Bourbaki

§ 1. Groupes de Coxeter

Dans tout ce paragraphe, on désigne par W un groupe, noté multiplicativement, d’élément neutre 1, et par S un sous-ensemble générateur de W tel que S = S^{-1} et 1 \notin S. Tout élément de W est produit d’une suite finie d’éléments de S. À partir du n° 3, on suppose que tout élément de S est d’ordre 2.

1. Longueur et décompositions réduites

Définition 1

Soit w \in W. On appelle longueur de w (par rapport à S), et l’on note l_S(w) ou simplement l(w), le plus petit entier q \geq 0 tel que w soit produit d’une suite de q éléments de S. On appelle décomposition réduite de w (par rapport à S) toute suite s = (s_1, \ldots, s_q) d’éléments de S telle que w = s_1 \ldots s_q et q = l(w).

Ainsi 1 est l’unique élément de longueur 0 et S se compose des éléments de longueur 1.

Proposition 1

Soient w et w' dans W. On a les formules:

(1) \quad l(ww') \leq l(w) + l(w') (2) \quad l(w^{-1}) = l(w) (3) \quad |l(w) - l(w')| \leq l(ww'^{-1}).

Soient (s_1, \ldots, s_p) et (s'_1, \ldots, s'_q) des décompositions réduites de w et w' respectivement; on a donc l(w) = p et l(w') = q, et comme on a ww' = s_1 \ldots s_p s'_1 \ldots s'_q, on a l(ww') \leq p + q, d’où (1). Comme S = S^{-1} et w^{-1} = s_p^{-1} \ldots s_1^{-1}, on a l(w^{-1}) \leq p = l(w); remplaçant w par w^{-1}, on obtient l’inégalité opposée l(w) \leq l(w^{-1}), d’où (2). Remplaçant w par ww'^{-1} dans (1) et (2), on obtient les relations:

(4) \quad l(w) - l(w') \leq l(ww'^{-1}), (5) \quad l(ww'^{-1}) = l(w'w^{-1});

en échangeant w et w' dans (4), on obtient l(w') - l(w) \leq l(ww'^{-1}) d’après (5), d’où (3).

Corollaire

Soient s = (s_1, \ldots, s_p) et s' = (s'_1, \ldots, s'_q) deux suites d’éléments de S telles que w = s_1 \ldots s_p et w' = s'_1 \ldots s'_q. Si la suite (s_1, \ldots, s_p, s'_1, \ldots, s'_q) est une décomposition réduite de ww′w w', alors ss est une décomposition réduite de ww et s′s' en est une de w′w'.

Par hypothèse, on a l(w)≤pl(w) \leq p, l(w′)≤ql(w') \leq q et l(ww′)=p+ql(w w') = p + q. D’après (1), on a donc l(w)=pl(w) = p et l(w′)=ql(w') = q, d’où le corollaire.

Remarque

La formule d(w,w′)=l(ww′−1)d(w, w') = l(w {w'}^{-1}) définit une distance dd sur WW, invariante par les translations à droite, en vertu des formules (1) et (2).

2. Groupes diédraux

Définition 2

On appelle groupe diédral tout groupe engendré par deux éléments d’ordre 2, distincts.

Exemple

Soit MM le groupe multiplicatif {1,−1}\{1, -1\}, et soit mm un entier ≥2\geq 2 (resp. m=∞m = \infty). On fait opérer MM sur le groupe Z/mZ\mathbf{Z}/m\mathbf{Z} (resp. sur Z\mathbf{Z}) par (−1)⋅x=−x(-1) \cdot x = -x, et l’on note DmD_m le produit semi-direct correspondant de MM par Z/mZ\mathbf{Z}/m\mathbf{Z} (resp. de MM par Z\mathbf{Z}). Les éléments de DmD_m sont donc les couples (ε,x)(\varepsilon, x) avec ε=±1\varepsilon = \pm 1 et x∈Z/mZx \in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z} (resp. x∈Zx \in \mathbf{Z}); la loi de groupe dans DmD_m est donnée par la formule:

(ε,x)⋅(ε′,x′)=(εε′,ε′x+x′). (\varepsilon, x) \cdot (\varepsilon', x') = (\varepsilon \varepsilon', \varepsilon' x + x').

On note tt la classe de 1 modulo mm (resp. t=1t = 1) et l’on pose

ρ=(−1,0),ρ′=(−1,t),π=(1,t); \rho = (-1, 0), \quad \rho' = (-1, t), \quad \pi = (1, t);

on a alors ρ2=ρ′2=1\rho^2 = {\rho'}^2 = 1 et π=ρρ′\pi = \rho \rho'. Les formules

πn=(1,nt),ρπn=(−1,nt) \pi^n = (1, n t), \quad \rho \pi^n = (-1, n t)

montrent que DmD_m est un groupe diédral engendré par {ρ,ρ′}\{\rho, \rho'\}.

Proposition 2

On suppose que SS se compose de deux éléments distincts ss et s′s' d’ordre 2.

(i) Le sous-groupe PP de WW engendré par p=ss′p = ss' est distingué, et WW est produit semi-direct du sous-groupe T={1,s}T = \{1, s\} et de PP. De plus, on a (W:P)=2(W : P) = 2.

(ii) Soit mm l’ordre (fini ou non) de pp. On a m≥2m \geq 2 et WW est d’ordre 2m2m. Il existe un unique isomorphisme φ\varphi de DmD_m sur WW tel que φ(ρ)=s\varphi(\rho) = s et φ(ρ′)=s′\varphi(\rho') = s'.

(i) On a sps−1=sss′s=s′s=p−1sps^{-1} = sss's = s's = p^{-1}, d’où

spns−1=p−n sp^n s^{-1} = p^{-n}

pour tout entier nn. Comme WW est engendré par {s,s′}\{s, s'\}, donc par {s,p}\{s, p\}, le sous-groupe PP de WW est distingué. Par suite, TP est un sous-groupe de WW; comme TP contient ss et s′=sps' = sp, on a donc W=TP=P∪sPW = TP = P \cup sP. Pour prouver (i), il suffit donc de montrer que l’on a W≠PW \neq P. Si l’on avait W=PW = P, le groupe WW serait commutatif, d’où p2=s2s′2=1p^2 = s^2 {s'}^2 = 1; les seuls éléments de W=PW = P seraient 1 n° 1.3.

et pp, contrairement à l’hypothèse que WW contient au moins trois éléments, à savoir 1,s1, s et s′s'.

