Supposons que M soit de longueur finie $d$. Alors toute suite strictement croissante ou strictement décroissante de sous-modules de M comporte au plus $d+ 1$ termes (I, p. 42). Par suite M est artinien et noethérien.

Réciproquement, supposons que M soit artinien et noethérien. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des sous-modules de longueur finie de M. Le sous-module nul appartient à $\mathscr{S}$, et comme M est noethérien, $\mathscr{S}$ possède un élément maximal N. Raisonnons par l’absurde en supposant que $M\not= N$. L’ensemble des sous-modules de M distincts de N et contenant N possède alors un élément minimal P, puisque M est artinien. Le module $P/N$ est de longueur 1 et, comme N est un module de longueur finie, il en est de même de P (II, p. 21, prop. 16). Ceci contredit la définition de N.

Supposons d’abord que tout sous-module de M soit de type fini. Soit $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite croissante de sous-modules de M et soit P sa réunion. C’est un sous-module de M. Il existe par hypothèse une partie finie F de M engendrant le module P ; soit alors $n\in \mathbf{N}$un entier tel que $F\subset P_n$. On a donc $P_n= P$ et la suite $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ est stationnaire. Cela prouve que le module M est noethérien.

La réciproque résulte de l’énoncé plus précis suivant :

En effet, d’après VIII, p. 2, il existe une partie finie F de E telle que $\sum_{x\in E}Ax=$ $\sum_{x\in F}Ax$.

Nous donnerons la démonstration dans le cas des modules artiniens, le cas des modules noethériens étant analogue.

Supposons M artinien. Tout sous-module de N étant un sous-module de M, le module N est artinien. Soit $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite décroissante de sous-modules de $M/N$. Il existe une suite décroissante $(Q_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de sous-modules de M contenant N, telle que $P_n= Q_n/N$ pour tout $n\in \mathbf{N}$(I, p. 39, th. 4). Comme M est artinien, la suite $(Q_n)$ est stationnaire, donc aussi la suite $(P_n)$. Par suite, le module $M/N$ est artinien.

Réciproquement, supposons les modules N et $M/N$ artiniens et considérons une suite décroissante $(P_n)$ de sous-modules de M. La suite des sous-modules $P'_n= N\cap P_n$ de N est stationnaire. De même, la suite des sous-modules $P''_n= (N + P_n)/N$ de $M/N$ est stationnaire. Il existe donc un entier $m\in \mathbf{N}$tel que l’on ait $P'_n= P'_m$ et $P''_n= P''_m$ pour tout entier $n\geqslant m$. La suite $(P_n)$ est alors stationnaire en vertu du lemme suivant :

Soit $x$ un élément de Q. Il appartient à N + P ; il existe donc un élément $y$ de P tel que $x-y\in N$. Comme Q contient $P,x-y$ appartient à $N\cap Q$, donc à P. Par suite, $x$ appartient à P.

a) Si les modules $M_i$ sont artiniens (resp. noethériens), il en est de même de leur somme $\sum_{i\in I}M_i$.

b) Si les modules $M/M_i$ sont artiniens (resp. noethériens), il en est de même du module $M/\bigcap_{i\in I}M_i$.

Par récurrence, il suffit de traiter le cas où $I =\{1,2\}$. Le module $M_2/(M_1\cap M_2)$, quotient de $M_2$, est isomorphe au sous-module $(M_1+ M_2)/M_1$ de $M/M_1$ (I, p. 39, th. 4).

Sous l’hypothèse a), $M_1$ et $(M_1+ M_2)/M_1$ sont artiniens (resp. noethériens) ; il en est donc de même de $M_1+ M_2$ (prop. 3).

Sous l’hypothèse b), $M/M_2$ et $M_2/(M_1\cap M_2)$ sont artiniens (resp. noethériens) ; il en est donc de même de $M/(M_1\cap M_2) ($loc. cit.).

