Note historique

(Chapitres VI et VII)

(N.B. — Les chiffres romains entre parenthèses renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.)

Les opérations arithmétiques élémentaires, et surtout le calcul des fractions, ne peuvent manquer de conduire à de nombreuses constatations empiriques sur la divisibilité des nombres entiers. Mais ni les Babyloniens (pourtant si experts en algèbre), ni les Égyptiens (malgré leur acrobatique calcul des fractions) ne semblent avoir connu de règles générales gouvernant ces propriétés, et c’est aux Grecs que revient ici l’initiative. Leur œuvre arithmétique, dont on trouve un exposé magistral dans les Livres VII et IX d’Euclide (I), ne le cède en rien à leurs plus belles découvertes dans les autres branches des mathématiques. L’existence du pgcd de deux entiers est démontrée dès le début du Livre VII par le procédé connu sous le nom d’« algorithme d’Euclide » \* ; elle sert de base à tous les développements ultérieurs (propriétés des nombres premiers, existence et calcul du ppcm, etc.), fondés sur des raisonnements qui ne diffèrent guère en substance de ceux du chap. VI, § 1 ci-dessus ; et le couronnement de l’édifice est formé par les deux remarquables théorèmes démontrant l’existence d’une infinité de nombres premiers (Livre IX, prop. 20) et donnant un procédé de construction de nombres parfaits pairs à partir de certains nombres premiers (cf. VII, p. 52, exerc. 24 ; ce procédé donne en fait tous les nombres parfaits pairs, comme devait le démontrer Euler). Seule l’existence et l’unicité de la décomposition en facteurs premiers ne sont pas démontrées de façon générale ; toutefois Euclide démontre explicitement que tout entier est divisible par un nombre premier (Livre VII, prop. 31), ainsi que les deux propositions suivantes (Livre IX, prop. 13 et 14) :

« Si, à partir de l’unité, des nombres aussi nombreux qu’on veut, sont en progression

\* Si $a_1$ et $a_2$ sont deux entiers, tels que $a_1 \geq a_2$, on définit par récurrence $a_n$ (pour $n \geq 3$) comme étant le reste de la division euclidienne de $a_{n-2}$ par $a_{n-1}$; si $m$ est le plus petit indice tel que $a_m = 0$, $a_{m-1}$ est le pgcd de $a_1$ et $a_2$. C’est là la transposition dans le domaine des entiers de la méthode de soustractions successives (dite parfois aussi ἀνθυφαίρεσις) pour la recherche de la commune mesure à deux grandeurs. Celle-ci remonte sans doute aux Pythagoriciens, et semble avoir été à la base d’une théorie pré-eudoxienne des nombres irrationnels.

de rapport constant [i.e. géométrique], et que celui après l’unité soit premier, le plus grand ne sera divisible par aucun excepté ceux qui figurent dans la progression » (autrement dit, une puissance $p^n$ d’un nombre premier ne peut être divisible que par les puissances de $p$ d’exposant $\leq n$).

« Si un nombre est le plus petit qui soit divisible par des nombres premiers [donnés], il ne sera divisible par aucun autre nombre premier à l’exception de ceux initialement [donnés comme] le divisant » (autrement dit, un produit de nombres premiers distincts $p_1, \ldots, p_k$ n’a pas d’autre facteur premier que $p_1, \ldots, p_k$).

Il semble donc que si Euclide n’énonce pas le théorème général c’est seulement faute d’une terminologie et d’une notation adéquates pour les puissances quelconques d’un entier *.

Bien qu’une étude attentive rende vraisemblable l’existence, dans le texte d’Euclide, de plusieurs couches successives, dont chacune correspondrait à une étape du développement de l’Arithmétique **, il semble que cette évolution se soit tout entière accomplie entre le début du ve siècle et le milieu du iv e, et on ne peut qu’admirer la finesse et la sûreté logique qui s’y manifestent : il faudra attendre deux millénaires pour assister à des progrès comparables en Arithmétique.