(ii) Comme on a s≠s′s \neq s', on a p≠1p \neq 1, d’où m≥2m \geq 2. Comme PP est d’ordre mm et que l’on a (W:P)=2(W : P) = 2, l’ordre de WW est 2m2m. Si mm est fini (resp. infini), il existe un isomorphisme φ′\varphi' de Z/mZ\mathbf{Z}/m\mathbf{Z} (resp. Z\mathbf{Z}) sur PP appliquant π\pi sur pp; il existe de plus un isomorphisme φ′′\varphi'' de M={1,−1}M = \{1, -1\} sur TT appliquant — 1 sur ss. Le groupe WW est produit semi-direct de TT et PP; d’après les formules (9) et ρπnρ−1=π−n\rho \pi^n \rho^{-1} = \pi^{-n}, on déduit de φ′\varphi' et φ′′\varphi'' un isomorphisme φ\varphi de DmD_m sur WW tel que φ(ρ)=s\varphi(\rho) = s et φ(π)=p\varphi(\pi) = p, d’où φ(ρ′)=s′\varphi(\rho') = s'. L’unicité de φ\varphi résulte de ce que DmD_m est engendré par {ρ,ρ′}\{\rho, \rho'\}.

Remarque

Considérons un groupe diédral WW d’ordre 2m2m, engendré par deux éléments distincts ss et s′s' d’ordre 2. Désignons par sqs_q (resp. sq′s'_q) la suite de longueur qq dont les termes de rang impair (resp. pair) sont égaux à ss et les termes de rang pair (resp. impair) à s′s' et soit wqw_q (resp. wq′w'_q) le produit de la suite sqs_q (resp. sq′s'_q). On a:

w2k=(ss′)k,w2k+1=(ss′)ksw2k′=(s′s)k=(ss′)−k,w2k+1′=(s′s)ks′=(ss′)−k−1s. w_{2k} = (ss')^k, \quad w_{2k+1} = (ss')^k s \\ w'_{2k} = (s's)^k = (ss')^{-k}, \quad w'_{2k+1} = (s's)^k s' = (ss')^{-k-1}s.

Si s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q) est une décomposition réduite (par rapport à {s,s′}\{s, s'\}) d’un élément ww de WW, on a évidemment si≠si+1s_i \neq s_{i+1} pour 1≤i≤q−11 \leq i \leq q-1. Par suite, on a s=sqs = s_q ou s=sq′s = s'_q.

Si m=∞m = \infty, les éléments (ss′)n(ss')^n et (ss′)ns(ss')^n s pour n∈Zn \in \mathbf{Z} sont distincts. Par suite, les éléments wqw_q (q≥0q \geq 0) et wq′w'_q (q>0q > 0) sont distincts et si ss est une décomposition réduite de wqw_q (resp. wq′w'_q), on a nécessairement s=sqs = s_q (resp. s=sq′s = s'_q). Il en résulte que l(wq)=l(wq′)=ql(w_q) = l(w'_q) = q et que l’ensemble des décompositions réduites d’éléments de WW est l’ensemble des sqs_q et des sq′s'_q. De plus, tout élément de WW possède une seule décomposition réduite.

Supposons maintenant mm fini. Si q≥2mq \geq 2m, on a wq=wq−2mw_q = w_{q-2m} et wq′=wq−2m′w'_q = w'_{q-2m}; si m≤q≤2mm \leq q \leq 2m, on a wq=w2m−q′w_q = w'_{2m-q}, wq′=w2m−qw'_q = w_{2m-q}. Par suite, ni sqs_q ni sq′s'_q ne sont des décompositions réduites dès que q>mq > m. On en déduit que chacun des 2m2m éléments de WW est l’un des 2m2m éléments w0=w0′,wqw_0 = w'_0, w_q et wq′w'_q pour 1≤q≤m−11 \leq q \leq m-1 et wm=wm′w_m = w'_m. Ces 2m2m éléments sont donc distincts et il en résulte comme plus haut que l(wq)=l(wq′)=ql(w_q) = l(w'_q) = q pour q≤mq \leq m et que l’ensemble des décompositions réduites d’éléments de WW est l’ensemble des sqs_q et des sq′s'_q pour 0≤q≤m0 \leq q \leq m. Tout élément de WW distinct de wmw_m possède une seule décomposition réduite; wmw_m en possède deux.

3. Premières propriétés des groupes de Coxeter

Rappelons qu’à partir de maintenant, on suppose que les éléments de SS sont d’ordre 2.

Définition 3

On dit que (W,S)(W, S) est un système de Coxeter s’il satisfait à la condition suivante :

(C) Pour s,s′s, s' dans SS, soit m(s,s′)m(s, s') l’ordre de ss′ss'; soit II l’ensemble des couples (s,s′)(s, s') tels que m(s,s′)m(s, s') soit fini. L’ensemble générateur SS et les relations (ss′)m(s,s′)=1(ss')^{m(s,s')} = 1 pour (s,s′)(s, s') dans II forment une présentation (*) du groupe WW.

Lorsque (W,S)(W, S) est un système de Coxeter, on dit aussi, par abus de langage, que WW est un groupe de Coxeter.

Exemple 1

Soit mm un entier ≥2\geq 2 ou ∞\infty et soit WW un groupe défini par un ensemble générateur S={s,s′}S = \{s, s'\} et les relations s2=s′2=1s^2 = {s'}^2 = 1 lorsque m=∞m = \infty, s2=s′2=(ss′)m=1s^2 = {s'}^2 = (ss')^m = 1 lorsque mm est fini. Considérons d’autre part le groupe diédral DmD_m (n° 2, Exemple) et les éléments ρ\rho et ρ′\rho' de DmD_m définis par (7). Puisque ρ2=ρ′2=1\rho^2 = {\rho'}^2 = 1 et que (ρρ′)m=1(\rho\rho')^m = 1 lorsque mm est fini, il existe un homomorphisme ff et un seul de WW sur DmD_m tel que f(s)=ρf(s) = \rho et f(s′)=ρ′f(s') = \rho'. Comme ρρ′\rho\rho' est d’ordre mm, il en résulte que ss′ss' est lui aussi d’ordre mm. Par suite, (W,S)(W, S) est un système de Coxeter, WW est un groupe diédral d’ordre 2m2m et ff est un isomorphisme (prop. 2).

Par transport de structure, on en déduit que tout groupe diédral est un groupe de Coxeter.

Exemple 2

Soit Sn\mathfrak{S}_n le groupe symétrique de degré nn, avec n≥2n \geq 2. Soit sis_i la transposition de ii et i+1i+1 pour 1≤i<n1 \leq i < n, et soit S={s1,…,sn−1}S = \{s_1, \ldots, s_{n-1}\}. On peut montrer (§ 2, n° 4, Exemple et § 1, exerc. 4) que (Sn,S)(\mathfrak{S}_n, S) est un système de Coxeter.

Exemple 3

Pour la classification des groupes de Coxeter finis, cf. Chap. VI, § 4.

Remarque

Supposons que (W,S)(W, S) soit un système de Coxeter. Il existe un homomorphisme ε\varepsilon de WW dans le groupe {1,−1}\{1, -1\} caractérisé par ε(s)=−1\varepsilon(s) = -1 pour tous s∈Ss \in S. On dit que ε(w)\varepsilon(w) est la signature de ww; elle est égale à (−1)l(w)(-1)^{l(w)}. La formule ε(ww′)=ε(w)⋅ε(w′)\varepsilon(ww') = \varepsilon(w) \cdot \varepsilon(w') se traduit donc par l(ww′)≡l(w)+l(w′)l(ww') \equiv l(w) + l(w') mod. 2.