Nous utiliserons dans la démonstration le lemme suivant :

Raisonnons par récurrence sur $n$. Supposons d’abord $n= 1$. Si M n’était pas de longueur finie, nous pourrions construire une suite $(M_m)_{m\in\mathbf{N}}$ de sous-modules de longueur 1 de M, avec $M_m\not\subset (\sum_{i<m}M_i)$ pour tout $m\in \mathbf{N}$. Nous aurions alors $M_m\cap \sum_{i<m}M_i= 0$ pour tout $m$, et la somme de la famille $(M_m)_{m\in\mathbf{N}}$ serait directe. Mais ceci contredirait le fait que le A-module M est artinien (VIII, p. 2, exemple 2).

Supposons maintenant $n\geqslant 2$. Soit $(M_i)_{i\in I}$ une famille de sous-modules de longueur $\leqslant n$ de M, de somme M. Choisissons pour tout $i\in I$ un sous-module $M'_i$ de $M_i$ de longueur $\leqslant n-1$, tel que $M_i/M'_i$ soit de longueur $\leqslant 1$. Posons $M'=\sum M'_i$, et notons $M''_i$ l’image de $M_i$ dans $M''= M/M'$. Les modules $M''_i$ sont de longueur $\leqslant 1$ et leur somme est $M''$. Les modules $M'$ et $M''$ sont artiniens (VIII, p. 3, prop. 3) ; d’après l’hypothèse de récurrence, ils sont de longueur finie. Donc M est de longueur finie (II, p. 21, prop. 16).

Démontrons maintenant le th. 1. Notons $\mathscr{S}$ l’ensemble des idéaux à gauche $\mathfrak{a}$ de A, tels que le module $A_s/\mathfrak{a}$ soit de longueur finie. Soit $(\mathfrak{a}_i)_{i\in I}$ une famille finie d’éléments de $\mathscr{S}$. D’après la prop. 1 de VIII, p. 2, le A-module $A_s/\mathfrak{a}_i$ est artinien et noethérien pour tout $i\in I$. Par suite, $A_s/\bigcap_{i\in I}\mathfrak{a}_i$ est artinien et noethérien (VIII, p. 4, cor. de la prop. 3), donc de longueur finie (VIII, p. 2, prop. 1). Cela démontre que $\mathscr{S}$ est filtrant décroissant pour la relation d’inclusion. Comme l’anneau A est artinien à gauche, l’ensemble $\mathscr{S}$ possède un plus petit élément $\mathfrak{b}$. Notons $n$ la longueur du A-module $A_s/\mathfrak{b}$.

Soient $x$ un élément de $A_s$ et $\mathfrak{a}$ son annulateur (II, p. 28). Le A-module $Ax$ est isomorphe à $A_s/\mathfrak{a}$. Si $Ax$ est de longueur finie, $\mathfrak{a}$ appartient à $\mathscr{S}$, donc $\mathfrak{a}$ contient $\mathfrak{b}$ et $Ax$ est de longueur $\leqslant n$. Ainsi, tout idéal à gauche monogène de A qui est de longueur finie est de longueur $\leqslant n$. Soit $\mathfrak{c}$ la somme de ces idéaux ; c’est un idéal à gauche de A, de longueur finie d’après le lemme 3. Tout idéal à gauche de longueur finie de A est somme d’idéaux à gauche monogènes de longueur finie, donc est contenu dans $\mathfrak{c}$. Ainsi $\mathfrak{c}$ est le plus grand idéal à gauche de longueur finie de A.

Si $\mathfrak{c}$ était distinct de A, l’ensemble des idéaux à gauche de A contenant $\mathfrak{c}$ et distincts de $\mathfrak{c}$ posséderait un élément minimal $\mathfrak{c}'$. Le A-module $\mathfrak{c}'/\mathfrak{c}$ serait de longueur 1 et $\mathfrak{c}'$ serait de longueur finie, ce qui contredirait la maximalité de $\mathfrak{c}$. On a donc $\mathfrak{c}= A$, le A-module $A_s$ est de longueur finie.

Soit A un anneau artinien à gauche. Par le théorème 1, le A-module $A_s$ est de longueur finie. On applique alors la prop. 1 de VIII, p. 2.

