Bài tập 1, § 14

Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số đơn tâm trên K, L là một đại số con giao hoán nửa đơn của A, và $L'$ là hoán tập của nó trong A.

a) Giả sử rằng A là đại số tự đồng cấu của một không gian vectơ trên K hữu hạn chiều V. Chứng minh rằng ta có $[L : K][L': K]\geqslant [A : K]$ (cf. VIII, p. 78, Mệnh đề 1); đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi L-môđun V là tự do. Suy ra các ví dụ trong đó bất đẳng thức là ngặt.

b) Chứng minh bất đẳng thức $[L : K][L': K]\geqslant [A : K]$ trong trường hợp tổng quát.