Exercice 22, § 2

Soient $G$ un groupe et $B$ un sous-groupe de $G$.

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $B \cap gBg^{-1}$ est d’indice fini dans $B$ pour tout $g \in G$;

(ii) toute double classe $BgB$ suivant $B$ est réunion finie de classes à gauche suivant $B$. Plus précisément, montrer que, pour tout $g \in G$, l’indice $q_g$ de $B \cap gBg^{-1}$ dans $B$ est égal au nombre de classes à gauche suivant $B$ contenues dans la double classe $BgB$. Montrer que $q_{gh} \leq q_g \cdot q_h$ pour tous $g, h \in G$.

On suppose désormais que les conditions (i) et (ii) sont vérifiées et on note $k$ un anneau commutatif. Pour $t \in G/B$ (resp. $t \in B\backslash G/B$), on note $a_t$ l’application de $G$ dans $k$ définie par $a_t(g) = 0$ si $g \notin t$ et $a_t(g) = 1$ si $g \in t$. Soit $L$ (resp. $H$) le $k$-module engendré par les $a_t$ pour $t \in G/B$ (resp. $t \in B\backslash G/B$).

b) Montrer qu’il existe une forme linéaire $\mu$ et une seule sur $L$ telle que $\mu(a_t) = 1$ pour tout $t \in G/B$.

c) Soient $\varphi \in L$ et $\psi \in H$. Montrer que, pour tout $x \in G$, l’application

appartient à $L$ et que l’application $\varphi * \psi : x \mapsto \mu(\theta_x)$ appartient à $L$. Si de plus $\varphi \in H$, alors $\varphi * \psi \in H$. Montrer que l’application $(\varphi, \psi) \mapsto \varphi * \psi$ munit $H$ d’une structure d’algèbre sur $k$, admettant $a_B$ comme élément unité, et munit $L$ d’une structure de $H$-module à droite.

On dit que l’algèbre $H$ est l’algèbre de Hecke de $G$ par rapport à $B$ et on la note $H_k(G, B)$.

d) Montrer que, pour $t, t' \in B \setminus G/B$, on a :

où $m(t, t'; t'')$ est le nombre de classes suivant $B$ contenues dans $t \cap g {t'}^{-1}$ pour tout $g \in t''$.

e) On fait opérer $G$ dans $L$ par les translations à gauche. Montrer que l’action de $H$ dans $L$ définit un isomorphisme de $H$ sur le commutant de la représentation linéaire de $G$ dans $L$ ainsi obtenue.

f) On suppose que $G$ est fini et que la caractéristique de $k$ ne divise pas le cardinal de $G$. Montrer que $H_k(G, B)$ est absolument semi-simple sur $k$ (Alg.*, chap. VIII, § 7, n° 5) (utiliser le théorème de Maschke (chap. V, Annexe) et la prop. 3 d’*Alg.*, chap. VIII, § 5, n° 1) *.

g) On suppose que $G$ est un groupe topologique et $B$ un sous-groupe ouvert et compact de $G$. Montrer que les conditions (i) et (ii) sont vérifiées et que, lorsque $k = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, le produit $\varphi * \psi$ n’est autre que le produit de convolution relatif à la mesure de Haar à droite sur $G$, normalisée par la condition $\mu(B) = 1$ (cf. Intégr., chap. VIII, § 4, n° 5).