Ta lập luận bằng quy nạp theo $q$, trường hợp $q = 0$ là tầm thường. Nếu $q \geqslant 1$, ta có $C(s_1 \ldots s_q).C(w) \subset C(s_1).C(s_2 \ldots s_q).C(w)$. Theo giả thiết quy nạp, $C(s_2 \ldots s_q).C(w)$ được chứa trong hợp của các $C(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$, trong đó

Theo (T3), tập $C(s_1).C(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$ được chứa trong hợp của các tập $C(s_1 s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$ và $C(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$. Điều này chứng minh bổ đề.

Hiển nhiên rằng $\mathrm{BWB}$ ổn định đối với $x \mapsto x^{-1}$, và Bổ đề 1 chỉ ra rằng nó ổn định đối với tích. Vì nó chứa $B$ và $N$, nên nó bằng $G$.

Còn lại là chứng minh rằng $C(w) \neq C(w')$ nếu $w \neq w'$. Vì mục đích này, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số nguyên $q$ mệnh đề sau:

(A_q) Nếu $w$ và $w'$ là các phần tử phân biệt của $W$ sao cho $l_S(w) \geq l_S(w') = q$, thì $C(w) \neq C(w')$.

(Để biết định nghĩa của $l_S(w)$, xem § 1, no. 1.)

Mệnh đề này là hiển nhiên với $q = 0$, vì khi đó $w' = 1$ và $w \neq 1$, do đó $C(w') = B$ và $C(w) \neq B$.

Giả sử rằng $q \geq 1$ và $w, w'$ thỏa mãn các giả thiết của (A_q). Có một $s \in S$ sao cho $sw'$ có độ dài $q - 1$. Ta có

do đó $w \neq sw'$. Hơn nữa, $sw \neq sw'$; theo công thức (3) của § 1, no. 1, ta có

Theo giả thiết quy nạp, $C(sw')$ phân biệt với $C(w)$ và với $C(sw)$; từ công thức (2) suy ra rằng

Vì $C(sw') \subset C(s).C(w')$, cuối cùng ta có $C(w) \neq C(w')$.

Với mọi $s \in S$, gọi $P_s$ là tập hợp các phần tử $w \in W$ sao cho

Ta sẽ kiểm tra rằng các $P_s$ thỏa mãn các điều kiện (A'), (B') và (C) của § 1, no. 7; khi đó hai khẳng định của định lý sẽ suy ra từ Mệnh đề 6 của § 1, no. 7.

Điều kiện (A') là rõ ràng.

Ta kiểm tra (B'). Nếu $P_s$ và $sP_s$ có một phần tử $w$ chung, ta sẽ có $w \in P_s$ và $sw \in P_s$, và do đó

Suy ra rằng $C(s).C(s).C(w) = C(w)$ và, theo công thức (5), điều này sẽ kéo theo $C(w) = C(sw)$, điều này mâu thuẫn với Đl. 1.

Ta kiểm tra (C). Cho $s, s' \in S$ và $w, w' \in W$ với $w' = ws'$. Giả thiết rằng $w \in P_s$ và $w' \notin P_s$ kéo theo rằng

theo (3).

Từ (9) và quan hệ $w = w's'$, suy ra rằng

Theo công thức (2'), $C(w').C(s') \subset C(w') \cup C(w's')$, điều này ngay lập tức kéo theo rằng Vì $C(w')$ là một hợp của các lớp kề trái $gB$ và vì công thức (10) cho thấy rằng $C(s)w'$ giao với $C(w')$ và a fortiori rằng $C(s)w's'B$ giao với $C(w')s'B$. Từ các công thức (11) và (12) suy ra rằng lớp kề kép $C(sw)$ bằng một trong các lớp kề kép $C(ws')$ và $C(w)$; vì $sw \neq w$, Đl. 1 cho phép ta kết luận rằng $sw = ws'$.

Khi lấy các phân tích thu gọn của các $w_i$, ta quy về trường hợp của một phân tích thu gọn

Nếu $u = s_2 \ldots s_q$, thì $w = s_1 u$ và $l_S(s_1 u) > l_S(u)$, do đó $C(w) = C(s_1).C(u)$ theo định lý. Công thức cần chứng minh suy ra từ điều này bằng quy nạp theo $q$.

