Giả sử M có độ dài hữu hạn $d$. Khi đó mọi dãy tăng ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt của các môđun con của M có nhiều nhất $d+ 1$ số hạng (I, §4, No. 7, p. 44). Do đó, M là Artin và Noether.

Ngược lại, giả sử M là Artin và Noether. Cho $\mathscr{S}$ là tập hợp các môđun con của M có độ dài hữu hạn. Môđun con không là một phần tử của $\mathscr{S}$, và vì M là Noether, $\mathscr{S}$ có một phần tử cực đại N. Ta hãy chứng minh bằng phản chứng và giả sử rằng $M\not= N$. Khi đó, tập hợp các môđun con của M phân biệt với N và chứa N có một phần tử cực tiểu P vì M là Artin. Môđun $P/N$ có độ dài 1, và vì N là một môđun có độ dài hữu hạn, điều tương tự cũng đúng với P (II, §1, No. 10, p. 212, Mệnh đề 16). Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của N.

Bắt đầu bằng cách giả sử rằng mọi môđun con của M đều sinh hữu hạn. Cho $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy tăng các môđun con của M, và cho P là hợp của dãy này. Đây là một môđun con của M. Theo giả thiết, tồn tại một tập con hữu hạn F của M sinh môđun P; cho $n\in \mathbf{N}$ là một số nguyên sao cho $F\subset P_n$. Khi đó ta có $P_n= P$, và dãy $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là dừng. Điều này chứng minh rằng môđun M là Noether.

Đảo lại là một hệ quả của mệnh đề chính xác hơn sau đây.

Thật vậy, theo VIII, p. 2, tồn tại một tập con hữu hạn F của E sao cho $\sum_{x\in E}Ax=\sum_{x\in F}Ax$.

Ta sẽ đưa ra chứng minh trong trường hợp các môđun Artin; trường hợp các môđun Noether là tương tự.

Giả sử M là Artin. Vì mọi môđun con của N đều là môđun con của M, nên môđun N là Artin. Cho $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy giảm các môđun con của $M/N$. Tồn tại một dãy giảm $(Q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các môđun con của M chứa N sao cho $P_n= Q_n/N$ với mọi $n\in \mathbf{N}$ (I, §4, No. 6, p. 41, Định lý 4). Vì M là Artin, dãy $(Q_n)$ dừng, do đó dãy $(P_n)$ cũng dừng. Do đó, môđun $M/N$ là Artin.

Ngược lại, giả sử các môđun N và $M/N$ là Artin, và xét một dãy giảm $(P_n)$ các môđun con của M. Dãy $P'_n= N\cap P_n$ các môđun con của N là dừng. Tương tự, dãy $P''_n= (N + P_n)/N$ các môđun con của $M/N$ là dừng. Do đó, tồn tại một số nguyên $m\in \mathbf{N}$ sao cho ta có $P'_n= P'_m$ và $P''_n= P''_m$ với mọi số nguyên $n\geqslant m$. Khi đó, dãy $(P_n)$ là dừng theo bổ đề sau.

Cho $x$ là một phần tử của Q. Nó thuộc N + P; do đó, tồn tại một phần tử $y$ của P sao cho $x-y\in N$. Vì Q chứa P, hiệu $x-y$ thuộc $N\cap Q$ và vì thế thuộc P. Do đó, $x$ thuộc P.

a) Nếu các môđun $M_i$ là Artin (resp. Noether), thì tổng của chúng $\sum_{i\in I}M_i$ cũng vậy.

b) Nếu các môđun $M/M_i$ là Artin (resp. Noether), thì môđun $M/\bigcap_{i\in I}M_i$ cũng vậy.

Theo quy nạp, chỉ cần xét trường hợp $I =\{1,2\}$. Môđun $M_2/(M_1\cap M_2)$, là thương của $M_2$, đẳng cấu với môđun con $(M_1+M_2)/M_1$ của $M/M_1$ (I, §4, No. 6, p. 41, Định lý 4).

Trong phần a), ta giả sử rằng $M_1$ và $(M_1+ M_2)/M_1$ là Artin (resp. Noether); khi đó điều đó cũng đúng với $M_1+ M_2$ (Mệnh đề 3).

Trong phần b), ta giả sử rằng $M/M_2$ và $M_2/(M_1\cap M_2)$ là Artin (resp. Noether); khi đó điều đó cũng đúng với $M/(M_1\cap M_2)$ (loc. cit.).

