On raisonne par récurrence sur $q$, le cas $q = 0$ étant trivial. Si $q \geqslant 1$, on a $\mathrm{C}(s_1 \ldots s_q) \cdot \mathrm{C}(w) \subset \mathrm{C}(s_1) \cdot \mathrm{C}(s_2 \ldots s_q) \cdot \mathrm{C}(w)$. D’après l’hypothèse de récurrence, $\mathrm{C}(s_2 \ldots s_q) \cdot \mathrm{C}(w)$ est contenu dans la réunion des $\mathrm{C}(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$, où

D’après (T3), l’ensemble $\mathrm{C}(s_1) \cdot \mathrm{C}(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$ est contenu dans la réunion de $\mathrm{C}(s_1 s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$ et de $\mathrm{C}(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$. D’où le lemme.

Il est clair que $\mathrm{BWB}$ est stable par $x \mapsto x^{-1}$, et le lemme 1 montre qu’il est stable par produit. Comme il contient $B$ et $N$, il est donc égal à $G$.

Il nous reste à prouver que $C(w) \neq C(w')$ si $w \neq w'$. Pour cela, nous démontrerons par récurrence sur l’entier $q$ l’assertion suivante :

(A_q) Étant donnés $w$ et $w'$ distincts dans $W$ tels que $l_s(w) \geq l_s(w') = q$, on a $C(w) \neq C(w')$.

(Pour la définition de $l_s(w)$, voir § 1, n° 1.)

Cette assertion est évidente pour $q = 0$, car on a alors $w' = 1$ et $w \neq 1$, d’où $C(w') = B$ et $C(w) \neq B$.

Supposons que $q \geq 1$ et que $w, w'$ vérifient les hypothèses de (A_q). Il existe $s \in S$ tel que $sw'$ soit de longueur $q - 1$. On a

(6)

d’où $w \neq sw'$. De plus, on a $sw \neq sw'$; d’après la formule (3) du § 1, n° 1, on a

(7)

Vu l’hypothèse de récurrence, $C(sw')$ est distinct de $C(w)$ et de $C(sw)$; de la formule (2), on déduit

(8)

Comme on a par ailleurs $C(sw') \subset C(s) \cdot C(w')$, on a finalement $C(w) \neq C(w')$.

Pour tout $s \in S$, soit $P_s$ l’ensemble des éléments $w \in W$ tels que

Nous allons vérifier que les $P_s$ satisfont aux conditions (A'), (B') et (C) du , n° 7; les deux assertions du théorème résulteront alors de la prop. 6 du § 1, n° 7

La condition (A') est évidente.

Vérifions (B'). Si $P_s$ et $sP_s$ avaient un élément commun $w$, on aurait $w \in P_s$ et $sw \in P_s$ d’où

On en déduirait $C(s) \cdot C(s) \cdot C(w) = C(w)$ et, d’après la formule (5), ceci entraînerait $C(w) = C(sw)$, en contradiction avec le th. 1.

Vérifions (C). Soient $s, s' \in S$ et $w, w' \in W$ avec $w' = ws'$. On fait l’hypothèse que $w \in P_s$ et $w' \notin P_s$, d’où

(9)

(10)

d’après (3).

De (9) et de la relation $w = w's'$, on déduit

(11)

D’après la formule (2'), on a $C(w')C(s') \subset C(w') \cup C(w's')$, d’où immédiatement

(12)

Comme $C(w')$ est réunion de classes à gauche $gB$ et que l’on a

la formule (10) montre que $C(s)w'$ rencontre $C(w')$ et a fortiori que $C(s)w's'B$ rencontre $C(w')s'B$. Il résulte alors des formules (11) et (12) que la double classe $C(sw)$ est égale à l’une des doubles classes $C(ws')$ et $C(w)$; comme on a $sw \neq w$, le th. 1 permet de conclure que $sw = ws'$.

on a

En prenant des décompositions réduites des $w_i$, on se ramène au cas d’une décomposition réduite

Si $u = s_2 \ldots s_q$, on a alors $w = s_1u$ et $l_s(s_1u) > l_s(u)$, d’où $C(w) = C(s_1) \cdot C(u)$ d’après le théorème; la formule cherchée s’en déduit par récurrence sur $q$.

n° 2.5.

c) Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille de parties de $S$. Si $X = \bigcap_{i \in I} X_i$, on a $G_X = \bigcap_{i \in I} G_{X_i}$.

d) Soient $X$ et $Y$ deux parties de $S$. On a $G_X \subset G_Y$ (resp. $G_X = G_Y$) si et seulement si l’on a $X \subset Y$ (resp. $X = Y$).

