En vertu de la prop. 4 du § 3, no 2, il suffit de montrer que la formule

définit une valuation de l’anneau $K[X]$. Comme

on a

pour $P, Q$ dans $K[X]$, l’égalité ayant lieu si $w(P) \neq w(Q)$.

Démontrons que l’on a

pour $P = \sum_j a_j X^j$ et $Q = \sum_j b_j X^j$. Soit $i$ (resp. $k$) le plus petit des entiers $j$ tels que $v(a_j) + j\xi$ (resp. $v(b_j) + j\xi$) prenne sa valeur minimum; notons $\alpha$ (resp. $\beta$) cette valeur minimum. Pour $j, j'$ dans $\mathbf{N}$, on a

d’où $w(PQ) \geq \alpha + \beta$ d’après (2). Considérons maintenant le terme $cX^{i+k}$ de degré $i + k$ de PQ; on a $c = \sum_{n \in \mathbf{Z}} a_{i+n} b_{k-n}$; d’après le choix de $i$ et $k$, l’élément prend une fois et une seule, pour $n = 0$, sa valeur minimum $\alpha + \beta$; on a donc $w(cX^{i+k}) = \alpha + \beta$, d’où, d’après (1), C.Q.F.D.

Démontrons d’abord l’unicité de $w$. Soit $P = \sum_j a_j X^j$ un élément de K[X]. On a $w(a_j X^j) = v(a_j) + j\xi$, ce qui montre que les monômes $a_j X^j$ tels que $a_j \neq 0$ ont des valeurs distinctes pour $w$. Il s’ensuit que $w(P) = \inf_j (v(a_j) + j\xi)$, ce qui montre à la fois l’unicité de $w$ sur K[X] (donc aussi sur K(X)) et le fait que le groupe des ordres de $w$ est $\Gamma + \mathbf{Z}\xi$. On voit en outre que, si $P \neq 0$, on peut écrire $P = aX^n(1+u)$ avec $a \in K^*, n \in \mathbf{N}, u \in K(X)$ et $w(u) > 0$; tout élément $R \neq 0$ de K(X) peut donc s’écrire sous la forme $R = bX^n(1+u')$, avec $b \in K^*, n \in \mathbf{Z}, u' \in K(X)$ et $w(u') > 0$; on a $w(R) = v(b) + n\xi$, donc $w(R) = 0$ si et seulement si $v(b) = 0$ et $n = 0$; ainsi, lorsque $w(R) = 0$, R et b sont congrus modulo l’idéal de $w$, ce qui montre que le corps résiduel de $w$ est égal à celui de $v$.

Enfin l’existence de $w$ résulte du lemme 1.

Pour montrer l’unicité de w, il nous suffira de montrer que, si P = $\sum_j a_j X^j$ est un élément non nul de K[X], on a

Quitte à diviser P par un élément de K*, on peut supposer qu’on a $v(a_j) \geq 0$ pour tout j, et que l’un des $v(a_j)$ est nul. Comme $w(X) = 0$, P appartient alors à l’anneau de w ; notant $\bar{a}_j$ l’image canonique de $a_j$ dans k, l’image canonique de P dans le corps résiduel $k'$ est $\sum_j \bar{a}_j t^j$; comme t est transcendant sur k et que l’un des $\bar{a}_j$ est non nul, cette image est non nulle, d’où

Démontrons maintenant l’existence de w. La formule $w(P) = \inf_j (v(a_j))$ (pour $P = \sum_j a_j X^j$) définit une valuation w de K(X) en vertu du lemme 1, et w a évidemment même groupe des ordres que v. On a $w(X) = 0$. Montrons que l’image canonique t de X dans le corps résiduel $k'$ de w est transcendante sur k : en effet, si $\sum_j \bar{a}_j t^j = 0$ avec $\bar{a}_j \in k$ pour tout j, on a, en désignant par $a_j$ un représentant de $\bar{a}_j$ dans l’anneau de v, $w(\sum_j a_j X^j) > 0$; d’où $v(a_j) > 0$ pour tout j, donc $\bar{a}_j = 0$ pour tout j. Montrons enfin qu’on a $k' = k(t)$ : en effet, tout élément R de K(X) peut s’écrire $R = c (\sum_j a_j X^j)/(\sum_j b_j X^j)$, avec $c, a_j, b_j$ dans K, $v(a_j) \geq 0$ et $v(b_j) \geq 0$ pour tout j, l’un des $v(a_j)$ et l’un des $v(b_j)$ étant nul ; on a $w(R) \geq 0$ si et seulement si $v(c) \geq 0$ ; en notant f l’homomorphisme canonique de l’anneau de w sur $k'$, on a

ce qui démontre notre assertion.