Ce sont les problèmes dits « indéterminés » ou « diophantiens » qui sont à la source des développements ultérieurs de la Théorie des nombres. Le terme « d’équations diophantiennes », tel qu’il est utilisé aujourd’hui, n’est pas, historiquement, tout à fait justifié ; on entend généralement par là des équations (ou systèmes d’équations) algébriques à coefficients entiers, dont on ne cherche que les solutions en nombres entiers : problème qui est d’ordinaire impossible si les équations sont « déterminées », c’est-à-dire n’ont qu’un nombre fini de solutions (en nombres réels ou complexes), mais qui, au contraire, admet souvent des solutions lorsqu’il y a plus d’inconnues que d’équations. Or, si Diophante semble bien être le premier à avoir considéré des problèmes « indéterminés », il ne cherche qu’exceptionnellement des solutions entières, et se contente le plus souvent d’obtenir une seule solution en nombres rationnels (II). C’est là un type de problèmes qu’il peut résoudre le plus souvent par des calculs algébriques où la nature arithmétique des inconnues n’inter-

\* A l’appui de cette hypothèse, on peut encore remarquer que la démonstration du théorème sur les nombres parfaits n’est au fond qu’un autre cas particulier du théorème d’unique décomposition en facteurs premiers. D’ailleurs, tous les témoignages concordent pour prouver que dès cette époque la décomposition d’un nombre explicité en facteurs premiers était connue et utilisée couramment ; mais on ne trouve pas de démonstration complète du théorème de décomposition avant celle donnée par Gauss au début des Disquisitiones ((VIII), t. I, p. 15).

** Cf. B. L. van der Waerden, Die Arithmetik der Pythagoreer, Math. Ann., t. CXX (1947-49), p. 127. Un exemple de résidu d’une version antérieure est fourni par les prop. 21 à 34 du Livre IX, qui traitent des propriétés les plus élémentaires de la divisibilité par 2, et remontent sans doute à une époque où la théorie générale des nombres premiers n’était pas encore développée. On sait d’ailleurs que les catégories du Pair et de l’Impair jouaient un grand rôle dans les spéculations philosophico-mystiques des premiers Pythagoriciens, à qui on est naturellement tenté de faire remonter ce fragment.

vient pas \* ; aussi la théorie de la divisibilité n’y joue qu’un rôle très effacé (le mot de nombre premier n’est prononcé qu’une seule fois ((II), Livre V, problème 9, t. I, p. 334-335), et la notion de nombres premiers entre eux n’est invoquée qu’à propos du théorème affirmant que le quotient de deux nombres premiers entre eux ne peut être un carré que si chacun d’eux est un carré) **.

L’étude des solutions entières des équations indéterminées ne commence vraiment qu’avec les mathématiciens chinois et hindous du haut Moyen âge. Les premiers semblent avoir été conduits à des spéculations de ce genre par les problèmes pratiques de confection des calendriers (où la détermination des périodes communes à plusieurs cycles de phénomènes astronomiques constitue précisément un problème « diophantien » du premier degré) ; on leur doit en tout cas (sans doute entre le IVe et le VIIIe siècle de notre ère) une règle de résolution des congruences linéaires simultanées (cf. VI, p. 32, exerc. 25). Quant aux Hindous, dont la mathématique connaît son plein épanouissement du ve au XIIIe siècle, non seulement ils savent traiter méthodiquement (par application de l’algorithme d’Euclide) les systèmes d’équations diophantiennes linéaires à un nombre quelconque d’inconnues ***, mais ils sont les premiers à aborder et résoudre des problèmes du second degré, dont certains cas particuliers de l’« équation de Fermat » Nx² + 1 = y² ((III), vol. II, p. 87-307).

Nous n’avons pas à poursuivre ici l’historique de la théorie des équations diophantiennes de degré > 1, qui, à travers les travaux de Fermat, Euler, Lagrange et Gauss, devait aboutir au XIXe siècle à la théorie des entiers algébriques. Comme nous l’avons déjà marqué (cf. Note hist. des chap. II-III), l’étude des systèmes linéaires, qui ne paraît plus présenter de problèmes dignes d’intérêt, est quelque peu négligée pendant cette période : en particulier, on ne cherche pas à formuler de conditions générales de possibilité d’un système quelconque, ni à décrire l’ensemble des solutions. Toutefois, vers le milieu du XIXe siècle, Hermite est conduit à utiliser, en vue de ses recherches de Théorie des nombres, divers lemmes sur les équations diophantiennes linéaires, et notamment une « forme réduite » d’une substitution linéaire à coefficients entiers ((XIII), p. 164 et 265) ; enfin, après que Heger eut donné