Ta sẽ dùng bổ đề sau trong chứng minh.

Ta dùng quy nạp theo $n$. Trước hết, giả sử $n= 1$. Nếu M không có độ dài hữu hạn, thì ta có thể xây dựng một dãy $(M_m)_{m\in\mathbf{N}}$ các môđun con của M có độ dài 1 sao cho $M_m\not\subset (\sum_{i<m}M_i)$ với mọi $m\in \mathbf{N}$. Khi đó ta sẽ có $M_m\cap \sum_{i<m}M_i= 0$ với mọi $m$, và tổng của họ $(M_m)_{m\in\mathbf{N}}$ sẽ là trực tiếp. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với việc A-môđun M là Artin (VIII, p. 2, Ví dụ 2).

Bây giờ, giả sử $n\geqslant 2$. Cho $(M_i)_{i\in I}$ là một họ các môđun con của M có độ dài $\leqslant n$ với tổng là M. Với mọi $i\in I$, chọn một môđun con $M'_i$ của $M_i$ có độ dài $\leqslant n-1$ sao cho $M_i/M'_i$ có độ dài $\leqslant 1$. Đặt $M'=\sum M'_i$, và ký hiệu ảnh của $M_i$ trong $M''= M/M'$ bởi $M''_i$. Các môđun $M''_i$ có độ dài $\leqslant 1$, và tổng của chúng là $M''$. Các môđun $M'$ và $M''$ là Artin (VIII, p. 3, Mệnh đề 3); theo giả thiết quy nạp, chúng có độ dài hữu hạn. Do đó, M có độ dài hữu hạn (II, §1, No. 10, p. 212, Mệnh đề 16).

Bây giờ chứng minh Định lý 1. Ký hiệu $\mathscr{S}$ là tập hợp các iđêan trái $\mathfrak{a}$ của A sao cho môđun $A_s/\mathfrak{a}$ có độ dài hữu hạn. Cho $(\mathfrak{a}_i)_{i\in I}$ là một họ hữu hạn các phần tử của $\mathscr{S}$. Theo Mệnh đề 1 của VIII, p. 2, A-môđun $A_s/\mathfrak{a}_i$ là Artin và Noether với mọi $i\in I$. Do đó, $A_s/\bigcap_{i\in I}\mathfrak{a}_i$ là Artin và Noether (VIII, p. 4, Hệ quả của Mệnh đề 3), nên có độ dài hữu hạn (VIII, p. 2, Mệnh đề 1). Điều này chứng minh rằng $\mathscr{S}$ là một tập có hướng trái theo quan hệ bao hàm. Vì vành A là Artin trái, tập hợp $\mathscr{S}$ có một phần tử bé nhất $\mathfrak{b}$. Ta ký hiệu độ dài của A-môđun $A_s/\mathfrak{b}$ là $n$.

Cho $x$ là một phần tử của $A_s$ và $\mathfrak{a}$ là linh hóa tử của nó (II, §1, No. 12, p. 219). A-môđun $Ax$ đẳng cấu với $A_s/\mathfrak{a}$. Nếu $Ax$ có độ dài hữu hạn, thì $\mathfrak{a}$ thuộc $\mathscr{S}$, nên $\mathfrak{a}$ chứa $\mathfrak{b}$ và $Ax$ có độ dài $\leqslant n$. Do đó, mọi iđêan trái đơn sinh của A có độ dài hữu hạn đều có độ dài $\leqslant n$. Gọi $\mathfrak{c}$ là tổng của các iđêan ấy; đó là một iđêan trái của A, có độ dài hữu hạn theo Bổ đề 3. Mọi iđêan trái của A có độ dài hữu hạn đều là tổng của các iđêan trái đơn sinh có độ dài hữu hạn và vì thế được chứa trong $\mathfrak{c}$. Suy ra, $\mathfrak{c}$ là iđêan trái lớn nhất của A có độ dài hữu hạn.

Nếu $\mathfrak{c}$ khác A, thì tập hợp các iđêan trái của A chứa $\mathfrak{c}$ và phân biệt với $\mathfrak{c}$ sẽ có một phần tử cực tiểu $\mathfrak{c}'$. Khi đó A-môđun $\mathfrak{c}'/\mathfrak{c}$ sẽ có độ dài 1, và $\mathfrak{c}'$ sẽ có độ dài hữu hạn, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của $\mathfrak{c}$. Vậy $\mathfrak{c}= A$; A-môđun $A_s$ có độ dài hữu hạn.