Proposition 3

Supposons que (W,S)(W, S) soit un système de Coxeter. Pour que deux éléments ss et s′s' de SS soient conjugués (***) dans WW, il faut et il suffit que la condition suivante soit remplie: (I) Il existe une suite finie (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) d’éléments de SS telle que s1=s,sq=s′s_1 = s, s_q = s' et que sjsj+1s_js_{j+1} soit d’ordre fini impair pour 1≤j<q1 \leq j < q.

Soient ss et s′s' dans SS tels que p=ss′p = ss' soit d’ordre fini 2n+12n + 1. D’après (9), on a sp−n=pnssp^{-n} = p^n s, d’où

pnsp−n=pnpns=p−1s=s′ss=s′, p^n s p^{-n} = p^n p^n s = p^{-1} s = s' s s = s',
et s′s' est conjugué de ss.

Pour tout ss dans SS, soit AsA_s l’ensemble des s′∈Ss' \in S satisfaisant à (I). Avec les hypothèses de (I), les éléments sjs_j et sj+1s_{j+1} sont conjugués pour 1≤j<q1 \leq j < q d’après ce qui précède, donc tout élément s′s' de AsA_s est conjugué de ss.

(*) Ceci signifie que (W,S)(W, S) satisfait à la propriété universelle suivante: étant donnés un groupe GG et une application ff de SS dans GG telle que (f(s)f(s′))m(s,s′)=1(f(s)f(s'))^{m(s,s')} = 1 pour (s,s′)(s, s') dans II, il existe un homomorphisme gg de WW dans GG prolongeant ff. Cet homomorphisme est unique car SS engendre WW. Une forme équivalente de cette définition est la suivante : soient W‾\overline{W} un groupe, ff un homomorphisme de W‾\overline{W} sur WW et hh une application de SS dans W‾\overline{W} telle que f(h(s))=sf(h(s)) = s et (h(s)h(s′))m(s,s′)=1(h(s)h(s'))^{m(s,s')} = 1 pour (s,s′)(s, s') dans II et que les h(s)h(s) (pour s∈Is \in I) engendrent W‾\overline{W}; alors ff est injectif (donc un isomorphisme de W‾\overline{W} sur WW).

(**) Rappelons que deux éléments (resp. deux sous-ensembles) d’un groupe WW sont dits conjugués s’il existe un automorphisme intérieur de WW qui transforme l’un en l’autre.

n° 1.4.

Soit ff l’application de SS dans M={1,−1}M = \{1, -1\} égale à 1 dans AsA_s et à — 1 dans S−AsS - A_s. Soient s′s' et s′′s'' dans SS tels que s′s′′s's'' soit d’ordre fini mm; on a f(s′)f(s′′)=1f(s')f(s'') = 1 si s′s' et s′′s'' sont tous deux dans AsA_s ou dans S−AsS - A_s; dans les autres cas, on a f(s′)f(s′′)=−1f(s')f(s'') = -1, mais mm est pair; on a donc (f(s′)f(s′′))m=1(f(s')f(s''))^m = 1 dans tous les cas. Comme (W,S)(W, S) est un système de Coxeter, il existe un homomorphisme gg de WW dans MM induisant ff sur SS. Soit s′s' un conjugué de ss; comme ss appartient au noyau de gg, il en est de même de s′s', d’où f(s′)=g(s′)=1f(s') = g(s') = 1 et finalement s′∈Ass' \in A_s. C.Q.F.D.

4. Décompositions réduites dans un groupe de Coxeter

Supposons que (W,S)(W, S) soit un système de Coxeter. Soit TT l’ensemble des conjugués des éléments de SS dans WW. Pour toute suite finie s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q) d’éléments de SS, on note Φ(s)\Phi(s) la suite (t1,…,tq)(t_1, \ldots, t_q) d’éléments de TT définie par :

tj=(s1…sj−1)sj(s1…sj−1)−1pour 1≤j≤q. t_j = (s_1 \ldots s_{j-1}) s_j (s_1 \ldots s_{j-1})^{-1} \quad \text{pour } 1 \leq j \leq q.

On a t1=s1t_1 = s_1 et s1…sq=tqtq−1…t1s_1 \ldots s_q = t_q t_{q-1} \ldots t_1. Pour tout élément t∈Tt \in T, on note n(s,t)n(s, t) le nombre d’entiers jj tels que 1≤j≤q1 \leq j \leq q et tj=tt_j = t. Enfin, on pose

R={1,−1}×T. R = \{1, -1\} \times T.

Lemme 1

(i) *Soient w∈Ww \in W et t∈Tt \in T. Le nombre (−1)n(s,t)(-1)^{n(s, t)} a la même valeur η(w,t)\eta(w, t) pour toutes les suites s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q) d’éléments de SS telles que w=s1…sqw = s_1 \ldots s_q.

(ii) Pour w∈Ww \in W, soit UwU_w l’application de RR dans lui-même définie par :

Uw(ε,t)=(ε⋅η(w−1,t),wtw−1)(ε=±1, t∈T). U_w(\varepsilon, t) = (\varepsilon \cdot \eta(w^{-1}, t), wt w^{-1}) \quad (\varepsilon = \pm 1, \ t \in T).

L’application w↦Uww \mapsto U_w est un homomorphisme de WW dans le groupe des permutations de RR.

Pour s∈Ss \in S, définissons une application UsU_s de RR dans lui-même par :

Us(ε,t)=(ε⋅(−1)δs,t,sts−1)(ε=±1, t∈T) U_s(\varepsilon, t) = (\varepsilon \cdot (-1)^{\delta_{s,t}}, st s^{-1}) \quad (\varepsilon = \pm 1, \ t \in T)

où δs,t\delta_{s,t} est le symbole de Kronecker. On vérifie aussitôt que Us2=IdRU_s^2 = \mathrm{Id}_R, ce qui montre que UsU_s est une permutation de RR.

Soit s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q) une suite d’éléments de SS. Posons w=sq…s1w = s_q \ldots s_1 et Us=Usq…Us1U_s = U_{s_q} \ldots U_{s_1}. Nous allons montrer, par récurrence sur qq, que l’on a :

Us(ε,t)=(ε⋅(−1)n(s,t),wtw−1). U_s(\varepsilon, t) = (\varepsilon \cdot (-1)^{n(s, t)}, wt w^{-1}).

C’est évident pour q=0,1q = 0, 1. Si q>1q > 1, posons s′=(s1,…,sq−1)s' = (s_1, \ldots, s_{q-1}) et

w′=sq−1…s1. w' = s_{q-1} \ldots s_1.

En utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient :

Us(ε,t)=Usq(ε⋅(−1)n(s′,t),w′tw′−1)=(ε⋅(−1)n(s′,t)+δsq,w′tw′−1,wtw−1) U_s(\varepsilon, t) = U_{s_q}(\varepsilon \cdot (-1)^{n(s', t)}, w't {w'}^{-1}) = (\varepsilon \cdot (-1)^{n(s', t) + \delta_{s_q, w't {w'}^{-1}}}, wt w^{-1})

Or Φ(s)=(Φ(s′),w′−1sqw′)\Phi(s) = (\Phi(s'), {w'}^{-1}s_qw') et n(s,t)=n(s′,t)+δw′−1sqw′,tn(s, t) = n(s', t) + \delta_{{w'}^{-1}s_qw', t} d’où la formule (14).

Soient alors s,s′∈Ss, s' \in S, tels que p=ss′p = ss' soit d’ordre fini mm. Soit s=(s1,…,s2m)s = (s_1, \ldots, s_{2m}) la suite d’éléments de SS définie par sj=ss_j = s pour jj impair et sj=s′s_j = s' pour jj pair. On a s2m…s1=p−m=1s_{2m} \ldots s_1 = p^{-m} = 1 et la formule (11) entraîne :

tj=pj−1spour 1≤j≤2m. t_j = p^{j-1}s \quad \text{pour } 1 \leq j \leq 2m.

Comme pp est d’ordre mm, les éléments t1,…,tmt_1, \ldots, t_m sont distincts et l’on a tj+m=tjt_{j+m} = t_j pour 1≤j≤m1 \leq j \leq m. Pour tout t∈Tt \in T, l’entier n(s,t)n(s, t) est donc égal à 0 ou à 2 et (14) montre que Us=IdRU_s = \mathrm{Id}_R. Autrement dit, on a (UsUs′)m=IdR(U_s U_{s'})^m = \mathrm{Id}_R. D’après la définition même des systèmes de Coxeter, il existe donc un homomorphisme w↦Uww \mapsto U_w de WW dans le groupe des permutations de RR tel que UsU_s soit donné par le second membre de (13). On a alors Uw=UsU_w = U_s pour toute suite s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q) telle que w=sq…s1w = s_q \ldots s_1 et le lemme 1 résulte immédiatement de (14).

Lemme 2

Soient s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q), Φ(s)=(t1,…,tq)\Phi(s) = (t_1, \ldots, t_q) et w=s1…sqw = s_1 \ldots s_q. Soit TwT_w l’ensemble des éléments t∈Tt \in T tels que η(w,t)=−1\eta(w, t) = -1. Pour que ss soit une décomposition réduite de ww, il faut et il suffit que les tit_i soient distincts; on a alors Tw={t1,…,tq}T_w = \{t_1, \ldots, t_q\} et Card(Tw)=l(w)\mathrm{Card}(T_w) = l(w).

On a évidemment Tw⊂{t1,…,tq}T_w \subset \{t_1, \ldots, t_q\}; en prenant ss réduite, on en déduit d’abord que Card(Tw)≤l(w)\mathrm{Card}(T_w) \leq l(w). De plus, si les tit_i sont distincts, n(s,t)n(s, t) est égal à 1 ou 0 suivant que tt appartient ou non à {t1,…,tq}\{t_1, \ldots, t_q\}. D’où Tw={t1,…,tq}T_w = \{t_1, \ldots, t_q\} et q=Card(Tw)≤l(w)q = \mathrm{Card}(T_w) \leq l(w), ce qui entraîne que ss est réduite. Supposons enfin que l’on ait ti=tjt_i = t_j avec i<ji < j. On en tire si=usju−1s_i = us_ju^{-1}, avec u=si+1…sj−1u = s_{i+1} \ldots s_{j-1}, d’où aussitôt

w=s1…si−1si+1…sj−1sj+1…sq, w = s_1 \ldots s_{i-1} s_{i+1} \ldots s_{j-1} s_{j+1} \ldots s_q,

ce qui montre que ss n’est pas une décomposition réduite de ww.

Lemme 3

Soient w∈Ww \in W et s∈Ss \in S tels que l(sw)≤l(w)l(sw) \leq l(w). Pour toute suite s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q) d’éléments de SS avec w=s1…sqw = s_1 \ldots s_q, il existe un entier jj tel que 1≤j≤q1 \leq j \leq q et

ss1…sj−1=s1…sj−1sj. ss_1 \ldots s_{j-1} = s_1 \ldots s_{j-1} s_j.

Soient pp la longueur de ww et w′=sww' = sw. D’après la Remarque du no 3, on a l(w′)≡l(w)+1l(w') \equiv l(w) + 1 mod. 2; l’hypothèse l(w′)≤l(w)l(w') \leq l(w) et la relation

∣l(w)−l(w′)∣≤l(ww′−1)=l(s)=1 |l(w) - l(w')| \leq l(w{w'}^{-1}) = l(s) = 1

entraînent l(w′)=p−1l(w') = p - 1. Choisissons une décomposition réduite

(s1′,…,sp−1′) (s'_1, \ldots, s'_{p-1})

n° 1.5.

de w′w' et posons s′=(s,s1′,…,sp−1′)s' = (s, s'_1, \ldots, s'_{p-1}) et Φ(s′)=(t1′,…,tp′)\Phi(s') = (t'_1, \ldots, t'_p). Il est clair que s′s' est une décomposition réduite de ww et que l’on a t1′=st'_1 = s; les éléments t1′,…,tp′t'_1, \ldots, t'_p étant distincts par le lemme 2, on a n(s′,s)=1n(s', s) = 1. Comme ww est le produit de la suite ss, on a n(s,s)≡n(s′,s)n(s, s) \equiv n(s', s) mod. 2 d’après le lemme 1, d’où n(s,s)≠0n(s, s) \neq 0; par suite, ss est égal à l’un des éléments tjt_j de la suite Φ(s)\Phi(s), d’où le lemme.

Remarque

L’ensemble TwT_w défini au lemme 2 se compose des éléments de la forme w′′sw′′−1w''s{w''}^{-1} correspondant aux triplets (w′,w′′,s)∈W×W×S(w', w'', s) \in W \times W \times S tels que w=w′′sw′w = w''sw' et l(w′)+l(w′′)+1=l(w)l(w') + l(w'') + 1 = l(w).

5. La condition d’échange

On désigne sous le nom de « condition d’échange » l’assertion suivante sur (W,S)(W, S):

(E). Soient w∈Ww \in W et s∈Ss \in S tels que l(sw)≤l(w)l(sw) \leq l(w). Pour toute décomposition réduite (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) de ww, il existe un entier jj tel que 1≤j≤q1 \leq j \leq q et

ss1…sj−1=s1…sj−1sj. ss_1 \ldots s_{j-1} = s_1 \ldots s_{j-1}s_j.