\* Si Diophante, dans les problèmes indéterminés, se ramène toujours à des problèmes à une seule inconnue, par un choix numérique des autres inconnues qui rende possible son équation finale, il semble bien que cette méthode soit due surtout à sa notation qui ne lui permettait pas de calculer sur plusieurs inconnues à la fois ; en tout cas, il ne perd pas de vue, au cours du calcul, les substitutions numériques qu’il a faites, et les modifie, le cas échéant, si elles ne conviennent pas, en écrivant une condition de compatibilité pour les variables substituées, et en résolvant ce problème auxiliaire au préalable. En d’autres termes, il manie ces valeurs numériques substituées comme nous le ferions de paramètres, si bien que ce qu’il fait en définitive revient à trouver une représentation paramétrique rationnelle d’une variété algébrique donnée, ou d’une sous-variété de celle-ci (cf. (II bis)).

** Divers indices témoignent cependant de connaissances arithmétiques plus avancées chez Diophante : il sait par exemple que l’équation x² + y² = n n’a pas de solutions rationnelles si n est un entier de la forme 4k + 3 (Livre V, problème 9 et Livre VI, problème 14 ((II), t. I, p. 332-335 et p. 425 ; cf. aussi (II bis), p. 105-110)).

*** Les problèmes astronomiques ont été aussi parmi ceux qui ont amené les Hindous à s’occuper de ce genre d’équations (cf. (III), t. II, p. 100, 117 et 135).

en 1858 la condition de possibilité d’un système dont le rang est égal au nombre d’équations, H. J. Smith, en 1861, définit les facteurs invariants d’une matrice à termes entiers, et obtient le théorème général de réduction d’une telle matrice à la « forme canonique », que nous avons donné en VII, p. 21, cor. 1 (XVII).

Mais dans l’intervalle se précisait peu à peu la notion de groupe abélien, à la suite de son introduction par Gauss (cf. Notes hist. des chap. I, II et III), et de l’importance prise par cette notion dans le développement ultérieur de la Théorie des nombres. Dans l’étude particulièrement approfondie, exposée dans les Disquisitiones, du groupe abélien fini des classes de formes quadratiques de discriminant donné, Gauss s’était vite aperçu que certains de ces groupes n’étaient pas cycliques : « dans ce cas », dit-il, « une base [c’est-à-dire un générateur] ne peut suffire, il faut en prendre deux ou un plus grand nombre qui, par la multiplication et la composition *, puissent produire toutes les classes » ((VIII), t. I, p. 374-375). Il n’est pas certain que, par ces mots, Gauss ait voulu décrire la décomposition du groupe en produit direct de groupes cycliques ; toutefois, dans le même article des Disquisitiones, il démontre qu’il existe un élément du groupe dont l’ordre est le ppcm des ordres de tous les éléments — en d’autres termes, il obtient l’existence du plus grand facteur invariant du groupe ((VIII), t. I, p. 373) — ; et d’autre part, la notion de produit direct lui était connue, car dans un manuscrit datant de 1801 mais non publié de son vivant, il esquisse une démonstration générale de la décomposition d’un groupe abélien fini en produit direct de $p$-groupes ** ((VIII), t. II, p. 266). En tout cas, en 1868, Schering, l’éditeur des œuvres de Gauss, inspiré par ces résultats (et notamment par ce manuscrit qu’il venait de retrouver) démontre (toujours pour le groupe des classes de formes quadratiques) le théorème général de décomposition (XVIII) par une méthode qui, reprise deux ans plus tard en termes abstraits par Kronecker (XX), est essentiellement celle que nous avons utilisée plus haut (VII, p. 17, th. 1). Quant aux groupes abéliens sans torsion, nous avons déjà dit (cf. Note hist. des chap. II-III) comment la théorie des fonctions elliptiques et des intégrales abéliennes, développée par Gauss, Abel et Jacobi, amenait peu à peu à prendre conscience de leur structure ; le premier et le plus célèbre exemple de décomposition d’un groupe infini en somme directe de groupes monogènes est donné en 1846 par Dirichlet dans son mémoire sur les unités d’un corps de nombres algébriques (XI). Mais ce n’est qu’en 1879 que le lien entre la théorie des groupes abéliens de type fini et le théorème de Smith est reconnu et utilisé explicitement par Frobenius et Stickelberger ((XXIII), § 10).