Cho A là một vành Artin trái. Theo Định lý 1, A-môđun $A_s$ có độ dài hữu hạn. Khi đó ta áp dụng Mệnh đề 1 của VIII, p. 2.

Cho A là một vành Artin trái (tương ứng phải); độ dài của A-môđun $A_s$ (tương ứng $A_d$) (I, §4, No. 7, p. 44) được gọi là độ dài trái (tương ứng phải) của vành A. Khi A là một vành Artin giao hoán, hai độ dài này trùng nhau và được gọi đơn giản là độ dài của A. Khi A là Artin trái và phải nhưng không giao hoán, độ dài trái và độ dài phải của A không nhất thiết bằng nhau (VIII, p. 14, Bài tập 3).

b) Cho A là một vành Artin trái và M một A-môđun trái. Các tính chất sau là tương đương: môđun M sinh hữu hạn; môđun M là Artin; môđun M có độ dài hữu hạn; môđun M là Noether.

Ta hãy chứng minh a). Mọi môđun con đơn sinh của M đều đẳng cấu với một thương của $A_s$, nên là Noether theo Mệnh đề 3 của VIII, p. 3. Môđun M là một tổng hữu hạn của các môđun con như vậy; do đó nó là Noether theo hệ quả (VIII, p. 4) của Mệnh đề 3. Khi đó mọi môđun con của M đều sinh hữu hạn (VIII, p. 3, Mệnh đề 2)

Bây giờ, giả sử rằng vành A là Artin trái. Ta thấy, như trong tiết diện trước, rằng nếu A-môđun M sinh hữu hạn thì nó là Artin. Nếu nó là Artin, thì nó có độ dài hữu hạn: thật vậy, các môđun con đơn sinh của nó đẳng cấu với các thương của $A_s$ và do đó có độ dài hữu hạn nhỏ hơn độ dài của $A_s$, và mệnh đề suy ra từ Bổ đề 3. Mọi môđun có độ dài hữu hạn đều là Noether, và mọi môđun Noether đều sinh hữu hạn. Điều này chứng minh b).

b) Cho A là một vành Artin trái (tương ứng, Noether trái), và cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía của A; vành $A/\mathfrak{a}$ là Artin trái (tương ứng, Noether trái).

c) Cho $(A_i)_{i\in I}$ là một họ các vành Artin trái (tương ứng, Noether trái). Vành $\prod_{i\in I}A_i$ là Artin trái (tương ứng, Noether trái).

Ta sẽ xét trường hợp các vành Artin; trường hợp các vành Noether là tương tự.

Ta chứng minh a). Theo Mệnh đề 4, vành $B_s$ là một A-môđun trái Artin và a fortiori là một B-môđun trái Artin.

Mệnh đề b) suy ra từ mệnh đề a) áp dụng cho đồng cấu chính tắc từ A đến $A/\mathfrak{a}$.

Ta chứng minh c). Đặt $A =\prod_{i\in I}A_i$. Theo giả thiết, $(A_i)_s$ là một $A_i$-môđun trái Artin và a fortiori là một A-môđun trái Artin. Theo Ví dụ 5 của VIII, p. 4, A-môđun $A_s$ là Artin.

Trong mọi vành giao hoán, một iđêan cực đại là nguyên tố. Cho A là một vành giao hoán Artin. Cho $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của A. Vành $A/\mathfrak{p}$ là một miền nguyên và là Artin (Mệnh đề 5), nên là một trường (VIII, p. 5, Ví dụ 3). Do đó iđêan $\mathfrak{p}$ là cực đại.

Vành đa thức $\mathbf{Q}[(X_n)_{n\in\mathbf{N}}]$ là một miền nguyên; nó không Noether (hay Artin) (VIII, p. 15, Bài tập 9). Nó là một vành con của trường phân thức của nó, trường này là một vành Artin (và Noether).

Đặt E = End$_A(M)$. Gọi $(x_1, . . . , x_m)$ là một họ sinh hữu hạn của E-môđun M. Ánh xạ $\varphi :a\mapsto (ax_1, . . . , ax_m)$ từ $(A_M)_s$ vào $M^m$ là $A_M$-tuyến tính. Gọi $a$ là một phần tử của $A_M$ sao cho $\varphi (a) = 0$. Tập hợp các phần tử $x$ của M sao cho $ax= 0$ là một E-môđun con của M chứa $x_1, . . . , x_m$ và do đó bằng M, suy ra $a= 0$.

