Chương VIII

Các môđun và vành nửa đơn

Trong chương này, khi nói đến một môđun (không có chỉ định gì thêm), ta hiểu đó là một môđun trái. Cho A là một vành và M là một A-môđun. Với mọi $a\in A$, ta ký hiệu phép vị tự $x\mapsto ax$ của M bởi $a_M$. Ánh xạ $a\mapsto a_M$ là một đồng cấu từ vành A vào một vành con $A_M$ của End$_{\mathbf{Z}}(M)$, mà ta gọi là vành các phép vị tự của M.

Trừ khi có nói khác đi, các đại số mà ta xét là kết hợp và có đơn vị; đại số con của một đại số E được hiểu là một đại số con chứa phần tử đơn vị của E; các đồng cấu đại số được giả thiết là có đơn vị.

Cho K là một vành giao hoán và L là một đại số giao hoán trên K. Với mọi K-môđun E, ta ký hiệu L-môđun $L\otimes_KE$ dẫn xuất từ nó bằng mở rộng vô hướng bởi $E_{(L)}$ (II, §5, No. 1, p. 277). Nếu A là một đại số trên K và M là một A-môđun trái, thì $A_{(L)}$ được trang bị một cấu trúc đại số L tự nhiên (III, §1, No. 5, p. 433) và $M_{(L)}$ được trang bị cấu trúc môđun trái $A_{(L)}$ với luật tác động được cho bởi công thức $(\lambda \otimes a)(\mu\otimes m) =\lambda \mu\otimes am$.

Với mọi vành giao hoán K và mọi nhóm G, ta ký hiệu đại số $K^{(G)}$ của G trên vành K bởi K[G] (III, §2, No. 6, p. 446).