Vers la même époque s’achève également la théorie de la similitude des matrices (à coefficients réels ou complexes). La notion de valeur propre d’une substitution linéaire apparaît explicitement dans la théorie des systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants, appliquée par Lagrange (VI a) à la théorie des petits mouvements, par Lagrange (VI b) et Laplace (VII a) aux inégalités « séculaires »

\* Gauss note additivement la loi de composition des classes, par « multiplication » il entend donc le produit d’une classe par un entier. ** Abel démontre aussi en passant cette propriété dans son mémoire sur les équations abéliennes ((IX), t. I, p. 494-497).

des planètes. Elle est implicite dans bien d’autres problèmes abordés aussi vers le milieu du xviii\textsuperscript{e} siècle, comme la recherche des axes d’une conique ou d’une quadrique (effectuée d’abord par Euler (V a)), ou l’étude (développée aussi par Euler (V b)) des axes principaux d’inertie d’un corps solide (découverts par De Segner en 1755) ; nous savons aujourd’hui que c’est elle aussi (sous une forme beaucoup plus cachée) qui intervenait dans les débuts de la théorie des équations aux dérivées partielles, et en particulier dans l’équation des cordes vibrantes. Mais (sans parler de ce dernier cas) la parenté entre ces divers problèmes n’est guère reconnue avant Cauchy (X). En outre, comme la plupart font intervenir des matrices symétriques, ce sont les valeurs propres de ces dernières qui sont surtout étudiées au début ; nous renvoyons pour plus de détails sur ce point aux Notes historiques qui suivront, dans ce Traité, les chapitres consacrés aux opérateurs hermitiens ; notons simplement ici que dès 1826, Cauchy démontre l’invariance par similitude des valeurs propres de ces matrices, et prouve qu’elles sont réelles pour une matrice symétrique du 3\textsuperscript{e} ordre (X a), résultat qu’il généralise aux matrices symétriques réelles quelconques trois ans plus tard (X b) *. La notion générale de projectivité, introduite par Möbius en 1827, amène rapidement au problème de la classification de ces transformations (pour 2 et 3 dimensions tout d’abord), ce qui n’est autre que le problème de la similitude des matrices correspondantes ; mais pendant longtemps cette question n’est traitée que par les méthodes « synthétiques » en honneur au milieu du xixe siècle, et ses progrès (d’ailleurs assez lents) ne paraissent pas avoir eu d’influence sur la théorie des valeurs propres. Il n’en est pas de même d’un autre problème de géométrie, la classification des « faisceaux » de coniques ou de quadriques, qui, du point de vue moderne, revient à l’étude des diviseurs élémentaires de la matrice $U + \lambda V$, où $U$ et $V$ sont deux matrices symétriques ; c’est bien dans cet esprit que Sylvester, en 1851, aborde ce problème, examinant avec soin (en vue de trouver des « formes canoniques » du faisceau considéré) ce que deviennent les mineurs de la matrice $U + \lambda V$ quand on y substitue à $\lambda$ une valeur annulant son déterminant (XIV). L’aspect purement algébrique de la théorie des valeurs propres progresse simultanément ; c’est ainsi que plusieurs auteurs (dont Sylvester lui-même) démontrent vers 1850 que les valeurs propres de $U^n$ sont les puissances $n$-ièmes des valeurs propres de $U$, tandis qu’en 1858 Cayley, dans le mémoire où il fonde le calcul des matrices (XVI), énonce le « théorème de Hamilton-Cayley » pour une matrice carrée d’ordre quelconque **, en se contentant de le démontrer par calcul direct pour les matrices d’ordre 2 et 3. Enfin, en 1868, Weierstrass, reprenant la méthode de Sylvester, obtient des « formes canoniques » pour un « faisceau » $U + \lambda V$, où, cette fois,