Soit A un anneau artinien à gauche (resp. à droite) ; la longueur du A-module $A_s$ (resp. $A_d$) (I, p. 42) est appelée la longueur à gauche (resp. à droite) de l’anneau A. Lorsque A est un anneau commutatif et artinien, ces deux longueurs coïncident et sont appelées simplement la longueur de A. Lorsque A est artinien à droite et à gauche mais n’est pas commutatif, les longueurs à gauche et à droite de A ne sont pas nécessairement égales (VIII, p. 13, exerc. 3).

b) Soient A un anneau artinien à gauche et M un A-module à gauche. Les conditions suivantes sont équivalentes : le module M est de type fini ; le module M est artinien ; le module M est de longueur finie ; le module M est noethérien.

Démontrons a). Tout sous-module monogène de M est isomorphe à un quotient de $A_s$, donc est noethérien par la prop. 3 de VIII, p. 3. Le module M est une somme finie de tels sous-modules, il est donc noethérien par le cor. (VIII, p. 4) de la prop. 3. Tout sous-module de M est alors de type fini (VIII, p. 3, prop. 2).

Supposons maintenant l’anneau A artinien à gauche. On démontre comme dans l’alinéa précédent que si le A-module M est de type fini, il est artinien. S’il est artinien, il est de longueur finie : en effet ses sous-modules monogènes sont isomorphes à des quotients de $A_s$, donc sont de longueur finie inférieure à celle de $A_s$ et l’assertion résulte du lemme 3. Tout module de longueur finie est noethérien et tout module noethérien est de type fini. Cela démontre b).

b) Soit A un anneau artinien (resp. noethérien) à gauche et soit $\mathfrak{a}$ un idéal bilatère de A ; l’anneau $A/\mathfrak{a}$ est artinien (resp. noethérien) à gauche.

c) Soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille finie d’anneaux artiniens (resp. noethériens) à gauche. L’anneau $\prod_{i\in I}A_i$ est artinien (resp. noethérien) à gauche.

Nous traiterons le cas des anneaux artiniens, le cas des anneaux noethériens étant analogue.

Démontrons a). D’après la prop. 4, $B_s$ est un A-module à gauche artinien, et a fortiori un B-module à gauche artinien.

L’assertion b) résulte de l’assertion a) appliquée à l’homomorphisme canonique de A sur $A/\mathfrak{a}$.

Prouvons c). Posons $A =\prod_{i\in I}A_i$. Par hypothèse, $(A_i)_s$ est un $A_i$-module à gauche artinien, et a fortiori un A-module à gauche artinien. D’après l’exemple 5 de VIII, p. 4, le A-module $A_s$ est artinien.

Dans tout anneau commutatif, un idéal maximal est premier. Soit A un anneau commutatif artinien. Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de A. L’anneau $A/\mathfrak{p}$ est intègre et artinien (prop. 5), donc est un corps (VIII, p. 5, exemple 3). Par conséquent, l’idéal $\mathfrak{p}$ est maximal.

☡ L’anneau de polynômes $\mathbf{Q}[(X_n)_{n\in\mathbf{N}}]$ est intègre ; il n’est pas noethérien (ni artinien) (VIII, p. 14, exerc. 9). C’est un sous-anneau de son corps des fractions, qui est, lui, un anneau artinien (et noethérien).

Posons E = End$_A(M)$. Soit $(x_1, . . . , x_m)$ une famille génératrice finie du E-module M. L’application $\varphi :a\rightarrow (ax_1, . . . , ax_m)$ de $(A_M)_s$ dans $M^m$ est $A_M$-linéaire. Soit $a$ un élément de $A_M$ tel que $\varphi (a) = 0$. L’ensemble des éléments $x$ de M tels que $ax= 0$ est un sous-E-module de M contenant $x_1, . . . , x_m$, donc égal à M, ce qui entraîne $a= 0$.

Cela résulte du lemme 4 et de la prop. 3 de VIII, p. 3.

a) Soit M un A-module noethérien. L’anneau $A_M$ est noethérien.

b) Soit M un A-module de longueur finie. L’anneau $A_M$ est artinien.