Điều này suy ra từ Bổ đề 4 và Mệnh đề 3 của VIII, p. 3.

a) Cho M là một A-môđun Noether. Vành $A_M$ là Noether.

b) Cho M là một A-môđun có độ dài hữu hạn. Vành $A_M$ là Artin.

Cho M là một A-môđun. Dưới các giả thiết của a) hoặc b), A-môđun M là sinh hữu hạn. Vì A là giao hoán, $A_M$ được chứa trong vành End$_A$(M), do đó môđun đối của M là sinh hữu hạn. Khi đó chỉ cần áp dụng Mệnh đề 6.

a) Phép cộng trong vành này là phép cộng thông thường của A[X].

b) Phép nhân trong vành này mở rộng phép nhân của A.

c) Tích trong vành này của một dãy $(a,X, . . . ,X)$, gồm một phần tử $a$ của A tiếp theo sau là $n$ số hạng bằng X, là đa thức $aX^n$.

d) Trong vành này, ta có $Xa=\sigma (a)X +d(a)$ với mọi $a\in A$.

Cho E là vành các tự đồng cấu của nhóm cộng A[X]. Ánh xạ gửi $a\in A$ tới phép vị tự $a_M$ của A-môđun trái M = A[X] là một đồng cấu vành từ A vào E. Xét các phần tử $u,\sigma_M$, và $d_M$ của E được xác định bởi $u(\sum b_nX^n) =\sum b_nX^{n+1},\sigma_M(\sum b_nX^n) =\sum\sigma (b_n)X^n$, $d_M(\sum b_nX^n) =\sum d(b_n)X^n$. Với mọi $a\in A$, ta có

Đặt

Suy ra từ (2) rằng với mọi $a\in A$, ta có

Xét ánh xạ $\varphi : A[X]\rightarrow E$ được xác định bởi

Đây là một đồng cấu nhóm. Một lập luận quy nạp cho thấy rằng ta có $(X_M)^n(1) = X^n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. Do đó ta có $\varphi (P)(1) = P$ với mọi $P\in A[X]$, điều này chứng tỏ rằng đồng cấu $\varphi$ là đơn ánh. Ta ký hiệu ảnh của nó bởi B. Tập hợp B là một nhóm con của E; nó chứa 1, và nó ổn định đối với phép nhân bên trái bởi $a_M$ với $a\in A$ và bởi $X_M$ (xem (4)). Vì vậy nó là một vành con của E. Cấu trúc vành duy nhất trên A[X], dẫn xuất từ cấu trúc đó trên B bằng cách chuyển cấu trúc qua $\varphi$, có các tính chất của Mệnh đề 7, trong đó tính chất d) suy ra từ quan hệ (4).

Nếu A[X] được trang bị một cấu trúc vành có các tính chất của Mệnh đề 7, thì phép vị tự trái $\boldsymbol{\gamma }_X$ của vành này (I, §8, No. 1, p. 97) nhất thiết biến $bX^n$ thành $\sigma (b)X^{n+1}+d(b)X^n$ với $b\in A$ và $n\in \mathbf{N}$, do đó bằng $X_M$. Phép vị tự $\boldsymbol{\gamma }_a$ nhất thiết bằng $a_M$ với mọi $a\in A$. Do đó, ta có $\boldsymbol{\gamma }_P=\varphi (P)$ với mọi $P\in A[X]$; tính duy nhất trong Mệnh đề 7 suy ra.

Tập hợp A[X], được trang bị cấu trúc vành duy nhất có các tính chất của Mệnh đề 7, được ký hiệu là $A[X]_{\sigma ,d}$ và được gọi là vành đa thức theo X với các hệ số trong A, tương đối với $\sigma$ và $d$. Ta chỉ ký hiệu nó là $A[X]_{\sigma}$ khi $d$ là ánh xạ không và là A[X] khi, hơn nữa, $\sigma$ là ánh xạ đồng nhất trên A. Ký hiệu này tương thích với ký hiệu đã được đưa vào trong IV, §1, No. 1, p. 1 đối với một vành giao hoán A.

Đặt $B = A[X]_{\sigma ,d}$. Với mọi số nguyên $n\geqslant 0$, ta ký hiệu bởi $B_n$ tập hợp các phần tử của B có dạng $a_0+a_1X +\cdots +a_nX^n$. Nó là một A-môđun con của B. Ánh xạ $\varphi_n: B_n\rightarrow A_s$ được xác định bởi $\varphi_n(a_0+a_1X +\cdots +a_nX^n) =a_n$ là A-tuyến tính.