On suppose dans ce numéro que (W,S)(W, S) satisfait à (E); d’après le lemme 3, il en est ainsi si (W,S)(W, S) est un système de Coxeter. Les résultats de ce numéro s’appliquent donc aux systèmes de Coxeter.

Proposition 4

Soient s∈Ss \in S, w∈Ww \in W et s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q) une décomposition réduite de ww. Deux cas seulement sont possibles:

a) l(sw)=l(w)+1l(sw) = l(w) + 1 et (s,s1,…,sq)(s, s_1, \ldots, s_q) est une décomposition réduite de swsw. b) l(sw)=l(w)−1l(sw) = l(w) - 1 et il existe un entier jj tel que 1≤j≤q1 \leq j \leq q, que

(s1,…,sj−1,sj+1,…,sq) (s_1, \ldots, s_{j-1}, s_{j+1}, \ldots, s_q)

soit une décomposition réduite de swsw et que la suite (s,s1,…,sj−1,sj+1,…,sq)(s, s_1, \ldots, s_{j-1}, s_{j+1}, \ldots, s_q) soit une décomposition réduite de ww.

Posons w′=sww' = sw; d’après la formule (3) du n° 1, on a

∣l(w)−l(w′)∣≤l(s)=1. |l(w) - l(w')| \leq l(s) = 1.

Nous distinguerons deux cas:

a) l(w′)>l(w)l(w') > l(w). On a donc l(w′)=q+1l(w') = q + 1 et w′=ss1…sqw' = ss_1 \ldots s_q, donc

(s,s1,…,sq) (s, s_1, \ldots, s_q)

est une décomposition réduite de w′w'.

b) l(w′)≤l(w)l(w') \leq l(w). D’après (E), il existe un entier jj tel que 1≤j≤q1 \leq j \leq q, satisfaisant à (16). On a alors w=ss1…sj−1sj+1…sqw = ss_1 \ldots s_{j-1}s_{j+1} \ldots s_q, d’où

w′=s1…sj−1sj+1…sq; w' = s_1 \ldots s_{j-1}s_{j+1} \ldots s_q;

comme on a q−1≤l(w′)≤qq - 1 \leq l(w') \leq q, on a nécessairement l(w′)=q−1l(w') = q - 1 et (s1,…,sj−1,sj+1,…,sq)(s_1, \ldots, s_{j-1}, s_{j+1}, \ldots, s_q) est une décomposition réduite de w′w'.

Lemme 4

Soient w∈Ww \in W de longueur q≥1q \geq 1, DD l’ensemble des décompositions réduites de ww, et FF une application de DD dans un ensemble EE. On suppose que l’on a F(s)=F(s′)F(s) = F(s') si les éléments s=(s1,…,sq)s = (s_1, \ldots, s_q), s′=(s1′,…,sq′)s' = (s'_1, \ldots, s'_q) de DD satisfont à l’une des hypothèses suivantes :

a) On a s1=s1′s_1 = s'_1 ou sq=sq′s_q = s'_q.

b) Il existe ss et s′s' dans SS tels que sj=sk′=ss_j = s'_k = s et sk=sj′=s′s_k = s'_j = s' pour jj impair et kk pair.

Alors FF est constante.

A) Soient s,s′∈Ds, s' \in D; posons t=(s1′,s1,…,sq−1)t = (s'_1, s_1, \ldots, s_{q-1}). Nous allons montrer que si F(s)≠F(s′)F(s) \neq F(s'), on a t∈Dt \in D et F(t)≠F(s)F(t) \neq F(s). On a en effet w=s1′…sq′w = s'_1 \ldots s'_q, donc s1′w=s2′…sq′s'_1 w = s'_2 \ldots s'_q est de longueur <q< q. D’après la prop. 4, il existe un entier jj tel que 1≤j≤q1 \leq j \leq q et que la suite u=(s1′,s1,…,sj−1,sj+1,…,sq)u = (s'_1, s_1, \ldots, s_{j-1}, s_{j+1}, \ldots, s_q) appartienne à DD. On a F(u)=F(s′)F(u) = F(s') d’après la condition a); si l’on avait j≠qj \neq q, on aurait F(s)=F(u)F(s) = F(u) pour la même raison, d’où F(s)=F(s′)F(s) = F(s') contrairement à l’hypothèse. On a donc j=qj = q, d’où t=u∈Dt = u \in D et F(t)=F(s′)≠F(s)F(t) = F(s') \neq F(s).

B) Soient ss et s′s' dans DD. Pour tout entier jj avec 0≤j≤q0 \leq j \leq q, définissons une suite sjs_j de qq éléments de SS de la manière suivante :

{s0=(s1′,…,sq′)s1=(s1,…,sq)sq+1−k=(s1,s1′,…,s1,s1′,s1,s2,…,sk)pour q−k pair et 1≤k≤qsq+1−k=(s1′,s1,…,s1,s1′,s1,s2,…,sk)pour q−k impair et 1≤k≤q. \begin{cases} s_0 = (s'_1, \ldots, s'_q) \\ s_1 = (s_1, \ldots, s_q) \\ s_{q+1-k} = (s_1, s'_1, \ldots, s_1, s'_1, s_1, s_2, \ldots, s_k) & \text{pour } q - k \text{ pair et } 1 \leq k \leq q \\ s_{q+1-k} = (s'_1, s_1, \ldots, s_1, s'_1, s_1, s_2, \ldots, s_k) & \text{pour } q - k \text{ impair et } 1 \leq k \leq q. \end{cases}

Notons (Hj)(H_j) l’assertion « sj∈D,sj+1∈Ds_j \in D, s_{j+1} \in D et F(sj)≠F(sj+1)F(s_j) \neq F(s_{j+1}) ». D’après (A), on a (Hj)  ⟹  (Hj+1)(H_j) \implies (H_{j+1}) pour 0≤j<q0 \leq j < q, et (Hq)(H_q) n’est pas satisfaite d’après la condition b). Par suite, (H0)(H_0) n’est pas satisfaite. Comme s0=s′s_0 = s' et s1=ss_1 = s, il en résulte que F(s)=F(s′)F(s) = F(s').

Proposition 5

Soient MM un monoïde (avec élément unité 1) et ff une application de SS dans MM. Pour s,s′s, s' dans SS, soit m(s,s′)m(s, s') l’ordre de ss′ss'; on pose

a(s,s′)={(f(s)f(s′))lsi m(s,s′)=2l,l fini(f(s)f(s′))lf(s)si m(s,s′)=2l+1,l fini1si m(s,s′)=∞. a(s, s') = \begin{cases} (f(s) f(s'))^l & \text{si } m(s, s') = 2l, \quad l \text{ fini} \\ (f(s) f(s'))^l f(s) & \text{si } m(s, s') = 2l + 1, \quad l \text{ fini} \\ 1 & \text{si } m(s, s') = \infty. \end{cases}

Si l’on a a(s,s′)=a(s′,s)a(s, s') = a(s', s) quels que soient s≠s′s \neq s' dans SS, il existe une application gg de WW dans MM telle que

g(w)=f(s1)…f(sq) g(w) = f(s_1) \ldots f(s_q)

pour tout w∈Ww \in W et toute décomposition réduite (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) de ww.