Soit M un A-module. Sous les hypothèses de a) ou de b), le A-module M est de type fini. Comme A est commutatif, $A_M$ est contenu dans l’anneau End$_A$(M), de sorte que le contremodule de M est de type fini. Il suffit alors d’appliquer la prop. 6.

a) L’addition de cet anneau est l’addition usuelle de A[X] ;

b) La multiplication de cet anneau prolonge celle de A ;

c) Le produit dans cet anneau d’une suite $(a,X, . . . ,X)$, formée d’un élément $a$ de A suivi de $n$ termes égaux à X, est le polynôme $aX^n$;

d) On a dans cet anneau $Xa=\sigma (a)X +d(a)$pour tout $a\in A$.

Notons E l’anneau des endomorphismes du groupe additif A[X]. L’application qui à $a\in A$ associe l’homothétie $a_M$ du A-module à gauche M = A[X] est un homomorphisme d’anneaux de A dans E. Considérons les éléments $u,\sigma_M$ et $d_M$ de E définis par $u(\sum b_nX^n) =\sum b_nX^{n+1},\sigma_M(\sum b_nX^n) =\sum\sigma (b_n)X^n,d_M(\sum b_nX^n) =$ $\sum d(b_n)X^n$. On a, pour tout $a\in A$

Posons

Il résulte de (2) que l’on a, pour tout $a\in A$,

Considérons l’application $\varphi : A[X]\rightarrow E$ définie par

C’est un homomorphisme de groupes. On démontre par récurrence que l’on a $(X_M)^n(1) = X^n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. On a donc $\varphi (P)(1) = P$ pour tout $P\in A[X]$, ce qui prouve que l’homomorphisme $\varphi$ est injectif. Notons B son image. L’ensemble B est un sous-groupe de E ; il contient 1, est stable par multiplication à gauche par $a_M$ pour $a\in A$, et par $X_M$ d’après (4). C’est donc un sous-anneau de E. L’unique structure d’anneau sur A[X] déduite de celle de B par transport de structure par $\varphi$ possède les propriétés de la prop. 7, la propriété d) résultant de la formule (4).

Si A[X] est muni d’une structure d’anneau possédant les propriétés de la prop. 7, l’homothétie à gauche $\boldsymbol{\gamma }_X$ de cet anneau (I, p. 92) applique nécessairement $bX^n$ sur $\sigma (b)X^{n+1}+d(b)X^n$ pour $b\in A$ et $n\in \mathbf{N}$, donc est égale à $X_M$. L’homothétie $\boldsymbol{\gamma }_a$ est nécessairement égale à $a_M$ pour tout $a\in A$. Il s’ensuit que l’on a $\boldsymbol{\gamma }_P=\varphi (P)$ pour tout $P\in A[X]$, d’où l’assertion d’unicité de la prop. 7.

L’ensemble A[X], muni de l’unique structure d’anneau satisfaisant aux conditions de la prop. 7, est noté $A[X]_{\sigma ,d}$ et appelé l’anneau de polynômes en X à coefficients dans A, relatif à $\sigma$ et $d$. On le note simplement $A[X]_{\sigma}$ lorsque $d$ est l’application nulle, et A[X] lorsque de plus $\sigma$ est l’application identique de A. Cette notation est compatible avec celle introduite en IV, p. 1 pour un anneau A commutatif.

Posons $B = A[X]_{\sigma ,d}$. Pour tout entier $n\geqslant 0$, notons $B_n$ l’ensemble des éléments de B de la forme $a_0+a_1X +\cdots +a_nX^n$. C’est un sous-A-module à gauche de B. L’application $\varphi_n: B_n\rightarrow A_s$ définie par $\varphi_n(a_0+a_1X+\cdots +a_nX^n) =a_n$ est A-linéaire.