Nếu $t \in T_w$, theo định nghĩa tồn tại các phần tử $w', w'' \in W$ và $s \in S$ sao cho

Theo Hệ quả 1,

Do đó,

Theo (4), $C(s) \subset C(s).C(s)$. Do đó,

a) Với mọi phân tích rút gọn $(s_1, \ldots, s_q)$ của $w$,

b) Nhóm $H_w$ chứa $C(w)$ và được sinh bởi $C(w)$.

Ta chứng minh a) bằng quy nạp theo $j$. Giả sử rằng $C(s_k)$ được chứa trong $H_w$ với $k < j$. Đặt

Phần tử $t$ thuộc tập con $T_w$ của $W$ được định nghĩa trong Bổ đề 2 của § 1, no. 4. Theo Hệ quả 2, $C(t) \subset H_w$, và do đó $C(s_j) \subset H_w$.

Vì $C(w) = C(s_1) \ldots C(s_q)$, xem Hệ quả 1, ta có $C(w) \subset H_w$, và b) suy ra.

b) Ánh xạ X ↦ G_X là một song ánh từ $\mathscr{P}(S)$ vào tập hợp các nhóm con của G chứa B.

c) Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một họ các tập con của X. Nếu $X = \bigcap_{i \in I} X_i$, thì $G_X = \bigcap_{i \in I} G_{X_i}$.

d) Cho X và Y là hai tập con của S. Khi đó $G_X \subset G_Y$ (tương ứng, $G_X = G_Y$) khi và chỉ khi $X \subset Y$ (tương ứng, $X = Y$).

Hiển nhiên là $G_X = (G_X)^{-1}$; Bổ đề 1 của no. 1 chỉ ra rằng $G_X . G_X \subset G_X$; và do đó a) suy ra, có tính đến Hệ quả 1 của Định lý 2.

Tính đơn ánh của ánh xạ X ↦ G_X suy ra từ tính đơn ánh của ánh xạ X ↦ W_X (§1, no. 8, Định lý 2). Ngược lại, cho H là một nhóm con của G chứa B. Gọi U là tập hợp các $w \in W$ sao cho $C(w) \subset H$. Ta có $H = BUB$ vì H là một hợp của các lớp kép. Đặt $X = U \cap S$; ta chứng minh rằng $H = G_X$. Rõ ràng, $G_X \subset H$. Mặt khác, cho $u \in U$ và $(s_1, \ldots, s_q)$ là một phân tích rút gọn của u. Hệ quả 3 của Định lý 2 suy ra rằng $C(s_j) \subset H$, và do đó $s_j \in X$ với $1 \leq j \leq q$. Vì vậy, $u \in W_X$, và vì H là hợp của các $C(u)$ với $u \in U$, ta có $H \subset G_X$, điều này chứng minh b).

Các khẳng định c) và d) suy ra từ các tính chất tương tự của W_X (§ 1, no. 8, Định lý 2).

Các phần tử $w \in W$ sao cho $B \cup C(w)$ là một nhóm con của G là các phần tử mà tồn tại $X \subset S$ với $W_X = \{1, w\}$. Hơn nữa, nếu $w \neq 1$, ta tất yếu có Card(X) = 1 , nghĩa là $w \in S$.

Ta có $G_X = BW_XB = BN'B$, điều này cho thấy rằng $G_X$ được sinh bởi $B \cup N'$. Việc kiểm tra các tiên đề (T1) đến (T4) là ngay lập tức.

Cho $s_1, \ldots, s_q \in X$ và $t_1, \ldots, t_q \in Y$. Bổ đề 1 cho thấy rằng

và do đó Bao hàm ngược lại là hiển nhiên.

Cho $w \in W$ sao cho $g \in C(w)$. Vì $B$ là một nhóm con của $G_X$, giả thiết $g B g^{-1} \subset G_X$ kéo theo rằng $C(w).C(w^{-1}) \subset G_X$, và do đó $C(w) \subset G_X$ theo Hệ quả 3 của Định lý 2, vậy nên $g$ thuộc về $G_X$.

a) $P$ là parabolic khi và chỉ khi tồn tại một tập con $X$ của $S$ sao cho $P$ liên hợp với $G_X$ (xem no. 5 về định nghĩa của $G_X$).

b) Cho $X, X' \subset S$ và $g, g' \in G$ sao cho $P = g G_X g^{-1} = g' G_{X'} {g'}^{-1}$. Khi đó, $X = X'$ và $g' g^{-1} \in P$.