Pour tout w∈Ww \in W, soient DwD_w l’ensemble des décompositions réduites de ww et FwF_w l’application de DwD_w dans MM définie par

Fw(s1,…,sq)=f(s1)…f(sq). F_w(s_1, \ldots, s_q) = f(s_1) \ldots f(s_q).

n° 1.6.

Nous allons prouver par récurrence sur la longueur de ww que FwF_w est constante, ce qui établira la prop. 5. Les cas l(w)=0,1l(w) = 0, 1 étant triviaux, nous supposons q≥2q \geq 2 et notre assertion prouvée pour les éléments ww avec l(w)<ql(w) < q. Soient ww de longueur qq et s,s′s, s' dans DwD_w; d’après le lemme 4, il suffit de prouver que l’on a Fw(s)=Fw(s′)F_w(s) = F_w(s') dans les cas a) et b) dudit lemme.

a) La formule

Fw(s1,…,sq)=f(s1)Fw′′(s2,…,sq)=Fw′(s1,…,sq−1)f(sq) F_w(s_1, \ldots, s_q) = f(s_1) F_{w''}(s_2, \ldots, s_q) = F_{w'}(s_1, \ldots, s_{q-1}) f(s_q)

pour w′=s1…sq−1w' = s_1 \ldots s_{q-1} et w′′=s2…sqw'' = s_2 \ldots s_q et l’hypothèse de récurrence montrent que l’on a Fw(s)=Fw(s′)F_w(s) = F_w(s') si s1=s1′s_1 = s'_1 ou sq=sq′s_q = s'_q.

b) Supposons qu’il existe deux éléments ss et s′s' de SS tels que sj=sk′=ss_j = s'_k = s et sk=sj′=s′s_k = s'_j = s' pour jj impair et kk pair. Il suffit de traiter le cas s≠s′s \neq s'. Les suites ss et s′s' sont alors deux décompositions réduites distinctes de ww dans le groupe diédral engendré par ss et s′s'. D’après la Remarque du n° 2, l’ordre mm de ss′ss' est nécessairement fini et l’on a, avec les notations de cette remarque, s=sms = s_m et s′=sm′s' = s'_m. Par suite, on a Fw(s)=a(s,s′)F_w(s) = a(s, s') et Fw(s′)=a(s′,s)F_w(s') = a(s', s), d’où

Fw(s)=Fw(s′). F_w(s) = F_w(s').

6. Caractérisation des groupes de Coxeter

Théorème 1

Pour que (W,S)(W, S) soit un système de Coxeter, il faut et il suffit qu’il satisfasse à la condition d’échange (E) du n° 5.

Le lemme 3 du n° 4 montre que tout système de Coxeter satisfait à (E).

Réciproquement, supposons (E) vérifiée. Soient GG un groupe et ff une application de SS dans GG, telle que l’on ait ∣(f(s)f(s′))∣m=1|(f(s)f(s'))|^m = 1 chaque fois que ss et s′s' appartiennent à SS et que ss′ss' est d’ordre fini mm. D’après la prop. 5, il existe alors une application gg de WW dans GG telle que l’on ait:

g(w)=f(s1)⋯f(sq) g(w) = f(s_1) \cdots f(s_q)

chaque fois que w=s1…sqw = s_1 \ldots s_q est de longueur qq. Pour prouver que (W,S)(W, S) est un système de Coxeter, il suffit de prouver que gg est un homomorphisme, ce qui est conséquence de la formule

g(sw)=f(s)g(w)pour s∈S,  w∈W g(sw) = f(s)g(w) \quad \text{pour } s \in S, \; w \in W

puisque SS engendre WW. D’après la prop. 4 du n° 5, deux cas seulement sont possibles :

a) l(sw)=l(w)+1l(sw) = l(w) + 1: si (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) est une décomposition réduite de ww, alors (s,s1,…,sq)(s, s_1, \ldots, s_q) est une décomposition réduite de swsw, d’où (21).

b) l(sw)=l(w)−1l(sw) = l(w) - 1: posons w′=sww' = sw; on a w=sw′w = sw' et l(sw′)=l(w′)+1l(sw') = l(w') + 1. D’après a), on a donc g(w)=f(s)g(sw)g(w) = f(s)g(sw), d’où f(s)g(w)=g(sw)f(s)g(w) = g(sw) puisque l’on a (f(s))2=1(f(s))^2 = 1.

7. Familles de partitions

Supposons que (W, S) soit un système de Coxeter. Pour tout s dans S, notons P_s l’ensemble des éléments w de W tels que l(sw)>l(w)l(sw) > l(w). On a les propriétés suivantes :

(A) On a ⋂s∈SPs={1}\bigcap_{s \in S} P_s = \{1\}.

En effet, soit w≠1w \neq 1 dans W et soit (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) une décomposition réduite de w. On a q≥1q \geq 1, et (s2,…,sq)(s_2, \ldots, s_q) est une décomposition réduite de s1ws_1w, d’où l(w)=ql(w) = q et l(s1w)=q−1l(s_1w) = q - 1. On a donc w∉Ps1w \notin P_{s_1}.

(B) Pour tout s dans S, les ensembles PsP_s et sPssP_s forment une partition de W.

Soient w∈Ww \in W et s∈Ss \in S. D’après la prop. 4 du n° 5, on doit distinguer deux cas : a) l(sw)=l(w)+1l(sw) = l(w) + 1: on a alors w∈Psw \in P_s. b) l(sw)=l(w)−1l(sw) = l(w) - 1: posons w′=sww' = sw d’où w=sw′w = sw'; on a alors

l(w′)<l(sw′) l(w') < l(sw')
d’où w′∈Psw' \in P_s, c’est-à-dire w∈sPsw \in sP_s.

(C) Soient s, s' dans S et w dans W. Si l’on a w∈Psw \in P_s et ws′∉Psws' \notin P_s, on a sw=ws′sw = ws'.

Soit q la longueur de w. De w∈Psw \in P_s, on déduit l(sw)=q+1l(sw) = q + 1; de ws′∉Psws' \notin P_s, on déduit l(sws′)=l(ws′)−1≤ql(sws') = l(ws') - 1 \leq q et comme on a l(sws′)=l(sw)±1l(sws') = l(sw) \pm 1, on a finalement l(ws′)=q+1l(ws') = q + 1 et l(sws′)=ql(sws') = q.