Soit, en effet, $G_0 \subset G_1 \subset \cdots \subset G_n$ une suite strictement croissante de sous-groupes isolés de $G$. On doit établir l’inégalité

Elle est évidente pour $n = 0$. Supposons $n \geq 1$, et raisonnons par récurrence sur $n$. En appliquant l’hypothèse de récurrence au groupe $G_{n-1}$ et à son sous-groupe $H \cap G_{n-1}$; on obtient

Distinguons alors deux cas :

a) On a $H \cap G_{n-1} = H$, autrement dit $H \subset G_{n-1}$. L’inégalité (7) s’écrit

Or $G/G_{n-1}$ est un groupe totalement ordonné non réduit à 0; ce n’est donc pas un groupe de torsion, et l’on a $r(G/G_{n-1}) \geq 1$.

D’où, d’après (4), $r(G/H) \geq r(G_{n-1}/H) + 1$. En portant dans (8), on obtient bien l’inégalité (6) cherchée.

b) On a $H \cap G_{n-1} \neq H$. Comme $H \cap G_{n-1}$ est un sous-groupe isolé de $H$, on en conclut que $h(H) \geq h(H \cap G_{n-1}) + 1$. D’autre part on a évidemment $r(G/H) \geq r(G_{n-1}/(H \cap G_{n-1}))$. En portant dans (7), on obtient encore (6).

Posons $r = r(G) = h(G)$. Si $r = 0$, on a $G = \{0\}$. Si $r = 1$, la structure des groupes commutatifs de type fini montre qu’on a un isomorphisme $j$ de $G$ sur $\mathbf{Z}$ (Alg., chap. VII, § 4, no 6, th. 3). Or $\mathbf{Z}$ ne possède que deux structures d’ordre total compatibles avec sa structure de groupe, à savoir la structure d’ordre usuelle et son opposée. Donc $j$ ou — $j$ est un isomorphisme du groupe ordonné $G$ sur $\mathbf{Z}$ muni de l’ordre usuel.

Supposons maintenant qu’on ait $r \geq 2$, et raisonnons par récurrence sur $r$. Soit $H$ un sous-groupe isolé de $G$, de hauteur $r - 1$. On a $r(H) + r(G/H) = r$ (formule (4)), $r(H) \geq h(H) = r - 1$ et $r(G/H) \geq h(G/H) = 1$ (cor. de la prop. 3), d’où $r(H) = r - 1$ et $r(G/H) = 1$. L’hypothèse de récurrence montre que $H$ est isomorphe à $\mathbf{Z}^{r-1}$ ordonné lexicographiquement, et le cas $r = 1$ montre que $G/H$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$. Comme $\mathbf{Z}$ est un $\mathbf{Z}$-module libre, $H$ est un facteur direct dans $G$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 11, prop. 21). Le lemme suivant montre alors que $G$ est isomorphe (non canoniquement) au produit lexicographique $H \times (G/H)$, ce qui achève la démonstration.

Soit $j$ un isomorphisme de groupes de $(G/H) \times H$ sur $G$ tel que $j(0, x) = x$ pour tout $x \in H$, et que $j(y, x)$ admette $y$ pour classe modulo $H$. Comme $(G/H) \times H$ est totalement ordonné, tout revient à montrer que $j$ est croissant (Ens., chap. III, 2e éd., § 1, no 12, prop. 11). Soit $(y, x)$ un élément $\geqslant 0$ de $(G/H) \times H$ ordonné lexicographiquement. Si $y > 0$, la classe de $j(y, x)$ modulo $H$ est un élément $> 0$, d’où $j(y, x) > 0$, car, sinon, on aurait $y \leqslant 0$ (§ 4, no 2, prop. 3). Si $y = 0$ et $x \geqslant 0$, on a $j(y, x) = x \geqslant 0$. Donc $j$ est bien croissant.