Mệnh đề a) suy ra từ Đl. 3, b). Dưới các giả thiết của b), ta có

và Mđ. 3 chỉ ra rằng $g^{-1} g' \in G_X$. Do đó, $G_{X'} = G_X$ và $X' = X$ theo Đl. 3, b). Cuối cùng, điều này chứng minh b).

Nếu nhóm con parabolic $P$ liên hợp với $G_X$, trong đó $X \subset S$, thì $P$ được gọi là có kiểu X.

(ii) Hai nhóm con parabolic có giao là parabolic thì không liên hợp.

(iii) Cho $Q_1$ và $Q_2$ là hai nhóm con parabolic của $G$ được chứa trong một nhóm con $Q$ của $G$. Khi đó mọi $g \in G$ sao cho $gQ_1g^{-1} = Q_2$ đều thuộc $Q$.

(iv) Mọi nhóm con parabolic đều là nhóm chuẩn hoá của chính nó$^6$.

Mệnh đề (i) suy ra từ các Mđ. 3 và 4, và kéo theo (ii). Dưới các giả thiết của (iii), ta có $gQ_1g^{-1} \subset Q$, điều này suy ra $g \in Q$ theo (i). Cuối cùng, (iv) suy ra từ (iii) bằng cách lấy $Q_1 = Q_2 = Q$.

Bằng cách trước hết biến đổi $P_1$ và $P_2$ bởi một tự đẳng cấu trong của $G$, ta có thể giả sử rằng $B \subset P_1$. Cho $g \in G$ sao cho $gB_2g^{-1} \subset P_2$. Theo Đl. 1, tồn tại $n \in N$ và $b, b' \in B$ sao cho $g = bn b'$. Vì $T$ là chuẩn trong $N$,

và

điều này chứng minh mệnh đề.

Vì $BH$ là một nhóm con của $G$ chứa $B$, tồn tại duy nhất một tập con $X$ của $S$ sao cho $BH = G_X$ (Đl. 3).

Cho $s_1 \in X$ và $s_2 \in S - X$; gọi $n_1$ và $n_2$ lần lượt là các đại diện trong $N$ của $s_1$ và $s_2$. Khi đó $n_1 \in G_X = BH$ và tồn tại $b \in B$ sao cho $bn_1 \in H$. Vì $H$ là chuẩn tắc trong $G$, phần tử $h = n_2 b n_1 n_2^{-1}$ của $G$ thuộc $H$. Điều này có nghĩa là

Nếu độ dài của $s_2 s_1 s_2$ bằng 3, Hệ quả 1 của Đl. 2 suy ra rằng

(6) Nếu $H$ là một nhóm con của một nhóm $G$, chuẩn hoá tử của $H$ trong $G$ là nhóm con $\mathfrak{N}(H)$ gồm các phần tử $g$ của $G$ sao cho $gHg^{-1} = H$. Một nhóm con $H'$ được gọi là chuẩn hoá $H$ nếu $H' \subset \mathfrak{N}(H)$, trong trường hợp đó $HH' = H'H$ là một nhóm con của $G$ trong đó $H$ là chuẩn tắc.

và do đó $h \in H \cap C(s_2 s_1 s_2)$. Vì $H \cap C(s_2 s_1 s_2)$ là không rỗng, $s_2 s_1 s_2 \in W_X$. Vì $(s_2, s_1, s_2)$ là một phân tích rút gọn, suy ra $s_2 \in X$, trái với giả thiết của ta.

Do đó $l_S(s_2 s_1 s_2) \leq 2$; nếu $l_S(s_2 s_1 s_2) = 1$, thì $s_1 s_2 \in S$ và do đó $(s_1 s_2)^2 = 1$, hay $s_1 s_2 = s_2 s_1$. Nếu $l_S(s_2 s_1 s_2) = 2$, tính chất (E) của §1, no. 5 suy ra rằng $s_2 s_1 = s_1 s_2$, vì $s_1 \neq s_2$. Q.E.D.

