Bài tập 22, § 2

Cho $G$ là một nhóm và $B$ là một nhóm con của $G$.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $B \cap gBg^{-1}$ có chỉ số hữu hạn trong $B$ với mọi $g \in G$; (ii) mọi lớp kề kép $BgB$ đối với $B$ là một hợp hữu hạn các lớp kề trái đối với $B$.

Chính xác hơn, chứng minh rằng, với mọi $g \in G$, chỉ số $q_g$ của $B \cap gBg^{-1}$ trong $B$ bằng với số lớp kề trái đối với $B$ được chứa trong lớp kề kép $BgB$. Chứng minh rằng $q_{gh} \leq q_g q_h$ với mọi $g, h \in G$.

Từ bây giờ giả sử rằng các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và ký hiệu bởi $k$ một vành giao hoán. Với $t \in G/B$ (resp. $t \in B\backslash G/B$), ký hiệu bởi $a_t$ ánh xạ từ $G$ vào $k$ được xác định bởi $a_t(g) = 0$ nếu $g \notin t$ và $a_t(g) = 1$ nếu $g \in t$. Gọi $L$ (resp. $H$) là $k$-môđun sinh bởi các $a_t$ với $t \in G/B$ (resp. $t \in B\backslash G/B$).

b) Chứng minh rằng tồn tại một dạng tuyến tính duy nhất $\mu$ trên $L$ sao cho $\mu(a_t) = 1$ với mọi $t \in G/B$.

c) Cho $\varphi \in L$ và $\psi \in H$. Chứng minh rằng, với mọi $x \in G$, ánh xạ

thuộc $L$ và ánh xạ $\varphi * \psi : x \mapsto \mu(\theta_x)$ thuộc $L$. Hơn nữa, nếu $\varphi \in H$ thì $\varphi * \psi \in H$. Chứng minh rằng ánh xạ $(\varphi, \psi) \mapsto \varphi * \psi$ làm cho $H$ thành một đại số trên $k$, có $a_B$ làm phần tử đơn vị, và làm cho $L$ thành một H-môđun phải.

Đại số $H$ được gọi là đại số Hecke của $G$ đối với $H$ và được ký hiệu bởi $H_k(G, B)$.

d) Chứng minh rằng, với $t, t' \in B \backslash G / B$,

trong đó $m(t, t'; t'')$ là số các lớp ghép theo $B$ được chứa trong $t \cap g {t'}^{-1}$ với mọi $g \in t''$.

e) Cho $G$ tác động lên $L$ bởi các phép tịnh tiến trái. Chứng minh rằng tác động của $H$ lên $L$ xác định một đẳng cấu từ $H$ lên hoán tập của biểu diễn tuyến tính của $G$ trên $L$ thu được như vậy.

f) Giả sử rằng $G$ là hữu hạn và rằng đặc số của $k$ không chia hết cho cấp của $G$. Chứng minh rằng $H_k(G, B)$ là tuyệt đối nửa đơn trên $k$ (Đại số, Chương VIII, § 7, no. 5) (sử dụng Định lý Maschke (Chương V, Phụ lục) và Mệnh đề 3 của Đại số, Chương VIII, § 5, no. 1).

g) Giả sử rằng $G$ là một nhóm tôpô và rằng $B$ là một nhóm con compact mở của $G$. Chứng minh rằng các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và rằng, khi $k = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, tích $\varphi * \psi$ đơn giản là tích chập đối với độ đo Haar phải trên $G$, được chuẩn hóa bởi điều kiện $\mu(B) = 1$ (xem Tích phân, Chương VIII, § 4, no. 5).