Soient (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) une décomposition réduite de w et sq+1=s′s_{q+1} = s'; alors (s1,…,sq,sq+1)(s_1, \ldots, s_q, s_{q+1}) est une décomposition réduite de l’élément ws′ws' de longueur q+1q + 1. D’après la condition d’échange, il existe un entier j avec 1≤j≤q+11 \leq j \leq q + 1 tel que

ss1…sj−1=s1…sj. ss_1 \ldots s_{j-1} = s_1 \ldots s_j.
Si l’on avait 1≤j≤q1 \leq j \leq q, on aurait sw=s1…sj−1sj+1…sqsw = s_1 \ldots s_{j-1}s_{j+1} \ldots s_q contrairement à la formule l(sw)=q+1l(sw) = q + 1. On a donc j=q+1j = q + 1, et la formule (22) s’écrit alors sw=ws′sw = ws'.

Réciproquement, on a le résultat suivant :

Proposition 6

Soit* (Ps)s∈S(P_s)_{s \in S} une famille de parties de W satisfaisant à (C) et aux conditions suivantes :

(A') On a 1∈Ps1 \in P_s pour tout s∈Ss \in S. (B') Les ensembles PsP_s et sPssP_s sont disjoints pour tout s∈Ss \in S. Alors, (W, S) est un système de Coxeter et PsP_s se compose des éléments w de W tels que l(sw)>l(w)l(sw) > l(w).

Soient s∈Ss \in S et w∈Ww \in W. De deux choses l’une : a) w∉Psw \notin P_s. Soient (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) une décomposition réduite de w et

wf=s1…sf w_f = s_1 \ldots s_f

n° 1.8.

pour 1≤j≤q1 \leq j \leq q; on pose aussi w0=1w_0 = 1. Comme on a w0∈Psw_0 \in P_s d’après (A’) et que w=wqw = w_q n’est pas dans PsP_s, il existe un entier jj avec 1≤j≤q1 \leq j \leq q tel que wj−1∈Psw_{j-1} \in P_s et que wj=wj−1sjw_j = w_{j-1}s_j n’appartienne pas à PsP_s. D’après (C), on a donc

swj−1=wj−1sj. sw_{j-1} = w_{j-1}s_j.

On a donc prouvé la formule

ss1…sj−1=s1…sj−1sj ss_1 \ldots s_{j-1} = s_1 \ldots s_{j-1}s_j

qui entraîne sw=s1…sj−1sj+1…sqsw = s_1 \ldots s_{j-1}s_{j+1} \ldots s_q et l(sw)<l(w)l(sw) < l(w).

b) w∈Ps:b) \ w \in P_s : posons w′=sww' = sw, d’où w′∉Psw' \notin P_s d’après (B’). D’après a), on a alors l(sw′)<l(w′)l(sw') < l(w'), c’est-à-dire l(w)<l(sw)l(w) < l(sw).

La comparaison de a) et b) prouve que PsP_s se compose des w∈Ww \in W tels que l(sw)>l(w)l(sw) > l(w). La condition d’échange résulte de ce qui a été vu en a), donc (W,S)(W, S) est un système de Coxeter (th. 1 du n° 6).

8. Sous-groupes des groupes de Coxeter

Dans ce numéro, on suppose que (W,S)(W, S) est un système de Coxeter. Pour toute partie XX de SS, on note WXW_X le sous-groupe de WW engendré par XX.

Proposition 7

Soit ww dans WW. Il existe une partie SwS_w de SS telle que l’on ait {s1,…,sq}=Sw\{s_1, \ldots, s_q\} = S_w pour toute décomposition réduite (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) de ww.

On note MM le monoïde formé des parties de SS avec la loi de composition (A,B)↦A∪B(A, B) \mapsto A \cup B; l’élément neutre de MM est ∅\varnothing. On pose f(s)={s}f(s) = \{s\} pour s∈Ss \in S. Nous allons appliquer la prop. 5 du n° 5 à MM et ff; on a a(s,s′)={s,s′}a(s, s') = \{s, s'\} pour s,s′s, s' dans SS si m(s,s′)m(s, s') est fini, et il existe donc une application g:w↦Swg : w \mapsto S_w de WW dans MM telle que g(w)=f(s1)∪⋯∪f(sq)g(w) = f(s_1) \cup \cdots \cup f(s_q), c’est-à-dire Sw={s1,…,sq}S_w = \{s_1, \ldots, s_q\} pour tout w∈Ww \in W et toute décomposition réduite (s1,…,sq)(s_1, \ldots, s_q) de ww.

Corollaire 1

Pour toute partie XX de SS, le sous-groupe WXW_X de WW se compose des éléments ww de WW tels que Sw⊂XS_w \subset X.

Si w=s1…sqw = s_1 \ldots s_q avec s1,…,sqs_1, \ldots, s_q dans SS, on a w−1=sq…s1w^{-1} = s_q \ldots s_1; on en déduit

Sw−1=Sw. S_{w^{-1}} = S_w.

La prop. 4 du n° 5 montre que l’on a Ssw′⊂{s}∪Sw′S_{sw'} \subset \{s\} \cup S_{w'} pour s∈Ss \in S et w′∈Ww' \in W, d’où la formule

Sww′⊂Sw∪Sw′ S_{ww'} \subset S_w \cup S_{w'}

par récurrence sur la longueur de ww. D’après (23) et (24), l’ensemble UU des w∈Ww \in W tels que Sw⊂XS_w \subset X est un sous-groupe de WW; on a X⊂U⊂WXX \subset U \subset W_X, d’où U=WXU = W_X.

Corollaire 2

Pour toute partie XX de SS, on a WX∩S=XW_X \cap S = X.

Cela résulte du cor. 1 et de la formule Ss={s}S_s = \{s\} pour ss dans SS.

Corollaire 3

L’ensemble S est un ensemble générateur minimal de W. Si X ⊂ S engendre W, on a W = W_X, d’où X = S ∩ W_X = S d’après le cor. 2.

Corollaire 4

Pour toute partie X de S et tout w dans W_X, la longueur de w par rapport à l’ensemble générateur X de W_X est égale à l_S(w). Soit (s_1, ..., s_q) une décomposition réduite de w considéré comme élément de W; on a w = s_1 ... s_q et s_j ∈ X pour 1 ≤ j ≤ q (cor. 1); par ailleurs, w ne peut être produit de q' < q éléments de X ⊂ S par définition de q = l_S(w).

Théorème 2

(i) Pour toute partie X de S, le couple (W_X, X) est un système de Coxeter. (ii) Soit (X_i)_{i ∈ I} une famille de parties de S. Si X = ⋂_{i ∈ I} X_i, on a W_X = ⋂_{i ∈ I} W_{X_i}. (iii) Soient X et X' deux parties de S. On a W_X ⊂ W_{X'} (resp. W_X = W_{X'}) si et seulement si l’on a X ⊂ X' (resp. X = X').

