leq q-2)$ là một hệ đại diện của các lớp của $A$ mod. $m$ và là bất biến đối với phép nhân trong $A$.

Bây giờ lấy $a$ là một phần tử sinh cho $v$ và xét tự đẳng cấu trong $y \mapsto a^{-1}ya$ của $K$; nó biến $A$ thành chính nó, $m$ thành chính nó và do đó, lấy thương, nó xác định một tự đẳng cấu của trường $A/m$; người ta biết (Algebra, Chương V, § 11, no. 4, Mệnh đề 5) rằng một tự đẳng cấu như vậy có dạng $z \mapsto z^{p^r}$, trong đó $0 \leq r \leq f-1$. Khi đó $a^{-1}s^j a \equiv s^{jp^r} \pmod{m}$ với $0 \leq j \leq q-2$; vì $a \in m$ và $s \notin m$, điều này suy ra $s^{-j}as^{jp^r} \equiv a \pmod{m^2}$.

Ta viết

Khi đó $u \equiv (q - l) a \equiv -a (\text{mod. } m^2)$ vì $p . 1 \in m$; ta kết luận rằng $u$ cũng là một phần tử sinh cho $v$; hơn nữa (3)

Cuối cùng, với mọi $x \in A$ tồn tại một dãy duy nhất $(s_i)$ ($i \in \mathbf{N}$) sao cho $s_i \in S$ với mọi $i$ và $x \equiv \sum s_i u^i$ (mod. $m^{n+1}$) với mọi $n \geq 0$: điều này ngay lập tức có được bằng quy nạp theo $n$, mọi phần tử $t$ của $m^{n+1}$ thỏa mãn một quan hệ dạng $t \equiv t' u^{n+1}$ (mod. $m^{n+2}$), trong đó $t'$ là một phần tử của $S$ được xác định duy nhất. Khi đó $x = \sum_{i=0}^{\infty} s_i u^i$ và họ $(s_i)$ thỏa mãn quan hệ này và sao cho $s_i \in S$ với mọi $i$ được xác định duy nhất.

(i) Nếu K có đặc số 0 và mod, không phải là một giá trị tuyệt đối siêu mêtric thì K đẳng cấu với một trong các trường $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ hoặc $\mathbf{H}$.

(ii) Nếu K có đặc số 0 và mod, là một giá trị tuyệt đối siêu mêtric, thì K là một đại số hạng hữu hạn trên một trường p-adic $\mathbf{Q}_p$.

(iii) Nếu K có đặc số $p \neq 0$, thì nó đẳng cấu với một trường có tâm là một trường các chuỗi lũy thừa hình thức $\mathbf{F}_q((T))$ (trong đó $q$ là một lũy thừa của $p$) và có hạng hữu hạn trên tâm của nó.

(i) Suy ra từ Định lý Ostrowski (§ 6, no. 4, Định lý 2) rằng K là một trường tôpô đẳng cấu với một trường con trù mật khắp nơi của $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ hoặc $\mathbf{H}$ và, vì K là đầy đủ, nó đẳng cấu với $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ hoặc $\mathbf{H}$.

(ii) Gọi A là vành của giá trị tuyệt đối mod, và m là iđêan cực đại của nó. Ta biết rằng A/m là một trường hữu hạn (§ 5, no. 1, Mệnh đề 2) và do đó giá trị tuyệt đối cảm sinh bởi mod, trên $\mathbf{Q}$ có một trường thặng dư hữu hạn, điều này chỉ có thể xảy ra nếu nó tương đương với một giá trị tuyệt đối $p$-adic ($§ 6$, no. 3, Mệnh đề 4); bao đóng của $\mathbf{Q}$ trong $K$ vì vậy đẳng cấu với $\mathbf{Q}_p$ và được chứa trong tâm của $K$ vì tâm này đóng trong $K$; ta kết luận bằng cách sử dụng Mệnh đề 2 của no. 1.

(iii) Mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề thứ nhất và Hệ quả của Mệnh đề 2 của no. 2. Để chứng minh mệnh đề thứ nhất, chú ý rằng mod, tất yếu là một giá trị tuyệt đối siêu mêtric ($§ 6$, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 3); theo ký hiệu của chứng minh Mệnh đề 3 của no. 2, tâm $Z$ của $K$ gồm các phần tử giao hoán với cả $s$ lẫn $u$; nhưng nhờ (3),

nên $u^q \in Z$ và ta kết luận rằng $Z$ không rời rạc. Vì $Z$ là compact địa phương, ta có thể tự giới hạn vào trường hợp K là giao hoán. Đại số con trên $\mathbf{F}_p$ là $\mathbf{F}_p[s]$ trong $K$ khi đó là một trường hữu hạn vì $s^{q-1} = 1$ và hiển nhiên $y^q = y$ với mọi phần tử của trường này, do đó nó đồng nhất với $S$ và đẳng cấu với $\mathbf{F}_q$ vì $S \subset \mathbf{F}_p[s]$ có $q$ phần tử. Vì tổng của hai phần tử của $S$ nằm trong $S$, ánh xạ biến mỗi chuỗi lũy thừa hình thức $\sum_{i=0}^\infty s_i T^i \in \mathbf{F}_q[[T]]$ thành phần tử $\sum_{i=0}^\infty s_i u^i$ là một đồng cấu song ánh từ vành $\mathbf{F}_q[[T]]$ lên vành $A$, do đó ngay lập tức có kết luận.

Nếu tôpô trên một trường $K$ được xác định bởi một giá trị tuyệt đối siêu mêtric, thì $K$ hoàn toàn không liên thông đối với tôpô này.