Bài tập 11, § 10

Cho A là một vành giao hoán, B là một đại số trên A, và M là một B-môđun Artin. Giả sử môđun M sinh hữu hạn.

a) Chứng minh rằng vành $B_M$ là Artin trái (sử dụng Mệnh đề 6 của VIII, p. 9), rồi rằng B-môđun M có độ dài hữu hạn.

b) Chứng minh rằng nếu M là một B-môđun đơn, thì A-môđun M là đẳng kiểu (suy ra từ Bổ đề 1 của VIII, p. 81 rằng hạt nhân của đồng cấu $A\rightarrow$ End$_B(M)$ là một iđêan cực đại).

c) Kết luận rằng M là một A-môđun có độ dài hữu hạn.