Soit $\mathfrak{b}$ un idéal à gauche de B. Pour tout entier $n\geqslant 0$, l’ensemble $\mathfrak{a}_n=\varphi_n(\mathfrak{b}\cap B_n)$ est un idéal à gauche de A. Comme on a $Xa=\sigma (a)X +d(a)$ pour tout $a\in A$, on a

(6) $\varphi_{n+1}$(XQ) $=\sigma (\varphi_n(Q))$

pour tout $Q\in B_n$, d’où $\sigma (\mathfrak{a}_n)\subset \mathfrak{a}_{n+1}$. Par conséquent, la suite des idéaux $\mathfrak{a}'_n=$ $\sigma^{-n}(\mathfrak{a}_n)$ de A est croissante. Comme l’anneau A est noethérien à gauche, il existe un entier $m\geqslant 0$ tel que l’on ait $\mathfrak{a}'_n=\mathfrak{a}'_{n+1}$ pour $n\geqslant m$. Comme $\sigma$ est surjectif, on a la relation

pour tout entier $n\geqslant m$.

Soit $\mathfrak{c}$ l’idéal à gauche de B engendré par $\mathfrak{b}\cap B_m$; comme le A-module à gauche $B_m$ est de type fini et que l’anneau A est noethérien à gauche, le A-module à gauche $\mathfrak{b}\cap B_m$ est de type fini (VIII, p. 7, prop. 4 a)). L’idéal à gauche $\mathfrak{c}$ est donc engendré par une partie finie de B. Il est clair qu’il est contenu dans $\mathfrak{b}$. Démontrons qu’il est égal à $\mathfrak{b}$ en démontrant par récurrence que l’on a, pour tout entier $n\geqslant 0$,

La relation (8) est vraie par construction pour $n\leqslant m$. Supposons désormais que $n$ soit un entier $\geqslant m$ tel que $\mathfrak{b}\cap B_n\subset \mathfrak{c}$. Soit P un élément de $\mathfrak{b}\cap B_{n+1}$. Alors $\varphi_{n+1}(P)$ appartient à $\mathfrak{a}_{n+1}=\sigma (\mathfrak{a}_n)$ et il existe donc un élément Q de $\mathfrak{b}\cap B_n$ tel que $\varphi_{n+1}(P) =\sigma (\varphi_n(Q))$. Posons $R = P-$ XQ. Compte tenu de la relation (6), on a $\varphi_{n+1}(R) = 0$, c’est-à-dire $R\in B_n$. Comme P et Q appartiennent à l’idéal à gauche $\mathfrak{b}$ de B, il en est de même de R ; ainsi, R et Q appartiennent à $\mathfrak{b}\cap B_n$, qui est contenu dans l’idéal $\mathfrak{c}$ d’après l’hypothèse de récurrence. Par suite, P appartient à $\mathfrak{c}$. Cela prouve que l’on a $\mathfrak{b}\cap B_{n+1}\subset \mathfrak{c}$.

Ainsi, $\mathfrak{b}$ est égal à $\mathfrak{c}$; c’est donc un idéal de type fini de B. Cela démontre que l’anneau B est noethérien à gauche.

Si l’endomorphisme $\sigma$ de l’anneau A n’est pas un automorphisme, l’anneau $A[X]_{\sigma ,d}$ n’est pas nécessairement noethérien à gauche, même lorsque A est un anneau commutatif noethérien (VIII, p. 21, exerc. 26).

Cela résulte par récurrence du théorème 2, compte tenu de la prop. 8 de III, p. 26.

Une telle algèbre est isomorphe à une algèbre de la forme $A[X_1, . . . ,X_n]/\mathfrak{a}$ où $n\geqslant 0$ et $\mathfrak{a}$ un idéal de $A[X_1, . . . ,X_n]$. On applique alors le corollaire 1 et la prop. 5 de VIII, p. 7

Soit en effet A un anneau commutatif. Les sous-anneaux de A qui sont engendrés (en tant que $\mathbf{Z}$-algèbres) par un nombre fini d’éléments sont noethériens d’après le cor. 2. Ils forment une famille filtrante croissante de sous-anneaux de A, dont la réunion est A.