\* Un essai de démonstration de ce résultat, pour le cas particulier des inégalités « séculaires » des planètes, avait déjà été fait en 1784 par Laplace (VII b). En ce qui concerne l’équation du 3\textsuperscript{e} degré donnant les axes d’une quadrique réelle, Euler avait admis sans démonstration la réalité de ses racines, et une tentative de démonstration de Lagrange, en 1773 (VI e), est insuffisante ; ce point fut démontré rigoureusement pour la première fois par Hachette et Poisson, en 1801 (Journal de l’École Polytechnique, cahier 11 (an X), p. 170-172). ** Hamilton avait incidemment démontré ce théorème pour les matrices d’ordre 3 quelques années auparavant ((XV), p. 566-567).

U et V sont des matrices carrées non nécessairement symétriques, soumises à la seule condition que det(U + λV) ne soit pas identiquement nul ; il en déduit la définition des diviseurs élémentaires d’une matrice carrée quelconque (à termes complexes), et prouve qu’ils caractérisent celle-ci à une similitude près (XIX) ; ces résultats sont d’ailleurs retrouvés partiellement (et apparemment de façon indépendante) par Jordan deux ans plus tard \* (XXI). Ici encore, c’est Frobenius qui, en 1879, montre qu’on peut déduire simplement le théorème de Weierstrass de la théorie de Smith, étendue aux polynômes ((XXII), § 13) ; son procédé est à la base de la démonstration de ce théorème que nous avons donnée plus haut (VII, p. 35).

Nous venons de faire allusion à la théorie de la divisibilité des polynômes d’une variable ; la question de la division des polynômes devait naturellement se poser dès le début de l’algèbre, comme opération inverse de la multiplication (cette dernière étant déjà connue de Diophante, tout au moins pour les polynômes de petit degré) ; mais on conçoit qu’il n’était guère possible d’aborder le problème de façon générale avant qu’une notation cohérente se fût imposée pour les diverses puissances de la variable. De fait, on ne trouve guère d’exemple du processus de division « euclidienne » des polynômes, tel que nous le connaissons, avant le milieu du xvi\textsuperscript{e} siècle ** ; et S. Stevin (qui utilise essentiellement la notation des exposants) paraît être le premier qui ait eu l’idée d’en déduire l’extension de l’« algorithme d’Euclide » pour la recherche du pgcd de deux polynômes ((IV), t. I, p. 54-56). À cela près, la notion de divisibilité était restée propre aux entiers rationnels jusqu’au milieu du xviii\textsuperscript{e} siècle. C’est Euler qui, en 1770, ouvre un nouveau chapitre de l’Arithmétique en étendant, non sans témérité, la notion de divisibilité aux entiers d’une extension quadratique : cherchant à déterminer les diviseurs d’un nombre de la forme $x^2 + cy^2$ ($x, y, c$ entiers rationnels), il pose

\* Jordan ne mentionne pas l’invariance de la forme canonique qu’il obtient. Il est intéressant d’observer par ailleurs qu’il traite la question, non pour des matrices à termes complexes, mais pour des matrices sur un corps fini. Signalons d’autre part que, dès 1862, Grassmann avait donné une méthode de réduction d’une matrice (à termes complexes) à la forme triangulaire, et mentionné explicitement le lien entre cette réduction et la classification des projectivités (Ges. Math. Werke, t. $\mathrm{I}_2$, Leipzig (Teubner), 1896, p. 249-254). ** Cf. par exemple H. Bosmans, Sur le « libro del Algebra » de Pedro Nuñez, Bibl. Math. (3), t. VIII (1907-1908), p. 154-169.