Il est clair que $G_X = (G_X)^{-1}$; le lemme 1 du n° 1 montre que $G_X . G_X \subset G_X$; d’où a), compte tenu du cor. 1 du th. 2.

L’injectivité de $X \mapsto G_X$ résulte de celle de $X \mapsto W_X$ (§ 1, n° 8, th. 2). Soit d’autre part $H$ un sous-groupe de $G$ contenant $B$. Soit $U$ l’ensemble des $w \in W$ tels que $C(w) \subset H$. On a $H = BUB$ puisque $H$ est réunion de doubles classes. Soit $X = U \cap S$; montrons que $H = G_X$. On a évidemment $G_X \subset H$. D’autre part, soit $u \in U$, et soit $(s_1, \ldots, s_q)$ une décomposition réduite de $u$. Le cor. 3 du th. 2 entraîne $C(s_j) \subset H$, d’où $s_j \in X$ pour $1 \leq j \leq q$. On a donc $u \in W_X$, et comme $H$ est réunion des $C(u)$ pour $u \in U$, on a bien $H \subset G_X$, ce qui achève de prouver $(b)$.

Les assertions c) et d) résultent des propriétés analogues des groupes $W_X$ (§ 1, n° 8, th. 2).

Les éléments $w \in W$ tels que $B \cup C(w)$ soit un sous-groupe de $G$ sont ceux pour lesquels il existe $X \subset S$ avec $W_X = \{1, w\}$. Si de plus $w \neq 1$, on a nécessairement $\operatorname{Card}(X) = 1$, i.e. $w \in S$.

Remarque 1). — Le corollaire ci-dessus montre que $S$ est déterminé par $(G, B, N)$; pour cette raison, on se permet parfois de dire que $(G, B, N)$ est un système de Tits, ou encore que $(B, N)$ est un système de Tits dans $G$.

On a $G_X = BW_X B = BN'B$, ce qui prouve que $G_X$ est engendré par $B \cup N'$. La vérification des axiomes (T1) à (T4) est alors immédiate.

Soient $s_1, \ldots, s_q \in X$ et $t_1, \ldots, t_q \in Y$. Le lemme 1 montre que l’on a

d’où

L’inclusion opposée est évidente.

Remarque 2). — Notons $G_X|G/G_Y$ l’ensemble des parties de $G$ de la forme $G_X g G_Y$, $g \in G$; définissons de manière analogue $W_X|W/W_Y$. La proposition précédente montre que la bijection canonique $w \mapsto C(w)$ de $W$ sur $B|G/B$ définit par passage au quotient une bijection $W_X|W/W_Y \to G_X|G/G_Y$.

n° 2.6.

SYSTÈMES DE TITS

Soit $w \in W$ tel que $g \in C(w)$. Comme $B$ est un sous-groupe de $G_X$, l’hypothèse $g B g^{-1} \subset G_X$ entraîne $C(w) . C(w^{-1}) \subset G_X$, d’où $C(w) \subset G_X$ d’après le cor. 3 du th. 2, et $g$ appartient à $G_X$.

(*) Si $H$ est un sous-groupe d’un groupe $G$, le normalisateur de $H$ dans $G$ est le sous-groupe $\mathscr{N}_G(H)$ formé des éléments $g$ de $G$ tels que $g H g^{-1} = H$. On dit que le sous-groupe $H'$ normalise $H$ si l’on a $H' \subset \mathscr{N}_G(H)$, auquel cas $H H' = H' H$ est un sous-groupe de $G$, dans lequel $H$ est distingué.

Quitte à transformer $P_1$ et $P_2$ par un automorphisme intérieur de $G$, on peut supposer que $B \subset P_1$. Soit $g \in G$ tel que $gB g^{-1} \subset P_2$. D’après le th. 1, il existe $n \in N$ et $b, b' \in B$ tels que $g = b n b'$. Comme $T$ est distingué dans $N$, on a

et d’où la proposition.

Puisque $B H$ est un sous-groupe de $G$ contenant $B$, il existe une unique partie $X$ de $S$ telle que $B H = G_X$ (th. 3).