Tính chất sau đây của một nhóm U được sử dụng trong Đl. 5 dưới đây:

(R) Đối với mọi nhóm con chuẩn tắc V của U phân biệt với U, nhóm giao hoán tử (xem Đại số, Chương I, §6, no. 8) của U/V là phân biệt với U/V.

Mọi nhóm giải được đều thỏa mãn (R); đặc biệt, mọi nhóm Abel đều thỏa mãn (R). Có thể chỉ ra rằng nhóm đối xứng $\mathfrak{S}_n$ thỏa mãn (R) (xem Bài tập 29).

(1) U là chuẩn tắc trong B và B = UT. (2) U có tính chất (R). (3) G1 bằng nhóm giao hoán tử của nó*. (4) Hệ Coxeter (W, S) là bất khả quy (xem §1, no. 9).

Khi đó mọi nhóm con H của G được G1 chuẩn hoá hoặc được chứa trong Z hoặc chứa G_1*.

Trước hết ta chứng minh rằng $G = G_1 T$. Nhóm $G_1 T$ chứa B và do đó là chuẩn hoá tử của chính nó (Đl. 4); nhưng vì N chuẩn hoá $G_1$ và T, nó cũng chuẩn hoá $G_1 T$, vậy $N \subset G_1 T$. Vì G được sinh bởi B và N, suy ra $G = G_1 T$.

Tiếp theo, đặt

Ta có $G = G'T$ vì $G'$ chứa $G_1$, và do đó $N = N'T$. Việc nhúng $N'$ vào N khi đó xác định, chuyển qua thương, một đẳng cấu $\alpha : W' \to W$. Đặt $S' = \alpha^{-1}(S)$.

Bây giờ ta chứng minh rằng (G', B', N', S') là một hệ Tits. Vì $G = BNB$ và $B = TU = UT$, ta có $G = UNU$. Vì U là một nhóm con của $G'$, suy ra $G' = UN'U$; vì $U \subset B'$, điều này chứng minh (T1). Tiên đề (T2) được thoả mãn vì $\alpha$ là một đẳng cấu. Cho $w \in W$ và đặt $w' = \alpha^{-1}(w)$ là phần tử tương ứng của $W'$. Ta có

Từ đó ta kết luận rằng $G' \cap BwB = B'w'B'$, nghĩa là việc nhúng $G'$ vào G xác định, khi chuyển qua thương, một song ánh từ

B'\setminus G'/B' đến B\setminus G/B. Tiên đề (T3) được suy ra ngay lập tức. Tiên đề (T4) suy ra từ B = B'T.

Nhóm con H là chuẩn tắc trong G'. Áp dụng Bổ đề 2 cho (G', B', N', S'), tồn tại một tập con X' của S' sao cho B'H = G'_X', và mọi phần tử của S' - X' giao hoán với mọi phần tử của X'. Theo giả thiết (4), chỉ có hai khả năng:

a) X' = $\varnothing$, tức là B'H = B', do đó H $\subset B' \subset B$. Nếu $g \in G$, thì $g = g_1 t$ với $g_1 \in G_1$, $t \in T$, và H $\subset g_1 B g_1^{-1}$ vì G_1 chuẩn hoá H. Vậy H $\subset g B g^{-1}$, và vì Z là giao của các $g B g^{-1}$, ta có H $\subset Z$.

b) X' = S', tức là B'H = G'. Vì $G = G'T$, ta có

Vì B chuẩn hoá U, mọi liên hợp của U có dạng $hUh^{-1}$ với $h \in H$. Nhóm con như vậy được chứa trong nhóm UH, do đó $G_1 \subset UH$ theo định nghĩa của G_1. Vì vậy, ta có các đẳng cấu

Theo giả thiết (3), $G_1/(G_1 \cap H)$ bằng nhóm giao hoán tử của nó. Giả thiết (2) nay chỉ ra rằng nhóm $U/(U \cap H)$, đẳng cấu với $G_1/(G_1 \cap H)$, thu gọn về phần tử đơn vị. Do đó $G_1 \cap H = G_1$ và $G_1 \subset H$, điều này hoàn tất chứng minh.

Đl. 5 chỉ ra rằng $G_1/(G_1 \cap Z)$ là đơn hoặc thu gọn về phần tử đơn vị. Mặt khác, giả thiết (3) kéo theo rằng nó bằng nhóm giao hoán tử của nó. Suy ra hệ quả.