Tout élément de X est d’ordre 2 et X engendre W_X. Soient x ∈ X et w ∈ W_X avec l_X(xw) ≤ l_X(w) = q. D’après le cor. 4 de la prop. 7, on a donc

lS(xw)≤lS(w)=q. l_S(xw) \leq l_S(w) = q.
Soient x_1, ..., x_q des éléments de X tels que w = x_1 ... x_q ; comme (W, S) satisfait à la condition d’échange (th. 1 du n° 6), il existe un entier j tel que 1 ≤ j ≤ q et xx_1 ... x_{j-1} = x_1 ... x_{j-1}x_j. Par suite, (W_X, X) satisfait à la condition d’échange, donc c’est un système de Coxeter (th. 1 du n° 6). D’où (i). Les assertions (ii) et (iii) résultent immédiatement du cor. 1 de la prop. 7.

9. Matrices et graphes de Coxeter

Définition 4

Soit I un ensemble. On appelle matrice de Coxeter de type I toute matrice carrée symétrique M = (m_{ij})_{i,j ∈ I} dont les éléments sont des entiers ou +∞ satisfaisant aux relations: (25) mii=1m_{ii} = 1 pour tout i∈Ii \in I; (26) mij≥2m_{ij} \geq 2 pour i,j∈Ii, j \in I avec i≠ji \neq j.

On appelle (par abus de langage) graphe de Coxeter de type I un couple formé d’un graphe Γ (*) ayant I comme ensemble de sommets et d’une application f de l’ensemble des arêtes de ce graphe dans l’ensemble formé de +∞ et des entiers ≥ 3. On dit que Γ est le graphe sous-jacent au graphe de Coxeter (Γ, f).

A toute matrice de Coxeter M de type I, on associe un graphe de Coxeter (Γ, f) de la manière suivante: le graphe Γ a pour ensemble de sommets I et pour ensemble d’arêtes les parties {i, j} de I telles que m_{i,j} ≥ 3, l’application f associe à l’arête {i, j} l’élément correspondant m_{ij} de M.

(*) Voir l’annexe pour la définition et les propriétés des graphes utilisées ici.

Il est clair que l’on obtient ainsi une bijection de l’ensemble des matrices de Coxeter de type I sur l’ensemble des graphes de Coxeter de type I.

Pour faciliter la lecture des raisonnements, on représente souvent un graphe de Coxeter de type I par la figure utilisée pour représenter son graphe sous-jacent, où l’on inscrit en outre à côté ou au-dessus de chaque arête {i, j} le nombre f({i, j}). On omet généralement d’inscrire ceux de ces nombres qui sont égaux à 3.

Si (W, S) est un système de Coxeter, la matrice M=(m(s,s′))s,s′∈SM = (m(s, s'))_{s, s' \in S}, où m(s,s′)m(s, s') est l’ordre de ss', est une matrice de Coxeter de type S, que l’on appelle la matrice de (W, S) : on a en effet m(s,s)=1m(s, s) = 1 puisque s2=1s^2 = 1 pour tout s∈Ss \in S, et m(s,s′)=m(s′,s)≥2m(s, s') = m(s', s) \geq 2 si s≠s′s \neq s' puisque ss′=(s′s)−1ss' = (s's)^{-1} est alors ≠1\neq 1. Le graphe de Coxeter (Γ,f\Gamma, f) associé à MM s’appelle le graphe de Coxeter de (W, S). Remarquons que deux sommets s et s' de Γ\Gamma sont liés si et seulement si s et s' ne commutent pas. Par exemple, la matrice de Coxeter d’un groupe diédral d’ordre 2m2m est (1mm1)\begin{pmatrix} 1 & m \\ m & 1 \end{pmatrix} et son graphe de Coxeter est représenté par

lorsque m≥3m \geq 3 (ou

si m=3m = 3) et par

lorsque m=2m = 2. *Le graphe de Coxeter du groupe symétrique Sn\mathfrak{S}_n est représenté par

∘⋯∘(n−1 sommets). \circ \cdots \circ \quad (n - 1 \text{ sommets}).

On montrera plus tard (chap. V, § 4) que réciproquement toute matrice de Coxeter est la matrice d’un système de Coxeter.

On dit qu’un système de Coxeter (W, S) est irréductible si le graphe Γ\Gamma sous-jacent au graphe de Coxeter associé est connexe (Annexe, no 2) et non vide. Il revient au même de dire que S est non vide et qu’il n’existe pas de partition de S en deux ensembles S' et S'' distincts de S tels que tout élément de S' commute avec tout élément de S''. Plus généralement, soit (Γi)i∈I(\Gamma_i)_{i \in I} la famille des composantes connexes de Γ\Gamma (Annexe, no 2) et soit SiS_i l’ensemble des sommets de Γi\Gamma_i. Soit Wi=WSiW_i = W_{S_i} le sous-groupe de W engendré par SiS_i (cf. no 8). Alors les (Wi,Si)(W_i, S_i) sont des systèmes de Coxeter irréductibles (no 8, th. 2) qu’on appelle les composantes irréductibles de (W, S). De plus, le groupe W est produit direct restreint (*) des

(*) On dit qu’un groupe G est produit direct restreint d’une famille (Gi)i∈I(G_i)_{i \in I} de sous-groupes si, pour toute partie finie J de I, le sous-groupe GJG_J de G engendré par les GiG_i pour i∈Ji \in J est produit direct des GiG_i pour i∈Ji \in J, et si G est la réunion des GjG_j. Il revient au même de dire que tout élément de GiG_i commute avec tout élément de GjG_j pour i≠ji \neq j et que tout élément de G s’écrit d’une manière et d’une seule comme produit ∏i∈Igi\prod_{i \in I} g_i avec gi∈Gig_i \in G_i et gi=1g_i = 1 sauf pour un nombre fini d’indices. Cette dernière condition équivaut à dire que G est engendré par la réunion des GiG_i et que Gi∩Gj={1}G_i \cap G_j = \{ 1 \} pour tout i∈Ii \in I et toute partie finie J⊂IJ \subset I telle que i∉Ji \notin J.

sous-groupes WiW_i pour i∈Ii \in I. Cela résulte en effet de la proposition plus générale suivante :

Proposition 8

Soit* (Si)i∈I(S_i)_{i \in I} une partition de S, telle que tout élément de Si commute avec tout élément de S_j pour i \neq j*. Pour tout i \in I, soit WiW_i le sous-groupe engendré par Si*. Alors W est produit direct restreint de la famille (Wi)i∈I(W_i)_{i \in I}.

Il est clair que pour tout i∈Ii \in I, le sous-groupe Wi′W'_i engendré par la réunion des WjW_j pour j≠ij \neq i est aussi engendré par Si′=⋃j≠iSjS'_i = \bigcup_{j \neq i} S_j. On a donc

Wi∩Wi′=Wo={1}, W_i \cap W'_i = W_o = \{1\},

d’après le th. 2 du n° 8. Comme W est engendré par la réunion des WiW_i, cela démontre la proposition.

Exercices

See the exercises for § 1.

Transcribed from the printed volume. Not translated.