sur la divisibilité dans les corps de racines de l’unité \* ; il n’est pas possible, en général, d’étendre directement à ces corps les propriétés essentielles de la divisibilité des entiers rationnels, existence du pgcd et unicité de la décomposition en facteurs premiers. Ce n’est pas ici le lieu de décrire en détail comment Kummer pour les corps de racines de l’unité (XII) **, puis Dedekind et Kronecker pour les corps de nombres algébriques quelconques, parvinrent à surmonter ce formidable obstacle par la création de la théorie des idéaux, un des progrès les plus décisifs de l’algèbre moderne. Mais Dedekind, toujours curieux des fondements des diverses théories mathématiques, ne se contente pas de ce succès ; et, analysant le mécanisme des relations de divisibilité, il pose les bases de la théorie des groupes réticulés, dans un mémoire (sans retentissement sur ses contemporains, et tombé pendant 30 ans dans l’oubli) qui est sans doute un des premiers en date des travaux d’algèbre axiomatique (XXIV) ; aux notations près, son travail est déjà très proche de la forme moderne de cette théorie, telle que nous l’avons exposée au chap. VI, § 1.

\* \* \*

Dès le milieu du xviii\textsuperscript{e} siècle, la recherche d’une démonstration du « théorème fondamental de l’algèbre » est à l’ordre du jour (\emph{cf.} Note hist. des chap. IV et V). Nous n’avons pas à rappeler ici la tentative de d’Alembert, qui inaugurait la série des démonstrations utilisant le calcul infinitésimal (\emph{cf.} TG, Note hist. du chap. VIII). Mais, en 1749, Euler aborde le problème d’une tout autre façon (V d) : pour tout polynôme $f$ à coefficients réels, il cherche à démontrer l’existence d’une décomposition $f = f_1 f_2$ en deux polynômes (non constants) à coefficients \emph{réels}, ce qui lui donnerait la démonstration du « théorème fondamental » par récurrence sur le degré de $f$. Il suffit même, comme il le remarque, de s’arrêter au premier facteur de degré impair, et par conséquent toute la difficulté revient à considérer le cas où le degré $n$ de $f$ est pair. Euler se borne alors à l’étude du cas où les facteurs cherchés sont tous deux de degré $n/2$, et il indique que, par un calcul d’élimination convenablement mené, on peut exprimer les coefficients inconnus de $f_1$ et $f_2$ rationnellement en fonction d’une racine d’une équation à coefficients réels dont les termes extrêmes sont \emph{de signes contraires}, et qui par suite a au moins une racine réelle. Mais la démonstration

\* Gauss semble avoir un moment espéré que l’anneau des entiers dans le corps des racines $n$-ièmes de l’unité soit un anneau principal ; dans un manuscrit non publié de son vivant ((VIII), t. II, p. 387-397), on le voit démontrer l’existence d’un processus de division euclidienne dans le corps des racines cubiques de l’unité, et donner quelques indications sur un processus analogue dans le corps des racines 5-ièmes ; il utilise ces résultats pour démontrer par un raisonnement de « descente infinie » plus correct que celui d’Euler l’impossibilité de l’équation $x^3 + y^3 = z^3$ dans le corps des racines cubiques de l’unité, signale qu’on peut étendre la méthode à l’équation $x^5 + y^5 = z^5$, mais s’arrête à l’équation $x^7 + y^7 = z^7$ en constatant qu’il est impossible alors de rejeter \emph{a priori} le cas où $x, y, z$ ne sont pas divisibles par 7.

** Dès son premier travail sur les « nombres idéaux », Kummer signale explicitement la possibilité d’appliquer sa méthode, non seulement aux corps de racines de l’unité, mais aussi aux corps quadratiques, et de retrouver ainsi les résultats de Gauss sur les formes quadratiques binaires ((XII), p. 324-325).

d’Euler n’est qu’une esquisse, où de nombreux points essentiels sont passés sous silence ; et ce n’est qu’en 1772 que Lagrange parvint à résoudre les difficultés soulevées par cette démonstration (VI d) au moyen d’une analyse fort longue et fort minutieuse, où il fait preuve d’une remarquable virtuosité dans l’emploi des méthodes « galosiennes » nouvellement créées par lui (cf. Note hist. des chap. IV et V).

