Chapitre VIII

Modules et anneaux semi-simples

Dans ce chapitre, lorsque nous parlons d’un module (sans préciser ), il s’agit d’un module à gauche. Soient A un anneau et M un A-module. Pour tout $a\in A$, on note $a_M$ l’homothétie $x\rightarrow ax$ de M. L’application $a\rightarrow a_M$ est un homomorphisme de l’anneau A sur un sous-anneau $A_M$ de End$_{\mathbf{Z}}(M)$, qu’on appelle l’anneau des homothéties de M.

Sauf mention du contraire, les algèbres considérées sont associatives et unifères ; par sous-algèbre d’une algèbre E, nous entendons une sous-algèbre contenant l’élément unité de E ; les homomorphismes d’algèbres sont supposés unifères.

Soient K un anneau commutatif et L une K-algèbre commutative. Si E est un K-module, on note $E_{(L)}$ le L-module $L\otimes_KE$qui s’en déduit par extension des scalaires (II, p. 81). Si A est une K-algèbre et M un A-module à gauche, $A_{(L)}$ est muni d’une structure naturelle de L-algèbre (III, p. 7) et $M_{(L)}$ de la structure de $A_{(L)}$-module à gauche dont la loi d’action est donnée par la formule $(\lambda \otimes a)(\mu \otimes m) =\lambda \mu \otimes am$.

Pour tout anneau commutatif K et tout groupe G, on note K[G] l’algèbre $K^{(G)}$ du groupe G sur l’anneau K (III, p. 19).