Exercice 11, § 10

Soient A un anneau commutatif, B une A-algèbre, M un B-module artinien ; on suppose que le A-module M est de type fini.

a) Prouver que l’anneau $B_M$ est artinien à gauche (utiliser la prop. 6 de VIII, p. 8), puis que le B-module M est de longueur finie.

b) Si M est un B-module simple, démontrer que le A-module M est isotypique (déduire du lemme 1 de VIII, p. 77 que le noyau de l’homomorphisme $A\rightarrow$ End$_B(M)$ est un idéal maximal).

c) Conclure que M est un A-module de longueur finie.