Notre assertion est évidente si $r+s=0$. Procédons par récurrence sur $r+s$. Si $r' \leqslant r,\ s' \leqslant s$ et $r'+s' < r+s$, l’hypothèse de récurrence montre que les hypothèses du th. 1 sont vérifiées si l’on remplace K par $K(x_1, \ldots, x_{s'}, y_1, \ldots, y_{r'})$ et les familles $(x_1, \ldots, x_s), (y_1, \ldots, y_r)$ par $(x_{s'+1}, \ldots, x_s), (y_{r'+1}, \ldots, y_r)$. Nous sommes donc ramenés à l’un des deux cas suivants :

a) On a un élément $x$ de l’anneau de $v'$ tel que $\overline{x}$ soit transcendant sur $k$; il s’agit de montrer que $x$ est transcendant sur $K$, et que la restriction de $v'$ à $K(x)$ admet $k(\overline{x})$ pour corps résiduel et $\Gamma$ pour groupe des ordres.

b) On a un élément $y$ de $K'$ tel que les relations $nv'(y) \in \Gamma$ et $n \in \mathbf{Z}$ entraînent $n=0$; il s’agit de montrer que $y$ est transcendant sur $K$, et que la restriction de $v'$ à $K(y)$ admet $k$ pour corps résiduel, et $\Gamma + \mathbf{Z}v'(y)$ pour groupe des ordres.

Or la prop. 1 du § 8, no 1 montre que $x$ (resp. $y$) ne peut être algébrique sur $K$. Les autres assertions de a) (resp. b)) s’en déduisent aussitôt en vertu de la prop. 2 (resp. prop. 1) du no 1.

*De plus, si $K'$ est une extension de type fini de $K$, et s’il y a égalité dans (9), alors $\Gamma'/\Gamma$ est un $\mathbf{Z}$-module de type fini, et $k'$ est une extension de type fini de $k$.

Soient $r$ et $s$ des entiers naturels tels que $r \leq r(v'/v)$ et $s \leq s(v'/v)$; montrons, ce qui prouvera (9), qu’on a $r + s \leq d(K'/K)$. Par hypothèse, il existe des éléments $x_1, \ldots, x_s, y_1, \ldots, y_r$ de $K'$ qui vérifient les hypothèses du th. 1. Il sont donc algébriquement indépendants sur $K$, ce qui démontre l’inégalité $r + s \leq d(K'/K)$.

Si $K'$ est une extension de type fini de $K$, $d(K'/K)$ est fini, donc $s(v'/v)$ et $r(v'/v)$ sont aussi finis; notons-les $s$ et $r$. Il existe des éléments $x_1, \ldots, x_s, y_1, \ldots, y_r$ de $K'$ qui vérifient les hypothèses du th. 1. Si $r + s = d(K'/K)$, ces éléments forment une base de transcendance de $K'$ sur $K$, et $K'$ est donc une extension algébrique de degré fini de $K'' = K(x_1, \ldots, y_r)$. Soient $\Gamma''$ et $k''$ le groupe des ordres et le corps résiduel de la restriction de $v'$ à $K''$. D’après le th. 1, $\Gamma''/\Gamma$ est un $\mathbf{Z}$-module de type fini, et $k''$ est une extension pure de type fini de $k$. D’autre part, comme $K'$ est une extension algébrique de degré fini de $K''$, $\Gamma'/\Gamma''$ est un groupe fini, et $k'$ est une extension algébrique de degré fini de $k''$ ($§ 8$, no 1, lemme 2). Ceci démontre le corollaire 1.

En effet, d’après la prop. 3, on a $h' \leq r(v'/v) + h$.

S’il y a égalité dans (10), il y a égalité dans (9), d’où le fait que $k'$ est une extension de type fini de $k$, et que $\Gamma'$ est un $\mathbf{Z}$-module de type fini. De plus, en comparant (9) et (10), on voit que $h' - h = r(\Gamma'/\Gamma)$, d’où $h' = r(\Gamma')$, et la prop. 4 (n° 2) montre alors que $\Gamma'$ est isomorphe à $\mathbf{Z}^{h'}$ ordonné lexicographiquement.

(11)

Si, en particulier, $v'$ est de hauteur 1, on a

(12)

de plus, si $K'$ est une extension de type fini de $K$ et s’il y a égalité dans (12), alors $v'$ est une valuation discrète, et $k'$ est une extension de type fini de $K$.

C’est une série de cas particuliers des corollaires 1, 2, 3.