Toutefois Lagrange, comme Euler et tous ses contemporains, n’hésite pas à raisonner formellement dans un « corps de racines » d’un polynôme (c’est-à-dire, dans son langage, à considérer des « racines imaginaires » de ce polynôme) ; la Mathématique de son époque n’avait fourni aucune justification de ce mode de raisonnement. Aussi Gauss, délibérément hostile, dès ses débuts, au formalisme effréné du xviii\textsuperscript{e} siècle, s’élève-t-il avec force, dans sa dissertation, contre cet abus ((VIII), t. III, p. 3). Mais il n’eût pas été lui-même s’il n’avait senti qu’il ne s’agissait là que d’une présentation extérieurement défectueuse d’un raisonnement intrinsèquement correct. Aussi le voyons-nous, quelques années plus tard ((VIII), t. III, p. 33 ; cf. aussi (VIII bis)) reprendre une variante plus simple du raisonnement d’Euler, suggérée dès 1759 par de Foncenex (mais que ce dernier n’avait pas su mener à bien), et en déduire une nouvelle démonstration du « théorème fondamental » où il évite soigneusement tout emploi de racines « imaginaires » : ce dernier étant remplacé par d’habiles adjonctions et spécialisations d’indéterminées. C’est essentiellement cette démonstration de Gauss que nous avons donnée dans le texte (VI, p. 25, th. 3), avec les simplifications qu’apporte l’emploi des extensions algébriques.

Le rôle de la Topologie dans le « théorème fondamental » se trouvait ainsi ramené à l’unique théorème suivant lequel un polynôme à coefficients réels ne peut changer de signe dans un intervalle sans s’annuler (théorème de Bolzano pour les polynômes). Ce théorème est aussi à la base de tous les critères de séparation des racines réelles d’un polynôme (à coefficients réels), qui constituent un des sujets de prédilection de l’Algèbre pendant le xixe siècle *. Au cours de ces recherches, on ne pouvait manquer de constater que c’est la structure d’ordre de $\mathbf{R}$, bien plus que sa topologie, qui y joue le rôle essentiel ** ; par exemple, le théorème de Bolzano pour les polynômes est encore vrai pour le corps de tous les nombres algébriques réels. Ce mouvement d’idées a trouvé son aboutissement dans la théorie abstraite des corps ordonnés, créée par E. Artin et O. Schreier (XXV) ; un des plus remarquables résultats en est sans doute la découverte que l’existence d’une relation d’ordre sur un corps est liée à des propriétés purement algébriques de ce corps. C’est cette théorie qui a été exposée au § 2 du chap. VI.

\* Sur ces questions, que nous n’abordons pas dans cet ouvrage, le lecteur pourra par exemple consulter J.-A. Serret, Cours d’Algèbre supérieure, 3e éd., Paris (Gauthier-Villars), 1866, ou B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, t. I (1re éd.), Berlin (Springer), 1930, p. 223-235.

** La tendance à attribuer à la structure d’ordre des nombres réels une place prépondérante se marque aussi dans la définition des nombres réels par le procédé des « coupures » de Dedekind, qui est au fond un procédé applicable à tous les ensembles ordonnés (cf. VI, p. 33, exerc. 30 et suiv.).