Cho $\mathfrak{b}$ là một iđêan trái của B. Với mọi số nguyên $n\geqslant 0$, tập hợp $\mathfrak{a}_n=\varphi_n(\mathfrak{b}\cap B_n)$ là một iđêan trái của A. Vì ta có $Xa=\sigma (a)X +d(a)$ với mọi $a\in A$, nên ta có

(6) $\varphi_{n+1}$(XQ) $=\sigma (\varphi_n(Q))$

với mọi $Q\in B_n$ và do đó $\sigma (\mathfrak{a}_n)\subset \mathfrak{a}_{n+1}$. Do đó, dãy $\mathfrak{a}'_n=\sigma^{-n}(\mathfrak{a}_n)$ các iđêan của A là tăng. Vì vành A là Noether trái, tồn tại một số nguyên $m\geqslant 0$ sao cho ta có $\mathfrak{a}'_n=\mathfrak{a}'_{n+1}$ với $n\geqslant m$. Vì $\sigma$ là toàn ánh, ta có quan hệ

với mọi số nguyên $n\geqslant m$.

Gọi $\mathfrak{c}$ là iđêan trái của B sinh bởi $\mathfrak{b}\cap B_m$. Vì A-môđun trái $B_m$ sinh hữu hạn và vành A là Noether trái, nên A-môđun trái $\mathfrak{b}\cap B_m$ sinh hữu hạn (VIII, p. 7, Mệnh đề 4 a)). Do đó iđêan trái $\mathfrak{c}$ được sinh bởi một tập con hữu hạn của B. Hiển nhiên nó được chứa trong $\mathfrak{b}$. Hãy chứng minh rằng nó bằng $\mathfrak{b}$ bằng cách chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số nguyên $n\geqslant 0$, ta có

Quan hệ (8) đúng theo phép dựng đối với $n\leqslant m$. Từ đây trở đi, ta giả sử rằng $n$ là một số nguyên $\geqslant m$ sao cho $\mathfrak{b}\cap B_n\subset \mathfrak{c}$. Cho P là một phần tử của $\mathfrak{b}\cap B_{n+1}$. Khi đó $\varphi_{n+1}(P)$ thuộc $\mathfrak{a}_{n+1}=\sigma (\mathfrak{a}_n)$, và do đó tồn tại một phần tử Q của $\mathfrak{b}\cap B_n$ sao cho $\varphi_{n+1}(P) =\sigma (\varphi_n(Q))$. Đặt $R = P-$ XQ. Do quan hệ (6), ta có $\varphi_{n+1}(R) = 0$, nghĩa là, $R\in B_n$. Vì P và Q thuộc iđêan trái $\mathfrak{b}$ của B, điều đó cũng đúng với R; do đó, R và Q thuộc $\mathfrak{b}\cap B_n$, tập này được chứa trong iđêan $\mathfrak{c}$ theo giả thiết quy nạp. Do đó, P thuộc $\mathfrak{c}$. Điều này chứng minh rằng ta có $\mathfrak{b}\cap B_{n+1}\subset \mathfrak{c}$.

Suy ra $\mathfrak{b}$ bằng $\mathfrak{c}$; do đó nó là một iđêan sinh hữu hạn của B. Điều này chứng minh rằng vành B là Noether trái.

Nếu tự đồng cấu $\sigma$ của vành A không phải là một tự đẳng cấu, thì vành $A[X]_{\sigma ,d}$ không nhất thiết là Noether trái, ngay cả khi A là một vành giao hoán Noether (VIII, p. 22, Bài tập 26).

Điều này suy ra bằng quy nạp từ Định lý 2, có tính đến Mệnh đề 8 của III, §2, No. 9, p. 453.

Một đại số như vậy đẳng cấu với một đại số có dạng $A[X_1, . . . ,X_n]/\mathfrak{a}$, trong đó $n\geqslant 0$ và $\mathfrak{a}$ là một iđêan của $A[X_1, . . . ,X_n]$. Khi đó ta áp dụng Hệ quả 1 và Mệnh đề 5 của VIII, p. 7.

Thật vậy, cho A là một vành giao hoán. Các vành con của A sinh bởi hữu hạn phần tử (với tư cách là các $\mathbf{Z}$-đại số) là Noether theo Hệ quả 2. Chúng tạo thành một họ có hướng phải các vành con của A, có hợp là A.