Soient $s_1 \in X$ et $s_2 \in S - X$; soient $n_1$ et $n_2$ des représentants respectifs de $s_1$ et $s_2$ dans $N$. On a $n_1 \in G_X = B H$ et il existe $b \in B$ tel que $b n_1 \in H$. Comme $H$ est distingué dans $G$, l’élément $h = n_2 b n_1 n_2^{-1}$ de $G$ appartient à $H$. D’autre part

Si la longueur de $s_2 s_1 s_2$ est égale à 3, le cor. 1 du th. 2 entraîne d’où $h \in H \cap C(s_2 s_1 s_2)$. Puisque $H \cap C(s_2 s_1 s_2)$ est non vide, on a $s_2 s_1 s_2 \in W_X$. Comme $(s_2, s_1, s_2)$ est une décomposition réduite, on en déduit $s_2 \in X$, contrairement à l’hypothèse ($§ 1$, no 8, cor. 1 de la prop. 7).

On a donc $l_S(s_2 s_1 s_2) \leq 2$; si $l_S(s_1 s_2) = 1$, on a $s_1 s_2 \in S$, donc $(s_1 s_2)^2 = 1$, $s_1 s_2 = s_2 s_1$. Si $l_S(s_1 s_2) = 2$ la propriété (E) du $§ 1$, no 5 entraîne alors $s_2 s_1 = s_1 s_2$, car $s_1 \neq s_2$. C.Q.F.D.

Dans le th. 5 ci-dessous interviendra la propriété suivante d’un groupe $U$: (R) Pour tout sous-groupe distingué $V$ de $U$, distinct de $U$, le groupe des commutateurs (cf. Alg., chap. I, $§ 6$, no 8) de $U/V$ est distinct de $U/V$.

Tout groupe résoluble vérifie (R); en particulier tout groupe commutatif vérifie (R); il en est de même de tout groupe simple non commutatif. On peut montrer que le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ vérifie (R) pour tout $n$ (cf. exerc. 29).

Montrons d’abord que $G = G_1 T$. Le groupe $G_1 T$ contient $B$, donc est son propre normalisateur (th. 4); comme $N$ normalise $G_1$ et $T$, il normalise aussi $G_1 T$, d’où $N \subset G_1 T$; puisque $G$ est engendré par $B$ et $N$, on a bien $G = G_1 T$.

Posons maintenant

On a $G = G'T$ puisque $G'$ contient $G_1$, d’où $N = N'T$. L’injection de $N'$ dans $N$ définit donc, par passage aux quotients, un isomorphisme $\alpha : W' \to W$. Soit $S' = \alpha^{-1}(S)$.

Montrons que $(G', B', N', S')$ est un système de Tits. Comme $G = BNB$ et $B = TU = UT$, on a $G = UNU$ et, puisque $U$ est un sous-groupe de $G'$, on en déduit $G' = UN'U$, d’où (T1) puisque $U \subset B'$. L’axiome (T2) est satisfait puisque $\alpha$ est un isomorphisme. Soit $w \in W$ et soit $w' = \alpha^{-1}(w)$ l’élément correspondant de $W'$. On a

On en conclut que $G' \cap BwB = B'w'B'$, ou encore que l’injection de $G'$ dans $G$ définit par passage aux quotients une bijection de $B'\backslash G'/B'$ sur $B\backslash G/B$. L’axiome (T3) est alors immédiat. L’axiome (T4) résulte de $B = B'T$.

Le sous-groupe $H$ est distingué dans $G'$. D’après le lemme 2 appliqué à $(G', B', N', S')$, il existe une partie $X'$ de $S'$ telle que $B'H = G'_X$ et tout élément de $S' - X'$ commute à tout élément de $X'$. Vu l’hypothèse (4), deux cas seulement sont possibles :

a) $X' = \varnothing$, i.e. $B'H = B'$, et $H \subset B' \subset B$. Si $g \in G$, on a $g = g_1 t$, avec $g_1 \in G_1, t \in T$ et $H \subset g_1 Bg_1^{-1}$ puisque $G_1$ normalise $H$. D’où $H \subset gBg^{-1}$; comme $Z$ est l’intersection des $gBg^{-1}$, on a $H \subset Z$.

b) $X' = S'$, i.e. $B'H = G'$; comme $G = G'T$, on a

Comme $B$ normalise $U$, tout conjugué de $U$ est de la forme $hUh^{-1}$, avec $h \in H$. Un tel sous-groupe est contenu dans le groupe $UH$, d’où $G_1 \subset UH$, par définition de $G_1$. On a alors les isomorphismes D’après l’hypothèse (3), $G_1/(G_1 \cap H)$ est égal à son groupe des commutateurs. L’hypothèse (2) montre alors que le groupe $U/(U \cap H)$, isomorphe à $G_1/(G_1 \cap H)$, est réduit à l’élément neutre. D’où $G_1 \cap H = G_1$ et $G_1 \subset H$, ce qui achève la démonstration.