Bibliographie

(I) Euclidis Elementa, 5 vol., éd. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner), 1883-88. (I bis) T. L. Heath, The thirteen books of Euclid’s Elements..., 3 vol., Cambridge, 1908. (II) Diophanti Alexandrini Opera Omnia..., 2 vol., éd. P. Tannery, Lipsiae (Teubner), 1893-95. (II bis) T. L. Heath, Diophantus of Alexandria, 2e éd., Cambridge, 1910. (III) B. Datta and A. N. Singh, History of Hindu Mathematics, 2 vol., Lahore (Motilal Banarsi Das), 1935-38. (IV) S. Stevin, Les œuvres mathématiques..., éd. A. Girard, Leyde (Elsevier), 1634, vol. I. (V) L. Euler : a) Introductio in Analysin Infinitorum (Opera Omnia, (1), t. IX, Zürich-Leipzig-Berlin (O. Füssli et B. G. Teubner), 1945, p. 384); b) Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Opera Omnia (2), t. III, Zürich-Leipzig-Berlin (O. Füssli et B. G. Teubner), 1948, p. 200-201); c) Vollständige Anleitung zur Algebra (Opera Omnia (1), t. I, Leipzig-Berlin (Teubner), 1911, p. 422); d) Recherches sur les racines imaginaires des équations (Opera Omnia (1), t. VI, Leipzig-Berlin (Teubner), 1921, p. 78). (VI) J.-L. Lagrange, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867-1892 : a) Solutions de divers problèmes de Calcul intégral, t. I, p. 520; b) Recherches sur les équations séculaires du mouvement des nœuds, t. VI, p. 655-666; c) Recherches d’arithmétique, t. III, p. 695-795; d) Sur la forme des racines imaginaires des équations, t. III, p. 479; e) Nouvelle solution du problème de rotation d’un corps quelconque qui n’est animé par aucune force accélératrice, t. III, p. 579-616. (VII) P. S. Laplace : a) Mémoire sur les solutions particulières des équations différentielles et sur les inégalités séculaires des planètes (Œuvres, t. VIII, Paris (Gauthier-Villars), 1891, p. 325-366); b) Mémoire sur les inégalités séculaires des planètes et des satellites (Œuvres, t. XI, Paris (Gauthier-Villars), 1895, p. 49-92). (VIII) C. F. Gauss, Werke, t. I (Göttingen, 1870), t. II (ibid., 1876) et t. III (ibid., 1876). (VIII bis) Die vier Gauss’schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Functionen in reelle Factoren ersten oder zweiten Grades (Ostwald’s Klassiker, n° 14, Leipzig (Teubner), 1904). (IX) N. H. Abel, Œuvres, t. I, éd. Sylow et Lie, Christiania, 1881. (X) A. L. Cauchy : a) Leçons sur les applications du Calcul infinitésimal à la Géométrie (Œuvres complètes (2), t. V, Paris (Gauthier-Villars), 1903, p. 248); b) Sur l’équation à l’aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes (Œuvres complètes (2), t. IX, Paris (Gauthier-Villars), 1891, p. 174). (XI) P. G. Lejeune-Dirichlet, Werke, t. I, Berlin (G. Reimer), 1889, p. 619-644. (XII) E. Kummer, Zur Theorie der complexen Zahlen, J. de Crelle, t. XLIII (1847), p. 319 (Collected papers, vol. I, Heidelberg (Springer V.), 1975, p. 203). (XIII) Ch. Hermite, Œuvres, t. I, Paris (Gauthier-Villars), 1905. (XIV) J. J. Sylvester, Collected Mathematical Papers, vol. I, Cambridge, 1904 : An enumeration of the contacts of lines and surfaces of the second order, p. 219 (= Phil. Mag., 1851). (XV) W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin, 1853. (XVI) A. Cayley, Collected Mathematical Papers, Cambridge, 1889-1898 : A memoir on the theory of matrices, t. II, p. 475-496 (= Phil. Trans., 1858). (XVII) H. J. Smith, Collected Mathematical Papers, vol. I, Oxford, 1894 ; On systems of linear indeterminate equations and congruences, p. 367 (= Phil. Trans., 1861).

(XVIII) E. Schering, Die fundamental Classen der zusammengesetzbaren arithmetischen Formen, Abh. Ges. Göttingen, t. XIV (1868-69), p. 13. (XIX) K. Weierstrass, Mathematische Werke, Bd. II, Berlin (Mayer und Müller), 1895 : Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen, p. 19. (XX) L. Kronecker, Auseinandersetzungen einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer complexer Zahlen, Monats. Abhandl. Berlin (1870), p. 881 (= Werke, t. I, Leipzig (Teubner), 1895, p. 273). (XXI) C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris (Gauthier-Villars), 1870, p. 114-125. (XXII) G. Frobenius, Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten, Gesammelte Abhandlungen, vol. I, Heidelberg (Springer V.), 1968, p. 482 (= J. de Crelle, 1879). (XXIII) G. Frobenius und L. Stickelberger, Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen, J. de Crelle, t. LXXXVI (1879), p. 217 (= Frobenius, Ges. Abh., vol. I, p. 545). (XXIV) R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, t. II, Braunschweig (Vieweg), 1932 : Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler, p. 103. (XXV) a) E. Artin und O. Schreier, Algebraische Konstruktion reeller Körper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. t. V (1927), p. 83 ; b) E. Artin, Ueber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate (ibid., p. 100) ; c) E. Artin und O. Schreier, Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper (ibid., p. 225).